利用对称点解三角形中的格点问题8文档

1、第8页利用对称点解三角形中的格点问题（本讲适合初中）如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的 三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的 点为三角形中的格点.求解三角形中的格点问题，常可利用对称点.利用 对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新 颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料. 1证明对称点常用的方法大家知道，把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形中的对应点叫做关 于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴.根据对称点的定义不难知道

2、，欲证两点M、N关于线段PQ所在的直线对 称，只要证明 MPQ也 NPQ即可.不过，在证明对称时，只须摆明 条件，而不必特别指明两个三角形的全等关系.例1 在 ABC 中，/AEC=60，/ACE = 20，M%/A CE的平分线上一点，/MBC = 2 0 .求ZMAB的度数.解：如图1，设/MBA的平分线交AC于D，连DM.图1显然，BM平分/DBC，而CM平分/DCB，即M为ADBC的内 心.可知 ZMDB=Z MD& 60.有/ADB = 6 0=/MDB .故 点A与点M关于BD对称.则/MAB=90/DBA=70.这里证得“点A与点M关于BD对称”是根据“角、边、角” 例2 在AA

3、BC中，/ABC = /ACB = 4 0，P为形内一点，/PCA = /PAC = 2 0。.求ZPBC的度数.解：如图2，以AC为一边在AABC外作正ADAC .连DP.由/PCA = /PAC = 2 0，可知PA=PC .有点A与点C关于PD对1称.得/PDA= 2/ADC=30.由ZACB=ZABC = 4 0，可知AB = AC = AD. 易知ZPAD=80=ZPAB，可知点E与点D关于PA对称.有/ PEA=/PDA=30.则 ZPBC=10.这里证出“点A与点C关于PD对称”是根据“边、边、边”，证出“点B与点D关于PA对称”是根据“边、角、边”.综上可知，证明两个点关于某线

4、段所在直线对称，是一件很容易做的事 情.而且熟练以后，更可能节省些笔墨.明确了这一点，我们就要积极、 主动地创造条件，注意利用对称点.2在哪些情况下应想到使用对称点三角形中的格点问题，经常会给出或求证角平分线，这是使用对称点的最 方便的条件，换言之，在题目给出或求证角平分线时， 要想到使用对称点.例3 在 AABC 中，/ABC = 40，/ACB = 30，P 为/ABC的平分线上一点，/PCB=10 .求/PAB的度数.解：如图3，在BA延长线上取一点D，使BD=BC .连DP、DC.图3由BP平分/ABC，可知点D与点C关于BP对称.有PD=PC.由/DPC = 2(/PBC + /PC

5、B)=6 0 ，可知APCD为正三 角形.有PC = DC.在AACD中，由/ADC=7 0=/DAC，可知AC = DC .有AC = PC.在APCA中，由/PCA=2 0 ，可知/PAC=80.则 /PAB = 3 0.这里由BP平分/ABC， 想到在BA延长线上取一点D, 使BD=BC， 则点D为点C关于BP的对称点. 这是取对称点的最简单、最基本的方法. 例4 在 AABC 中，/ABC=50，/ACB = 30，Q 为形内 一点，/QBA = /QCA=2 0。.求/QAB的度数.解：如图4,设BQ交AC于D,过点D作BC的垂线交QC于E.连BE.图4由/QBC=30=/ACB，可

6、知DE为BC的中垂线.由/QCB = 10，可知 /EBC=10，/QBE=20=/QBA.由/EDB=6 0=/EDC，可知/BDA=6 0=/BDE.有 点A与点E关于BD对称.则/QAB=/QEB =/EBC+/ECB=20.这里注意到EQ是ZAQC的平分线，故想到在QC上取点E,使ZEB Q = ZABQ，则点E为点A关于BQ的对称点.为此想到满足条件的点 E,恰为BC中垂线与QC的交点。又由/QBC = 3 0=/ACB, 想到BQ与AC的交点D应为BC中垂线上的另一点.于是，我们选择了 如上的方法找到点A关于BQ的对称点E.例5在 AABC 中，/ABC=50,/ACB = 30,

7、 Q为形内一点，/QCA = /QAB= 20.求/QBC 的度数.解：如图5，设BC的中垂线分别交BA、AC于D、E，F为垂足.连 QE、BE、DC.由/ACD=2 0=/ACQ，/DAC=8 0=/QAC，可知点D与点Q关于AC对称.有 /AEQ=/AED=/FEC=60.由/BEF=/FEC=6 0 ，可知/AEB=6 0=/AEQ.有 B、Q、E三点共线.则/QBC=/EBC=30.这里注意到AC是AAOB的/QAB的外角平分线（这一点并不引人注 目），在BA延长线上取一点D,使DA = QA，则点D为点Q关于AC 的对称点.为此我们通过BC的中垂线，把/ABC “翻折”到ZDCB 的

8、位置，是非常恰当的.例6 在 AABC 中，/CAB = /CBA= 50, O为形内一点，/O AB=10 , ZOBC= 20.求/OCA的度数.解：如图6,过点C作AB的垂线交BO延长线于E.连AE.由/CAB=/CBA=50，可知点A与点B关于CE对称.又由/ OBC=20,/ECB = 4 0,有/CEA = /CEB=12 0.于是，/OEA=120=/CEA.由/EAB=/EBA=3 0,/OAB=l 0,可知AE平分/C AO.有点C与点O关于AE对称.则/OCA = /COA=12(180/OAC)=70.这里从准确的图形我们能够猜想AO = AC，或说点O与点C的对称轴经

9、过点A.由于图中没给出对称轴，我们通过AE的中垂线，将直线EO “翻 折”到AE位置，从而解决了/CAO的平分线的问题.处理是巧妙的.综上我们讨论了在图形中出现角平分线时应想到使用对称点当图形中缺 角平分线时，也要设法调整图形，使角平分线及时“出现”，为确定对称 关系提供方便.3如何选择对称点的位置恰当地选择对称点，能够使图形出现更多的特殊性，能够使图形具有更多 的好性质，能够使求解来得方便，简捷，新颖，巧妙为此，选择对称点 时，应当以能够出现特殊图形为原则.3.1让对称点落在某线段的中垂线上例 7 在 ABC 中，/AEC=50，/ACE = 30，R为形内 一点，/RBC = /RCB =

10、 2 0。.求ZRAB 的度数.解：如图7，以AB为一边在AABC形内一侧作正ADAB .连DR、DC.图7由ZACB = 30， 可知点D为AABC的外心. 于是，DB=DC.有 /DCB=/DBC=10，/BDC=160.由ZRBC = Z RC4 20，可知RB = RC .有RD为BC的中垂线，1且/RDB= 2 /BDC= 80.由/RBA=30。，可知点A与点D关于BR对称.有ZRABZR DB=80。.这里以AB为一边在ABC形内一侧作正ABD，实质上就是找到了点A关于BR的对称点，由于点D在BC的中垂线上，使 求解很方便.3.2让对称点落在某三角形的外接圆上例 8 在AABC

11、中，/ ABC=60，Z ACB=40，P 为形内一点， / PBC=20，Z PC* 10 .求 ZPAB 的度数.解：如图8,设点D为点B关于PC的对称点.连DA、DB、DC、D在 ABCD 中， 由/DCB = 20， 可知/BDC=80=/BAC. 有A、D、E、C四点共圆.由DC平分ZACB，可知DA = DB .易 知APBD为正三角形，有DP = DB .则DP = DA = DB，即点D为PAB的外心.故/PAB=12/PDB=30.这里，点B关于PC的对称点D恰好在AABC的外接圆上，使圆内接四 边形的性质能在求解中发挥作用.可见在选择对称点时，能使其位于某三 角形的外接圆上

12、，也是很理想的.3.3让对称点与另一点的某个对称点重合例9 在 AABC 中，/ABC = /ACB= 40，P 为形内一点，/P AC = 20，/PCB= 30.求/PBC 的度数.解：如图9,设点D为点C关于AP的对称点.连DA、DB、DC、DP.图9由 /PAC = 20，ZPCA=10，可知 ZDAC = 40，/ PDA=/ PC4 10。，则 PDC为正三角形.由/ABC = /ACB = 4 0，可知AC = AB = AD .由/BAD =6 0，可知AABD为正三角形.有/DBC=60/ABC = 20.由/PCB = 30。，可知点P与点D关于BC对称.故ZPBCZDBC

13、 = 20.这里寻到的点D是点C关于AP的对称点，也是点P关于BC的对称点.理想的巧合，使解法很漂亮.以上三例分别说明了选择对称点的常见的目标，当然还会有其他的目 标.对这些情况的深入研究，能使我们熟悉和喜欢利用对称点解题，即使 在较复杂的问题中，也能顺其自然，轻松流畅地寻出理想的解法来.例10 在 AABC 中，/ABC=50，/ACB=30，R 为形 内一点，/ RAC=/RCB= 20.求/RBC 的度数.解：如图10,设点E为点R关于AC的对称点，点D为点A关于EC的对称点.连 DA、DR、DE、DC、EA、EC. 图10易知 EDA为正二角形，有AD = AE = AR .在ACD中

14、，易知/DAC=8 0 ，可知ZBAC+ZDAC=180.有B、A、D三点共线.得/DCB = 50=/DBC，且 / BDC=80。.在 ARD中，由/RAD=10 0,可知/RDA=/DRA=40=12/BDC.由、可知点B与点C关于DR对称.则/RBC=/RCB=20.这里，先是将ARAC沿AC向上翻，然后又将AEAC沿EC向上翻， 这一翻再翻，构造出等腰 DBC正ADAE、等腰AARD，证出点B与点C关于DR对称， 也就求出了/RBC.其间巧取对称，真是奇妙. 例11 在 AABC 中，/ABC=5 0，/ACB = 2 0，N 为形 内一点，/NAB = 40，/NBC=3 0。.求

15、ZNCB的度数.解：如图11，过点N作AC的垂线交BA延长线于P.在AN延长线上 取一点Q,使/QBC = 3 0 .连PC、QC、QB、PQ、PN.图11由/PAC=7 0=/NAC，可知点P与点N关于AC对称.有PC = NC.由ZNAB = 4 0，ZABC=5 0 ，可知AQ丄BC .有点N与点 Q关于BC对称得QC=NC.则 PC = QC.易知ABQN为正三角形，有NB=NQ.由/NPA=9 0/PAC = 2 0=/NBA，可知NP=NB. 则 NP=NQ.易知APNC也厶“。.可知ZNCP = ZNCQ，即2/NCA=2 ZNCB.得ZNCA=ZNCB.1故ZNCB= 2ZACB=10.这里，一是将ANAC向上翻，二是将ANBC向下翻，这上翻下翻构造 了正ANBQ，等腰AANP，以点N为外心的APBQ，两个全等的等 腰ANCP 和ANCQ .其间，巧用对称，堪称一绝.三角形中的格点问题，为对称点的使用提供了广阔的空间，只要我们潜心 研究，科学归纳，总会有新的规律被发掘和利用.练习题题号在厶ABC中P为形内一点，求出卜面空格中的角的度数答案/ ABC/ ACB/ PBC/ PCB/ PAB14 03 02 010 01026 04 02 03 0