东华大学电路分析PPT第3章_电阻电路的一般分析new

1、第第3 3章章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析l重点重点 熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法支路电流法 回路电流法回路电流法 结点电压法结点电压法l 线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法 (1) (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。复杂电路的一般分析法就是根据复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。为支路电流法、回路电流法和结点电压法。（2 2）

2、元件的电压、电流约束特性。（元件约束）元件的电压、电流约束特性。（元件约束）（1）电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律。（拓扑约束）定律。（拓扑约束）l 方法的基础方法的基础 ( (两类约束两类约束) )(2) (2) 系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。3.1 电路的图电路的图1. 1. 电路的图电路的图抛开元抛开元件性质件性质一个元件作一个元件作为一条支路为一条支路85 bn 元件的串联及并联元件的串联及并联组合作为一条支路组合作为一条支路64 bn 65432178543216有向图有向图R4R1R3R2R5uS+_i(1) (1) 图图( (Graph)G

3、=支路，结点支路，结点从图从图G的一个结点出发沿着一些支路连续的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路移动到达另一结点所经过的支路构成路径径。(2) (2) 路径路径 （3 3）连通图）连通图图图G的任意两个结点间至少有一条路的任意两个结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。两个分离部分。(4) (4) 子图子图 若图若图G1中所有支路和结点都是图中所有支路和结点都是图G中中的支路和结点，则称的支路和结点，则称G1是是G的子图的子图。l 树树 (Tree)T是连通图的一个子图满足下列条件：是连通图的一个子图满足下列

4、条件：(1)(1)连通连通(2)(2)包含所有结点包含所有结点(3)(3)不含闭合路径不含闭合路径树支：构成树的支路树支：构成树的支路连支：属于连支：属于G而不属于而不属于T的支路的支路2 2）树支的数目是一定的：）树支的数目是一定的：连支数：连支数：不不是是树树1 nbt )( 1 nbbbbtl树树特点特点1 1）对应一个图有很多的树）对应一个图有很多的树l 回路回路 (Loop)L L是连通图的一个子图，构成一条闭合是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：路径，并满足：(1)(1)连通连通;(2);(2)每个结点每个结点关联关联2 2条支路条支路12345678253124578不

5、是不是回路回路回路回路2 2）基本回路的数目是一定的，等于连支数）基本回路的数目是一定的，等于连支数)( 1 nbbll特点特点1）对应一个图有很多的回路）对应一个图有很多的回路3 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数）对于平面电路，网孔数为基本回路数123456基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)支路数树支数连支数支路数树支数连支数结点数结点数1基本回路数基本回路数结论结论1 lnb结点、支路和结点、支路和基本回路关系基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝基本回路具有独占的一条连枝612312351234例例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基图示为电路的图，画出

6、三种可能的树及其对应的基本回路。本回路。8765864382433.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数1.1.KCL的独立方程数的独立方程数0641 iii654321432114320543 iii0652 iii0321 iii4123 0 结论结论n个结点的电路个结点的电路, 独立的独立的KCL方程为方程为n-1个。个。2.2.KVL的独立方程数的独立方程数KVL的独立方程数的独立方程数=基本回路数基本回路数=b(n1)结结论论n个结点、个结点、b条支路的电路条支路的电路, 独立的独立的KCL和和KVL方程数为：方程数为：) 1( nKCL方程数方程数) 1( nbKVL方程数

7、方程数3.3 3.3 支路电流法支路电流法 (branch current method )(branch current method )对于有对于有n n个结点、个结点、b b条支路的电路，要求解支路电条支路的电路，要求解支路电流流, ,未知量共有未知量共有b b个。只要列出个。只要列出b b个独立的电路方程，便个独立的电路方程，便可以求解这可以求解这b b个变量。个变量。以各支路电流为未知量列写电路方以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。程分析电路的方法。1 1. 支路电流法支路电流法2 2. 独立方程的列写独立方程的列写（1）从电路的）从电路的n个结点中任意选择个结点中任意选

8、择n-1个结点列写个结点列写KCL方程方程（2）选择基本回路列写）选择基本回路列写b-(n-1)个个KVL方程方程支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：(1) (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2) (2) 选定选定( (n n1)1)个结点个结点，列写其，列写其KCL方程；方程；(3) (3) 选定选定b b( (n n1)1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程； ( (元件特性代入元件特性代入) )(4) (4) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b b个支路电流；个支路电流；(5) (5) 进一步计算支路电压和进行其它

9、分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路电流法的特点：支路法列写的是支路法列写的是 KCL和和KVL方程，方程， 所以方程列所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。情况下使用。例例1.节点节点a：I1I2+I3=0(1) n1=1个个KCL方程：方程：求各支路电流及电压源各自发出的功率。求各支路电流及电压源各自发出的功率。解：解：(2) b( n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3= 67I111I2=70-6=6412AI61 AI22 AI43 WP42070670 WP12626 7

10、0V6V7 ba+I1I3I27 11 例例2.节点节点a：I1I2+I3=0(1) n1=1个个KCL方程：方程：列写支路电流方程列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）电路中含有理想电流源）解解1.(2) b( n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3= U7I111I2=70-Ub增补方程：增补方程：I2=6A解解2.由于由于I2已知，故只列写两个方程已知，故只列写两个方程节点节点a：I1+I3=6避开电流源支路取回路：避开电流源支路取回路：7I17I3=707 I3a1270V6A+I1I27 11 a170V6A7 b+I1I3I27 11 + +U_ _例例3.节点节点a

11、：I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解:11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U增补方程：增补方程：U=7I3有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：(1) (1) 先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程；(2) (2) 将控制量用未知量表示，并代入将控制量用未知量表示，并代入(1)(1)中所列中所列的方程，消去中间变量。的方程，消去中间变量。7 I3a1270Vb+I1I27 11 + +5U_ _+U_3.4 3.4 网孔电流法网孔电流法 (mesh current method)(

12、mesh current method)l基本思想基本思想为减少未知量为减少未知量( (方程方程) )的个数，假想每个网孔中的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示求得电路的解。线性组合表示求得电路的解。1.1.网孔电流法网孔电流法: :以网孔中的网孔电流为未知量列写电路以网孔中的网孔电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。方程分析电路的方法。称网孔电流法。称网孔电流法。iA图示电路网孔数为图示电路网孔数为2 2。网孔电流的。网孔电流的方向取顺时针，支路电流可表示方向取顺时针，支路电流可表示为：为：ABBAiiiiiii

13、231 i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2iB网孔电流在是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一网孔电流在是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以次，所以KCL自动满足。因此网孔电流法是对网孔列写自动满足。因此网孔电流法是对网孔列写KVL方方程，方程数为：程，方程数为：l列写的方程列写的方程与支路电流法相比，方与支路电流法相比，方程数减少了程数减少了n- -1个。个。1：R1 iA+ +R2(iA- - iB)- -uS1+uS2=0 2：R2(iB- - iA)+ R3 iB - -uS2=0整理得：整理得：(R1+ R2) iA- -R2iB=uS1- -uS2- -

14、R2iA+ (R2 +R3) iB =uS2)(1 nb2 2. 方程的列写方程的列写il1il2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2R11=R1+R2 网孔网孔1 1的自电阻。等于的自电阻。等于网孔网孔1 1中所有电阻之和。中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：观察可以看出如下规律：R22=R2+R3 网孔网孔2 2的自电阻。等于的自电阻。等于网孔网孔2 2中所有电阻之和。中所有电阻之和。自电阻总为正自电阻总为正。R12= R21= R2网孔网孔1 1、网孔网孔2 2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个网孔电流流过相关支路方向相当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负

15、号。同时，互电阻取正号；否则为负号。u11= uS1-uS2 网孔网孔1 1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。u22= uS2 网孔网孔2 2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当电压源电压方向与该网孔方向一致时，取负号；反之取正号。当电压源电压方向与该网孔方向一致时，取负号；反之取正号。il1il2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2R11iA+ +R12iB=u11R12iA+ +R22iB=u22由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：对于具有对于具有 l=b-(n-1) 个网孔的电路，有个网孔的电路，有: :其中其中:Rjk:互电阻互电阻+

16、: 流过互阻两个流过互阻两个网孔网孔电流方向相同电流方向相同- - : 流过互阻两个流过互阻两个网孔网孔电流方向相反电流方向相反 0 : 无关无关R11i1+R12i2+ +R1l il=u11R21i1+R22i2+ +R2l il=u22Rl1i1+Rl2i2+ +Rll il=ullRkk:自电阻自电阻(始终为正始终为正) 例例1.用网孔用网孔电流法求解电流电流法求解电流 i。解解选取网孔方向如图所示：选取网孔方向如图所示：i1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(0)(35252111 iRiRRRiR0)(35432514 iRRRiRiR（1 1）不含受控源的线性网络）

17、不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , , 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。说说明明32iii RSR5R4R3R1R2US+_i（2 2）当网孔电流）当网孔电流均取顺（或逆）均取顺（或逆）时针方向时，时针方向时，R Rjkjk均为负均为负。网孔电流法的一般步骤：网孔电流法的一般步骤：(1) (1) 选定选定l=b-(n-1)个网孔，并确定其绕行方向；个网孔，并确定其绕行方向；(2) (2) 对对l 个网孔，以网孔电流为未知量，列写其个网孔，以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；方程；(3) (3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到l 个网孔电流；个网孔电流；(5) (5) 其它分析

18、。其它分析。(4) (4) 求各支路电流求各支路电流( (用网孔电流表示用网孔电流表示) )；3.3.电路中含有理想电流源支路的处理电路中含有理想电流源支路的处理（1 1）电流源在一个独立的网孔中）电流源在一个独立的网孔中例例RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2Sii 1SUiRRiR 22111)(S34314)(UiRRiR 请列写图示电路的网孔电流方程。请列写图示电路的网孔电流方程。电流源在一个独立的网孔中，网孔电流就等于电流源的大小，电流源在一个独立的网孔中，网孔电流就等于电流源的大小，网孔电流方向与电流源方向一致符号取正，相反取负。网孔电流方向与电流源方向一致符号取正，相反取

19、负。3.3.电路中含有理想电流源支路的处理电路中含有理想电流源支路的处理（2 2）电流源介于两个网孔中间，）电流源介于两个网孔中间，引入电流源电压引入电流源电压U U，增加，增加 网孔电流和电流源电流的关系方程。网孔电流和电流源电流的关系方程。例例RSR4R3R1R2US+_iSU_+i1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(UiRRiR 22111)(UiRRiR 34314)(32iiiS 电流源看作电电流源看作电压源列方程压源列方程增补方程：增补方程：请列写图示电路的网孔电流方程。请列写图示电路的网孔电流方程。由上面的方程和增补方程构成四由上面的方程和增补方程构成四元一次方程

20、组求解。元一次方程组求解。（3 3）与电阻并联的电流源，可做电源等效变换）与电阻并联的电流源，可做电源等效变换转换转换4.4.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用网孔电流独立电源按上述方法列方程，再将控制量用网孔电流表示。表示。IRISR+_ISRI例例:RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(UiRRiR5)(22111 UiRRiR5)(34314 受控电压源看受控电压源看作独立电压源作独立电压源列方程列方程33

21、iRU 增补方程：增补方程：图示电路中含有受图示电路中含有受控电压源，请列写控电压源，请列写网孔电流方程。网孔电流方程。选取网孔电流方向如图所选取网孔电流方向如图所示，列方程如下：示，列方程如下：解解:控制量用网控制量用网孔电流表示孔电流表示例例:RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(05-)(3322111 iRiRRiR0)5(334314 iRRRiR含有受控源的电路，网孔电流方程的系数行矩阵通常是不含有受控源的电路，网孔电流方程的系数行矩阵通常是不对称矩阵。对称矩阵。图示电路中含有受图示电路中含有受控电压源，请列写控电压源，请列

22、写网孔电流方程。网孔电流方程。将增补方程代入原方程得：将增补方程代入原方程得：解解:例例列方程求流过列方程求流过R2电阻的电流电阻的电流 i。方法方法1 选网孔电流方向如图选网孔电流方向如图1432_+U2_+U3233131UiRiRR )(3222UUiR 035354313 iRiRRRiR )(134535UUiRiR 111iRU 增增补补方方程程Siii 21124gUii R1R4R5gU1R3R2 U1_+_U1iSi说明：方程变量数多，说明：方程变量数多，解题难度大。解题难度大。3.4 3.4 回路电流法回路电流法 (loop current method)(loop cur

23、rent method)l基本思想基本思想为减少未知量为减少未知量( (方程方程) )的个数，假想每个回路中的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。线性组合表示。来求得电路的解。1.1.回路电流法回路电流法: :以基本回路中的回路电流为未知量列写以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称为回路电流电路方程分析电路的方法称为回路电流法。法。回路电流法的一般步骤：回路电流法的一般步骤：(1) (1) 选定电路的树结构，确定电路中的树枝数为选定电路的树结构，确定电路中的树枝数为(n-1)条条；

24、(3) (3) 选取选取 l=b-（n-1）个独立回路，每一个独立回路包含个独立回路，每一个独立回路包含一条连枝；一条连枝；(5) (5) 回路的自电阻取正，互电阻当互电流和回路方向一回路的自电阻取正，互电阻当互电流和回路方向一致取正，否则取负；致取正，否则取负；(4) (4) 回路电流方向和连枝电流方向取一致；回路电流方向和连枝电流方向取一致；(2) (2) 含有电流源的支路选为连枝；待求变量选为连枝；含有电流源的支路选为连枝；待求变量选为连枝；(6) (6) 求解回路电流方程，支路电流用回路电流表示；求解回路电流方程，支路电流用回路电流表示；RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2SS

25、UiRRiRiRRR 34121141)()(例例1034321221141 iRRRRiRRiRR)()()(Sii 2为已知电流，实际减少了一方程为已知电流，实际减少了一方程电路如图所示，请列写最少变量的回路电流方程电路如图所示，请列写最少变量的回路电流方程解：解：2A3A2 +IU3 1 2A例例2 求电路中电压求电路中电压U，电流，电流 I 和电压源产生的功率。和电压源产生的功率。4Vi1i4i2i3解法解法1：选取树枝、连枝和独立选取树枝、连枝和独立回路回路Ai21 Ai34 Ai22 42364213 iiiiAi36/)4626(3 AiI33 ViiiU84222314 吸吸收

26、收）(8)(4314WiiiP 根据如图回路所示根据如图回路所示4Vi1i4i2i32A3A2 +IU3 1 2A2A3A2 +IU3 1 2A4Vi1i4i2i3Ai21 Ai33 Ai22 44363214 iiii解法解法2：Ai26/)41226(4 AiiiI3232431 ViU8424 吸吸收收）(844WiP 选取回路如图所示选取回路如图所示1432R1R4R5gU1R3R2 U1_+_U1iSi电流源、待求变量选为连电流源、待求变量选为连支，即为回路电流。支，即为回路电流。)(2111iiRU 增补方程：增补方程：说明：方程变量少，解题容易，但是列方程容易出错。说明：方程变量

27、少，解题容易，但是列方程容易出错。Sii 113gUi iRiRi )RRR(iR 0i )RR(i )RRR(iRiR34345432413 列方程求流过列方程求流过R2电阻的电流电阻的电流 i。例例33.5 3.5 结点电压法结点电压法 (node voltage method)(node voltage method)选结点电压为未知量，则选结点电压为未知量，则KVLKVL自动满足，自动满足，无需列写无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后视为结点电压的线性组合，求出结点电压后可方便地得到各支路电压、

28、电流。可方便地得到各支路电压、电流。l基本思想：基本思想：以结点电压为未知量列写电路方程分析以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。电路的方法。适用于结点较少的电路。1.1.结点电压法结点电压法l列写的方程列写的方程结点电压法列写的是结点上的结点电压法列写的是结点上的KCL方程，方程，独立方程数为：独立方程数为：与支路电流法相比，与支路电流法相比，方程数减少方程数减少b-(n- -1)个。个。)(1 n任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压是结点电压( (位位) )，方向为从独立结点指向参考结点。，方向为从独立

29、结点指向参考结点。(uA- -uB)+uB- -uA=0KVL自动满足自动满足说明说明uA- -uBuAuB2 2. 方程的列写方程的列写(1) (1) 选定参考结点，选定参考结点，标明其余标明其余n-1个独个独立结点的电压立结点的电压132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_ (2) (2) 列列KCL方程：方程： iR出出= iS入入i1+i2=iS1+iS2- -i2+ +i4+i3=0用结点电压表示支路电流：用结点电压表示支路电流：S2S1n2n1n1iiRuuRu 210432 RuRuuRuun2n3n2n2n1-i3+i5=-iS2253SSiRuuRuu

30、 n3n3n2132iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_整理，得：整理，得：S2S1n2n1)( )(iiuRuRR 2211110111113324322 nuRuRRRuRnn1 )(令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为：上式简记为：G11un1+G12un2 G13un3 = iSn15533111RuiuRRuRS S2n3n2 )()(G21un1+G22un2 G23un3 = iSn2G31un1+G32un2 G33un3 = iSn3标准形式的结点标准形式的结点电压方程电压方程等效电等效电流源流源其中：其中：G11=G1+G2

31、 结点结点1 1的的自电导自电导，结，结点点1 1上所上所有有支路的电导之和。支路的电导之和。 G22=G2+G3+G4 结点结点2 2的的自电导自电导，结点结点2 2上所有支路的电导之和。上所有支路的电导之和。G12= G21 =-G2 结点结点1 1与结点与结点2 2之间的之间的互电导互电导，结点，结点1 1与结点与结点2 2之间的所有支路的电导之和之间的所有支路的电导之和。方程中自电导项总取正，方程中自电导项总取正，互电导项总取负。互电导项总取负。G33=G3+G5结点结点3 3的的自电导自电导，结点结点3 3上所有支路的电导之和。上所有支路的电导之和。G23= G32 =-G3结点结点

32、2 2与结点与结点3 3之间的之间的互电导互电导，结点，结点1 1与结与结点点2 2之间的所有支路的电导之间的所有支路的电导之和。之和。132iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_iSn3=-iS2uS/R5 流流入结入结点点3 3的电流源电流的代数的电流源电流的代数和。和。iSn1=iS1+iS2 流入结点流入结点1 1的的电流源电流的代数和。电流源电流的代数和。流入结点取正号，流出取负号。流入结点取正号，流出取负号。1n11Rui 4n2Rui 43n3n2Ruui 32n2n1Ruui 25SRuuin 35由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电由结点电压方

33、程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：压，各支路电流可用结点电压表示：132iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_一一般般情情况况G11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2+Gn-1,nun,n- -1=iSn,n- -1其中其中Gii 自电导，自电导，等于接在结点等于接在结点i上所有支路的电导之和上所有支路的电导之和( (包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路) )。总为正。总为正。 当电路不含受

34、控源时，系数矩阵为对称阵。当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。iSni 流入结点流入结点i i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和( (包括由包括由电电压源与电阻串联支路等效的电流源压源与电阻串联支路等效的电流源) )。Gij = Gji互电导，互电导，等于接在结点等于接在结点i与结点与结点j之间的所支之间的所支路的电导之和，路的电导之和，总为总为负。负。结点法的一般步骤：结点法的一般步骤：(1) (1) 选定参考结点，标定选定参考结点，标定n-1 1个独立结点；个独立结点；(2) (2) 对对n-1-1个独立结点，以结点电压为未知量，个独立结点，以结点电压为未知量，列写其列写其

35、KCL方程；方程；(3) (3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1-1个结点电压；个结点电压；(5) (5) 其它分析。其它分析。(4) (4) 求各支路电流求各支路电流( (用用结点电压结点电压表示表示) )；试列写电路的结点电压方程。试列写电路的结点电压方程。(G1+G2+GS)U1- -G1U2GsU3=USGS- -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2- -G4U3 =0GSU1- -G4U2+(G4+G5+GS)U3 =USGS例例3 3. 无伴电压源支路的处理无伴电压源支路的处理（1 1）以电压源电流为变量，增补）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系结点电压与电压源间的关系UsG3G1G4G5G2+_GS123UsG3G1G4G5G2+_123(G1+G2)U1- -G1U2 =I- -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2- -G4U3 =0- -G4U