对两个重要极限的重要性的认识

1、对两个重要极限的重要性的认识摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和认识，总结有关两个重要极限的论文成果， 指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不 仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分 思想的严谨性。关键词:重要极限：重要性；证明；应用1 绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目 前，关于这方面的分析己经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展, 本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个 重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极

2、限的学生来说, 具有指导意义。数学分析课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地.S111X-11111= 120 X位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化，应用非常灵活。因此，这两个重要 的极限可以说是全部微积分学计算的基础，其重要性就不难理解了。试想，若没有它们，那么只要遇见微积分相关的计算题，必须用最基本的方法，有些还不一 定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。2 两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中，起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十 分必要的，它的证明过程也是对两

3、边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的 恰当应用。第一个重要极限：Inn = 1 TO X证明：作单位圆，如图1：D设X为圆心角ZAOB,并设0 vxv彳见图不难发现：S扇形伽vs*,即:lsmx|xltanx,即siiix x COSX 1XFW l-f COSX liincosx= 1 xT0 x 1nl vsiiix cosx(因为0 vxv兰，所以上不等式不改变方向)2当X改变符号时，COSX, 及1的值均不变，故对满足0 1x1 -的一切X , siii x2士siiixlo有 cosx 7又因为 cosx = l-(l - cosx) = l 2sin(扌) 1一 2才=1一才而

4、 liin cosx = bin 1 = 1XT。.v-0，-smx ,、nlim= 1,证毕。TTO X第二个重要极限：liin(l + -)x =e先考虑x取正整数时的情形：lnn(l+-)n “Toe 77(n+l)d-必= n+l+l(”+l) = l将其代入，所以(1+),+1 (1+丄)”，所以r S1DA- ,77 + 17711111= 1 1TO X(i + -)n为单调数列，记作。帆(1+京( ii ) 又 令 67 = 1,b = 1+ ,= (ti + l)a - nb = +1 ( + 丄)=丄2n22所以 1(1 + 丄)丄=2(1 + /二4(1 +丄尸，2n 2

5、2n2n即对V”，不”4, 又对V (1 +)2H+1 (1 + -J)2n+2 Q,al）f 对数函数 y = logflx（a0,al）, 三角函数 y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x,G）反三角函数 y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数,统称为 初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念一 导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f（x）在点x处的导,就是计算极限血f(x+Ax)-f(x)XtoAx*()当这一极限

6、存在时，其值就是fx）o但这仅仅是停留在导数定义上的，如 果求函数的导数都要计算极限的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的 广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限，而只需根据基本 初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。 因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幕函数, 第二类是m角豔和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函X数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要利用到这个重要极限。对于第三类函数的求导，需要利

7、用到吧(T这个极限。下面来看一看基本求导公式是如何得来的。重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sin x的求导公式的推导为例.由导数的定义Ax . Ax/ a、 - / 2cos(xh) - sin AxAr-0ArAlO心Ax sin =liin cos(x+) 2- = cos xl = cos x -o2 心TAxSill tA其中应用了第一个重要极限lull= 1,即lim= 1 (令r = )oX0 XAto Ax/0 I2T求得nx) =cosx后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利 用多个求导法则得到了。重要极限在指数函数和幕函数求导过程中的作用其次，再看看对数

8、函数log(ix的求导公式的推导过程。由导数定义(log.切巳叫Ax .0Iog“(x + Ax)-logAx=史匕丄 log“(l +竺产=-logae = -soxx xxlna其中应用了第二个重要极限liin(l+ -)r = ,即 liinloga(l + = lim(l+-)M = ex00牙Av 0X”(令x/Ax = u )o求得了(10艮xy以后，指数函数和幕函数的求导公式就容易得出了。可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及 三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导 公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程中起到

9、了重要的纽带作 用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所 有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函 数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以 得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限 可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带 作用，所以这两个重要极限极其重要。4两个重要极限在计算中的应用两个重要极限在一元极限中的应用第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极

10、限便得 这一不定的结果，因此称这一类型的极限为型未定式。类似地，第二 个专要极限是属于F型未定式。o综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的 型未定式和f0型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求初它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。例1求血=竺XTO X-解:1-C0SXC ，X. X2 sin-sm .=lim = lun 匸= hin-xtO X- x-O x 2x-0 2.XSill 2X2.xSill 2x2解:xtO x3taiix 一 smxsinx-smxcosxSU1Xcosx1-cosx sin 牙cosx3.1-cosxInn

11、；XTO X2 9解：令了丸，则X=当x 时r 0,? .2 1于是lun(l)x=lim(l + /) 1 =lini(l + r)/ 2=e2.XT00 兀/0/0例4求lim (上工厂z 2-x解：令 37 =l+w,则 x=2- 1 .2-xu当X时u 0,于是九丄-丄Inn(-_ )v = lini(l + m) M =liin(l + M)M (1 + m)21= lnn(l + Mr _1 lun(l + M)2=e-1.u-0w-0例5 求 lim(l + taiix)cotr xtO解：设 t=tanx,贝ij ，=cotx.t当Xo 时 r o,于是1lnn(l + tai

12、ix)cotv =辱* (1 + f) =e.两个重要极限在二元函数极限中的应用重要极限hill=1的应用“TO x极限 血sinu(x,y)=i是一元函数第一个重要极限的推广,其中, “(X,刃to (x, y)(x,y)-(x09y0)时，(x,y)T0,把u(x,y)看作新变量f,考虑极限过程t 0 o応 sin(x3 +)卩)例1求极限gio,o)x2 + y2讪 sin(F + )=血 sin(x + F) x + b解：(x,y)-HO,O) X2 -|- y2(x,y)FO,O) 疋 + 才 兀+ 才. siii(x3 + y3). x3 + y3 . _.=hili hili

13、=10 = 0u5+/)-o x + y (x)t(o,o)x + y极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。我们设 /3)=叫 + 孑3),定义域是 D = (Jv,y)|ay)H(O,O)。+ ysin(x3 + y3) x3 + y33 3a- +y x + y定义域D 二(x,y)H(0,0)且，Hx,显然有D gD o可以看到，从函数f(x,y)到&(兀刃定义域变小了，但几兀,刃，(兀刃分别在各 自的定义域D与D内，当(x,y)-(0,0)时，可以证明极限都是存在的，证明如 下：(1)以下是对 f(x, y) = $ 吟 + 丁)在定义域 D = , y)|(x, y) H (0,0

14、)内极x + y-限的证明。因为当(x,y)H(0,0)时，有：0竺(0,0)的方式来计算出极限值。由D与D的关系(D】wD),知道在DinP = Di中两函数相等，所以在求极限找(x,y)T(0,0)的方式时，我们可以在p(puD)中找，显然，两函数的极限是相等的。5)二竺Q+ ysin(x3x +y+)厂 + y3) x3 + y3v sin(x3 + y3). sin(x3 + y3) x3 + V3/口曰Inn ；= Inn j;r但是，(x,)10,0) x- y-(x,y)T(0,0)+ y3 X +“既丿刃是成立的。所以在&,y)T(o,o)时，两函数的极限是相等的。同理可以计算

15、下面例子。，- sin 卩11111 例2求极限g)T(0,0) y解：Inn竺空(x,”(0,0) ylim(x,y)-(0,0) xystnxysin xyx= InnxyTObin x = 10 = 0 oxy (x,y)T(0,0)在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到 二元函数中得到：(u(3)tO)1 smwE)心曲-cos论*)尹E);In1 + 况(, y)u(X y);tanw(x3 y)u(x, y); 严刃_ 1心,y)同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。例3求极限Inn 叫(x,)，)t(o+,o+)tan(x+ y)解：to

16、mn旦=o(x,刃-ho* ,o*)tan(x + y) (x,刃 t(o+ -o+ x + y例4求极限lim 1yos+j?U,y)-K0,0)(/- + y-)x-y-解：讪 i-cos( + r)=血护+(x,)-ho,o) (x- + y)xy(3)-(o,o)(厂 + y)xy2重要极限lnn(l +-)v=ew X极限Inn (l+y = e是一元函数中第二个重要极限的推广。下面 m(x, y)举例说明它的应用。1 土例5求极限Inn (1 +丄)小(x, )K8,1)X解:1 11111 (14-i)v+ =lull(3)TgU(l+b=liin(i+klim -i-(xa)-

17、K.i).v+y对于二元函数极限的运算方法除了利用两个重要极限以外，还有多种方法， 比如利用不等式，使用夹逼准则；利用初等函数的连续性及极限的运算法则；同时 还可以用路径的方法判断极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用 的，通常会多种方法综合使用，来解决二元函数的极限问题。本文通过举例主要讨 论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个常 见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运 算中作用的理解，以便更好的解决二元函数的极限问题。5 总结关于两个重要极限的公式本身十分简单，但由它们上面却引出许多的话题.关于 它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些 应用，这些话题都反映一个共同思想：在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态 时，用某个与自变量增量成比例的量（即微分），替代函数的增量，常常是简化并解决 问题的办法.这就是微分学的基本思想，对于微积分，只有深入理解和掌握了这一思