买权卖权等价理论.doc

1、第八章買權賣權等價理論8-1 賣權 -買權等價關係賣權 -買權等價關係 （Put-Call Parity）指相同的履約價格 （ K ）及合約期間（T）的歐式買權與賣權間具有某種對等關係。因此買權與賣權間可彼此推算。P S C K （1r）-T（8.1 式）賣權股票買權買權履約價格折現值在前一章關於選擇權的評價，一直沒有討論關於賣權價格的評價，主要是因為藉由買權 -賣權等價理論可以互相換算買權、賣權價格。範例 8-1：根據民國 99年 11月16日元大 7V中鋼的認購權證資料，元大 7V收盤價是0.97元，當天中鋼股票收盤價為 31.8元，履約價格為 34元，民國 100年 3月21日到期（還有

2、 125天到期）， T 125 0.342，假設利率為 1，求在相365同條件下，賣權或認售權證之理論價格?ANS ：PCS K（ lr）-T 0.9731.8 34（10.01） -0.3423.05若等價關係不成立，則表示買權或賣權間可能至少有一個有錯價情形存在，藉由買低賣高可以有套利機會。範例 8-2：假設股票現價 31，現行利率 10，三個月期的歐式買權現價3，賣權現價 2.25，履約價格均為 30，則：PS2.2531 33.25 CK （1r）-T 330（ 1 0.1） -3/12 329.29 32.29所以有套利機會，且由上式可知買權價格相對偏低。因此可使用買入買權，賣出賣權

3、並放空股票的策略進行套利。到期時若股價 30，則執行買權，結束股票空頭部位。而期初之操作策略有 32.253130.25 之現金流入， 3 個月後本利和為 30.25（10.1）0.2530.98，所以獲利 30.9830 0.98Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU862010若到期股價 30，對方將會執行賣權。則以 30 元買進股票，結束股票空頭部位，同樣獲利 0.98 元。因此只要期初有不等價情形，運用正確的套利方法，不論期末現貨價格為何，均可獲得無風險利潤。藉由等價關係，可以發現當價平（股價等於履約價格，S K ）時，買權價值大於賣權。證明的方法很

4、簡單，首先將等價公式做移項，並將KS 代入：CPSS（ 1r）-TS1（ 1 r）-T （ 8.2式）由於（ 1r）-T 為一折現因子，必定小於 1，1（ 1 r） -T 0，此因在價平時， CP0，亦即買權價值大於賣權。從等價理論公式還可以看出利率上升時，買權價值上升，賣權價值下降。因為當利率上升時， K （1r） -T 下降，那麼 S K （l r） -T 便上升。所以 CP上升，不外乎 C 上升或 P 下降；反之，當利率下降時， CP 下降，所以 C 下降或 P上升。當股價波動性增加，買權與賣權的價格均會上升，但不會影響買權、賣權的相對價格（ CP）。因為從等價公式中，買權、賣權的相對價

5、格等於股價減掉履約價格的折現看來，影響相對價格的只有股價、利率、履約價格及到期期限等四個因素。而股價報酬的波動性並不在買權賣權這個等式中。也就是說，波動性對買權、賣權的影響是一樣的。此外，任一選擇權定價模型均需滿足等價理論公式，因此由前一章的 BS定價公式中，我們已知買權為：1-rT2（ 8.3 式）CSN（d ） KeN（d ）將其套入等價公式，可得賣權為：PKe-rT1N（d2）S1N（ d1）（ 8.4 式）或 K（1r）-T1 N（ d2） S1 N（d1）（ 8.5 式）練習 1：甲股票 S0 50， u0.5，d0.5，買權賣權的執行價格均為50，無風險利率為 25，試求一年期賣權

6、價格。ANS： P5練習 2：假設台積電目前股價為100 元，履約價格亦為100 元，股價年報酬波動Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU872010性為 60，無風險利率為 0.06，則到期期限為一年的賣權合理價格為多少？-TANS ：PSN （ d1 ）1 K（1r）N （d2） 1100100（0.6551）（0.4211）(16%)100（ 0.345） 94.34 0.579 20.12或直接以買賣等價理論求出：PCS K（ 1 r）-T 25.78100100（16） -1 20.12根據等價理論公式 CPSK （1r）-T ，若將 P移到等號右

7、邊，則變為：CSPK （ 1 r）-T將右邊減去 K 再加上 K 可得： C（ SK ） K K （ 1 r）-T P（8.6式）（1）（ 2）（3）內含價值利息賣權所以上式買權價值其實可以看成是三項的和。因此，買權的時間價值即包含第（ 2）項利息與第（3）項賣權的價值。基本上短期內 （譬如一天之內） ，第（2）項不會有太大的變化，所以買權的時間價值就只受第（ 3）項賣權價值的影響。而賣權具有保險功能，如果股價上升，賣權價值會下降（所需要支付的保險成本下降，亦即第（ 3）項賣權的價值會下降）。因此若股價上升，價內買權的時間價值就會下降。8-2 證券的複製在第五章曾提過關於資產的配置，就是將投資

8、組合中不同資產的比重加以改變，藉以複製出具有相同部位的證券。在選擇權中，一樣可以用相同的原理複製出具有相同部位的資產。1.買入賣權買入買權賣空股票PCS K （lr）-T賣權其實等於買權加上賣空股票，再加上把錢存到銀行 （或是買一個債券） ，由於 K（ lr）-T代表購買無風險債券或將錢存入銀行 ，可以視為無風險的投資，Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU882010在討論複製產品時可以將此項省略。因此買入買權、賣空股票便可複製一個和賣權到期時，有類似報酬型態的投資組合。損益-SCK股價P藉由上面的損益圖，我們也可以看出買進一單位買權並同時賣出一股股票所得

9、的總損益與買進一單位賣權是相同的。2.買入買權買入股票買入賣權CSP K （lr）-T所以買入買權也可由買入股票、再買入賣權來複製。損益SCK股價P3.買入股票買入買權賣空賣權SCP K （lr）-T亦即買入股票可由買入買權、賣空賣權來複製。另外，賣空賣權（P）、賣空買權（ C）及賣空股票（ S）的道理和前述第 1、 2、3項是一樣的，只是方向相反。損益SCK股價PFutures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU892010買權與賣權的履約價不一定要相同，而且買權與賣權的價格也不會一樣，所以實際上的損益圖並不會正好成對稱。大家可以試試看當買權與賣權的履約價不相同，或買

10、權與賣權的價格不一樣時，損益圖會有什麼差別。4.賣空賣權買入股票賣空買權-TP S CK （l r）所以買入股票、賣空買權可以複製成賣空賣權的報酬型態。5.賣空買權賣空股票賣空賣權-TC SPK （l r）因此賣空股票、賣空賣權可以複製成賣空買權。6.賣空股票 =買入賣權賣空買權-TS P CK （l r）所以買入賣權、賣空買權可以複製成賣空股票。7.買入無風險債券買入股票賣空買權買入賣權由 K （l r） -TS P C可知，買入股票、賣空買權及買入賣權將產生一個沒有風險的投資組合，或類似買入 K（l r） -T的無風險債券，到期的報酬是已知的 K ，其現值是 K （ lr）-T。損益SK股

11、價P-C總損益線會略高於橫軸，其間的差距即是無風險債券的收益（亦即利息）。8.賣空無風險債券賣空股票買入買權賣空賣權-T這些複製證券的損益圖形繪製原則，只要把握 4個基本交易策略的損益圖，並加以組合，即可畫出，不需要死記。其他沒有畫出損益圖的，其實都大同小異，請自行練習。Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU9020108-3 不同條件下之賣權-買權等價理論美式買權會被提早履約的原因，主要是因為股利的發放。因為提早履約，拿到股票才能獲得股利（但也損失時間價值） ，因此在沒有股利的情況下，沒有理由提早履約而損失時間價值，所以美式買權和歐式買權價格是一樣的。但當

12、沒有股利發放時，美式賣權仍可能會有提早履約的情形，尤其在股價很低時，時間價值趨近於 0，提早履約比較有利，因為可以提早拿到履約價格 K ，賺取 K 的利息。因此美式賣權的價值會大於或等於歐式賣權，即 PaPe。於是美式買權賣權等價理論變成一個有上下區間的不等式：S K Ca PaSK （l r）-T（8.7式）範例 8-3：假設 A 公司目前股價為 110元，履約價格為 100元，無風險利率為 6，則美式買權賣權在無股利下的相對價格？ ANS ：110100 CP110100（ 10.06）-1 10 CP15.7在有股利情況下，歐式的買權賣權等價理論為：C P SD（l r）-tK（l r）

13、-T（8.8式）因為股利的發放會降低股價，也就是說股利是股價的減項。因此在歐式的買權賣權等價理論上，只需將原公式右邊部分的股價減掉股利的折現即可。如果在選擇權存續期間發放一次以上的股利，那麼同樣將所有股利折現到現在，然後由目前股價扣掉此項即可。範例 8-4：假設 A 公司目前股價為 110元，預計半年後要發放 4塊錢的現金股利，假設還有一年到期，履約價格為 100元之歐式買權價值為 20元，則條件相同的歐式賣權之合理價格為多少（假設無風險利率為 6） ?ANS ：CPS D（ lr）-t K （l r） -T110 4（ 1 0.06）-0.5 100（10.06） -1 11.77P20 1

14、1.778.23Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU912010在有股利情況下，因為股利的發放會降低買權的價格，提高賣權的價格，因此美式的買權賣權等價理論修正為：S D（ l r）-tK CaPa S K（l r）-T（8.9式）範例 8-5：承前例，求美式買權賣權在有股利情況下的相對價格？ANS ：1104（10.06）-0.5 100Ca Pa110 100（10.06）-1所以 6.1 CaPa15.7練習：財務市場完全且與處於均衡狀態，目前甲股票單價為 10元， 6個月之無風險利率為 5%，市面上有一買權和一賣權，有相同之履約價格 K，一單位之買（

15、賣）權准許持有人 6個月之後以每單位 K 元的價格向出售選擇權的人買入（賣出）1單位之甲股票，已知此買權及賣權之價格為 1.50元及 0.5元，求K?ANS：K9.28-4 賣權之敏感度分析由等價關係及對買權的偏導函數，我們可以求得賣權的偏導函數：歐式賣權的 Delta： dP N(d1) 10（ 8.10 式）dS歐式賣權的 Delta 小於 0，表示當股價上漲時，賣權價格下跌，大小剛好等於買權 Delta 減去 1。類似的概念，歐式賣權Gamma： d2P N (d1) 0（8.11 式）2STdS賣權的 Gamma和買權的 Gamma大小及符號都一樣，同樣表示當股價上漲時， Delta

16、會上升，反之則會下降。歐式賣權的 Vega（v）或 Kappa：Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU922010v dP S TN（d1）（ 8.12 式）d賣權的 Vega和買權的 Vega也是相同的，表示當的上升使買權及賣權的價格呈現相同大小、相同方向的變動。譬如當的上升使買權上升 1 元，則同樣條件的賣權也上升 1 元。也就是說，同樣條件的買權賣權的相對價格（ CP）不受變動的影響，這是因為股價波動度不出現在買權賣權等價理論中。歐式賣權的 Rho dP TKe-rTT N（d2） 10（ 8.13 式）dr賣權 Rho 0，表示當利率上升時，賣權價格下跌，和買權Rho 方向相反。歐式賣權的 Theta （）dPSN( d1)