.硕士生现代信号处理_自适应滤波(4)

1、硕士生现代信号处理硕士生现代信号处理_ _自适应自适应滤波滤波(4)(4)4.7 自适应格型自适应格型(Lattice)滤波器滤波器n1. 问题模型问题模型n设计线性滤波器，将设计线性滤波器，将x(n)作为输入，使滤波作为输入，使滤波器的输出逼近期望信号器的输出逼近期望信号d(n)。n设计准那么：设计准那么：n设估计值为设估计值为y(n) ，误差为，误差为e(n)=d(n)- y(n)。维纳维纳(Wiener) 滤波器使均方误差最小。滤波器使均方误差最小。4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器n1. 前向线性预测滤波器前向线性预测滤波器ni) 根本概念及信号定义：根本概念及信号定义：n前向线

2、性预测滤波器在前向线性预测滤波器在x(n-1) x(n-m)张成张成的线性空间估计的线性空间估计x(n) ，称作一步，称作一步m阶预测。阶预测。n前向预测误差：前向预测误差： )( )()(nxnxnefm mkmkknxanx1)()( 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 预测模型：预测模型：) 1( nxz-1z-1z-1) 2( nx)(mnx 1ma )( nx)(nx)(nefm 2ma mma 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器nii) 最正确前向预测滤波器最正确前向预测滤波器(均方预测误差均方预测误差最小最小)n等效为输入为等效为输入为x(n-1) x(n-m)，期望

3、信号，期望信号为为x(n)、滤波器系数为、滤波器系数为 的的m阶阶FIR结构结构的维纳滤波。的维纳滤波。n由由W-H方程可得方程可得mkikRakRmimi 10)()(1mia )()(jRjRdx ixxdxjijRiwjR, )()()(4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 设最小前向预测均方误差为设最小前向预测均方误差为，那么，那么optHndEWP| )(|2min mimifmfmiRaRneE1min2)() 0(| )(| fm | )(| )(|22nxEndE )0(R Tmmmmoptaaa,W21 )(),.1(PmRRH TmRRnxEndE)(),.1 (x)(

4、x)(P* 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 综上得增广综上得增广W-H方程，又称尤拉方程，又称尤拉-沃克沃克(Yule-Walker)方程：方程： ，可解，可解m+1个未知数个未知数:。 001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0(1fmmmmaaRmRmRmRRRmRRR mimifmfmiRaRneE1min2)()0(| )(| mkikRakRmimi 10)()(1mkkR 0),(fmmimka 及及 1 ,4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器niii) 前向预测误差滤波模型前向预测误差滤波模型) 1( nxz-1z-1z-1) 2( nx)(m

5、nx 1ma )( nx)(nx)(nefm 2ma mma 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器预测误差预测误差可看作可看作x(n)经过经过m+1阶阶FIR滤波器的输出。称该滤波器为滤波器的输出。称该滤波器为前向预测误前向预测误差滤波器差滤波器。前向预测误差滤波器的前向预测误差滤波器的z传递函数传递函数: mkmkfmknxanxnxnxne1)()()( )()( mkkmkfmzXzazXzE1)()()()(nefm mkkmkfmfmzazXzEzH11)()()(4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器n2. 后向线性预测滤波器后向线性预测滤波器ni) 根本概念及信号定义：根本

6、概念及信号定义：n利用利用x(n-m+1) x(n) 估计估计x(n-m) ，称作一，称作一步步m阶后向预测。阶后向预测。n后向预测误差：后向预测误差： mkmkkmnxbmnx1)()( mkmkbmkmnxbmnxmnxmnxne1)()()( )()(4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 后向预测滤波模型后向预测滤波模型)(nxz-1z-1z-1) 1( nx) 1( mnxmmb )( mnx )(mnx )(nebm 1 mmb1mb mkmkkmnxbmnx1)()( 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器nii) 最正确后向预测滤波器最正确后向预测滤波器n等效为输入为等效为

7、输入为x(n) x(n-m+1) 、期望信、期望信号为号为x(n-m)的的m阶阶FIR结构维纳滤波，其结构维纳滤波，其权向量为权向量为。n由维纳滤波结论可得由维纳滤波结论可得n与最正确前向预测滤波器比照得与最正确前向预测滤波器比照得 ixxdxjijRiwjR, )()()(Tmmmmmbbb,1 ,1, mkikRbkRmimi 10)()(1*mkikRakRmimi 10)()(1mkbamkmk 1*4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 设最小后向预测均方误差为设最小后向预测均方误差为，那么，那么 mimifmfmiRaRneE1min2)()0(| )(| bm | )(| )(

8、|22mnxEndE )0(R THRmRmnxnxmnxE)1(),.()1(),.()(P Tmmmmmoptbbb,W1 ,1, mimifmbmiRbRneE1*min2)() 0(| )(| mkbamkmk 1*mbmfm PW| )(|2minHoptndE 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器niii) 后向预测误差滤波器模型后向预测误差滤波器模型)(nxz-1z-1z-1) 1( nx) 1( mnxmmb )( mnx )(mnx )(nebm 1 mmb1mb 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 后向预测误差后向预测误差: 后向预测误差滤波器的传输函数：后向预测

9、误差滤波器的传输函数： mkkmkmbmbH1z1z) z ( mkmkbmkmnxbmnxne1)()()( mkkmkfmaH1z1) z ( *z1zfmmH4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器n概述概述n背景：设计最优线性背景：设计最优线性(LMMSE)m阶预测滤阶预测滤波器波器,需解需解m+1个线性方程个线性方程 (Y-W方程方程)。当。当m较大时，运算量大。较大时，运算量大。n思路：设思路：设m阶预测的解，以递归的方式，计阶预测的解，以递归的方式，计算出算出m+1阶预测的解。阶预测的解。 001) 0 () 1()() 1() 0 () 1 ()() 1() 0 (1fmmmm

10、aaRmRmRmRRRmRRR 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器n定义定义 与与 的相关系数的相关系数: mkmkmkmkmkmkbmfmmkmRamRkmnxbmnxknxanxEneneE1*11*1)1() 1()1() 1()()()1()()(nefm) 1( nebm mkmkbmkmnxbmnxne1)()()( mkmkfmknxanxne1)()()(4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器Y-W方程方程A mkmkmkmRamR11)1() 1( 001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1()0(1fmmmmaaRmRmRmRRRmRRR 11000

11、1) 0() 1 ()() 1() 1() 0() 1()()() 1() 0() 1 () 1()() 1() 0(mfmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR n扩展扩展Y-W方程方程:4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 110010) 1()() 1 () 0 ()() 1() 0 () 1() 1 () 0 () 1()() 0 () 1()() 1(mfmmmmaamRmRRRmRmRRRRRmRmRRRmRmR A A左右左右交换交换B 110001) 0 () 1 ()() 1() 1() 0 () 1()()() 1() 0 () 1 () 1()()

12、 1() 0 (mfmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR An方程变换方程变换:4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 110010) 1()() 1 () 0 ()() 1() 0 () 1() 1 () 0 () 1()() 0 () 1()() 1(mfmmmmaamRmRRRmRmRRRRRmRmRRRmRmR BB B上下上下交换交换 fmmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR 0010) 0() 1()() 1() 1 () 0() 1()()() 1() 0() 1() 1()() 1 () 0(11C4.7 自适应格型滤波器自适应

13、格型滤波器 fmmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR 0010) 0() 1()() 1() 1 () 0() 1()()() 1() 0() 1() 1()() 1 () 0(11C mmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR 0010)0() 1 ()() 1() 1()0() 1()()() 1()0() 1 () 1()() 1()0(*1*1*D两边取共轭两边取共轭4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器 mmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR 0010)0() 1 ()() 1() 1()0() 1()()() 1

14、()0() 1 () 1()() 1()0(*1*1*D比较与比较与A 110001) 0() 1 ()() 1() 1() 0() 1()()() 1() 0() 1 () 1()() 1() 0(mfmmmmaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器综合与综合与 mmmmmmmmmmmmkaakaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR 00001001) 0 () 1 ()() 1() 1() 0 () 1()()() 1() 0 () 1 () 1()() 1() 0 (*111*1*11 0001) 0 () 1 ()()

15、 1() 1() 0 () 1()()() 1() 0 () 1 () 1()() 1() 0 (11, 1, 11 , 1mmmmmmaaaRRmRmRRRmRmRmRmRRRmRmRRR m +1m +1阶预测的阶预测的Y-WY-W方程：方程：FE4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器miakaaimmmimim 1*1,1, 111, 1 mmmka011 mmmk )|1 ()(21*11*111 mmmmmmmmmmkkkk mmkmkmmmkmRamRk 111)1() 1(比较比较E E与与F F4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器nY-W方程的方程的Levinson-Du

16、rbin递推求解：递推求解：初始条件：初始条件：对对 ，2 , 1 , 0 m| )(|) 0 (20nxER )()(0nxnef mmkmkmmmkmRamRk 111)1() 1()|1 (211 mmmk 11, 1 mmmkamiakaaimmmimim 1*1,1, 14.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器n1. 格型滤波器的推导格型滤波器的推导n思路：思路： 分析分析m阶预测误差滤波器与阶预测误差滤波器与m+1阶预测阶预测误差滤波器的递归关系；误差滤波器的递归关系； 综合递归关系，得到到格型滤波器结构。综合递归关系，得到到格型滤波器结构。4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器

17、ni) 前向预测误差滤波器传输函数的递归前向预测误差滤波器传输函数的递归)(z)(z1 zz) z (z1 zz) z (zz z1z z1z1) z (111,11111,111*1,)1(11,*1,11,)1(1, 111, 11zHkzHbkHbkHakaakaaaHbmmfmimiimmmfmmimiimmmmfmimiimmmmimiimiimmmimimmmmmiiimfm mkkmkfmaH1z1) z ( mkkmkmbmbH1z1z) z (4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器nii)后向预测误差滤波器传输函数的递归后向预测误差滤波器传输函数的递归(z)(z)z(z)z

18、1zzz1zz1zz1z) z (*11*1*1*1*)1(*1)1(1fmmbmfmmfmmbmmfmmfmmbmHkHHkHHkHHH *z1z) z (fmmbmHH)(z)() z (111zHkzHHbmmfmfm 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器niii)格形滤波器格形滤波器)(z)()z (z) z ()()()()(111111zEkzEHkHzXzHzXzEbmmfmbmmfmfmfm (z)(z)z)z () z (z(z)(z)(z)(z)*11*1111fmmbmfmmbmbmbmEkEHkHXHXE )() 1()() 1()()(*1111neknenene

19、knenefmmbmbmbmmfmfm )()()(00nxnenebf (z)(z)z) z (*111fmmbmbmHkHH )(z)() z (111zHkzHHbmmfmfm 4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器n设计格型滤波器的任务在于确定系数设计格型滤波器的任务在于确定系数 ; 应同时使前向和后向预测误差能量应同时使前向和后向预测误差能量最小。最小。x(n)z-1z-1z-11k*1k2k1 mk*2k*1 mk)(1nef)(2nef)(0nef)(1nefm )(1neb)(2neb)(0neb)(1nebm mkmk4.7 自适应格型滤波器自适应格型滤波器niv) 最优最优 的计算的计算定义定义| )(| )(|)1(22neneEPfbfm 0 mkP| )(| )(|)1 ()1()(2121*11neEneEneneEkfmfmbmfmm mk)() 1()() 1()()(*1111nekneneneknenefmmbmbmbmmfmfm 4.7 自适应格型