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文档简介

1、1x2x3x4xnx一、数列定义1 函数 f : NR称为数列，记为xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项通项。 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取12,nx xx定义2 设有数列xn. 若存在常数A，使得0, NN, 当nN时，|xnA|，则称xn的极限极限为A，或称xn收敛收敛于A，记为limnnxA()nxAn 或若A不存在，则称数列xn无极限，或称为发散发散(不收敛不收敛) 是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性固定性，一

2、旦给出，就固定这个再去找N。 N的存在性存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xnA|N成为 的充分条件即可. 这就是所谓的“适当放大法”.|nxA适当放大法：1|( )()nxAG nnN( )(1) lim( )0;(2)nG nG n其中适合形式简单，即由2( ).G nnN容易解出12max,|.nNN NnNxA最后取则时，239lim0.79nnnn 例6证明lim1(0);(2) lim1.nnnnaan两个结果：(1) 例7 设数列xn对常数A和0 q 0, 使得nN有|.nxM推论1 无界数列必发散。推论2 若数列,lim,lim.nnnnnnnxxyxAyBAB

3、满足且则定理3 （不等式性）若lim,lim,nnnnxAyBAB且，nnNnNxy则，当时,有N Nu 即使将“xn yn”换为“xn yn”, 结论也不能改为“A B”.推论4 若lim0,nnxANnN则当时,有N N|0.2nAx 推论3 （保号性）若lim0,NnnxANnN则，当时,有0.2nAx u 若将“A0”换为“A 0, 且 , 则有limnnaa12limnnna aaa推论推论3 若an 0, 且 , 则有1limnnnaaalimnnnaa例14 求极限22223312233limnnnnn13Ex. 求极限12limnnn n231单调有界定理单调有界定理 设数列xn单调增加. 则当xn有上界时, xn收敛，当xn 上无界时, xn为正无穷大，且均成立limsup;nknkxxN Nu 若xn为单调数列. 则xn收敛 xn有界.u 想一想 数列xn单调减少时的情形？例15 证明数列.11收敛nnnxu

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