数学论文_希尔伯特空间中子空间的闭性与补性

1、希尔伯特空间中子空间的闭性与补性 (孝感学院数学系031114112)摘要：本文主要讨论了内积空间中子空间所需的条件,并证明了以下主要结果：（1） 设是内积空间,是中的子空间，则的子空间,使得.（2） 若是内积空间,是中的有限维子空间,则;设是无限维内积空间,是中的无限维子空间,则不一定成立关键词：内积空间；直交补；子空间；闭集. Hilbert space neutron closed space with the complementary natureHuang xue-mei(031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University)

2、Abstract: This article mainly discussed the inner product space neutron space to satisfy the condition which needed, and has proven belowthe main result: (1)supposes is the inner product space, is center sub- space, then when also only when has sub- space, causes .(2)if is the inner product space, i

3、s center finite-Dimensional the sub- space, then establishment; Supposes is the infinite Uygurinner product space, is center infinite Uygur sub- space, then not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space; Is perpendicular to makes up; Sub- space; Closedset.0 问题的提出在文献1中提出了如下问题：“Le

4、t be a space, is a subset of ,then is a closed subspace.Prove the conclusion.Beacause is closed,every vector in can be decomposed into ,where is in .If is also a subspace，can we conclude that ? why?”在文献2中,只证明了是Hilbert空间的闭子空间时,有及成立本文将讨论当是内积空间的子空间时,及在哪些条件下成立,并给出证明;文献8研究了模糊内积空间中的投影定理,本文将探讨一般内积空间中投影定理成立

5、的条件,并试图减弱文献2中的投影定理的条件.本文中,用表示与的内积;用表示的范数(由内积导出的范数即);当且仅当;为的直交补; 为的线性包;是的闭包;是线性包的闭包;是闭包的线性包; ,; 表示空集;若内积空间是复的内积空间时,是复数域;若内积空间是实的内积空间时,是实数域;是闭区间上全体连续函数构成的线性空间; Hilbert空间即完备的内积空间; 为子空间的维数;另外表示等于与的直和,即,使.本文还类似文献3,7在内积空间中引入了正交补概念:设,是内积空间的子空间,若,就称是的正交补在文献5中讨论了无限维欧式空间中子空间直交补(即为文献5中的正交子空间)与正交补等价的条件,并且发现直交补与

6、正交补是否相同是由欧式空间的完备特性所决定的;本文在文献4和5的启发下,讨论了当是内积空间的子空间时, 的直交补与正交补的关系.1 引理及证明引理1 （Schwarz不等式）设按内积成为内积空间,则对，成立不等式 当且仅当与线性相关时,不等式取“”引理2 设为内积空间,对,若,则证明 ,对,使得,有,使得,有于是, 当时,有 （由引理1）,又时,有 ,当时,有界,令,则,.注1 引理2说明:若将看作一个二元函数,则此二元函数是连续的,即极限符号与内积符号可以交换位置:.引理3 设为内积空间,是的子集,则是中的闭子空间.证明 先证是中的子空间：对,则,有,.再证是闭子空间：对收敛点列且,有:,由

7、引理2,有,是闭子空间.引理4 设是内积空间的非空子集,则成立.证明 对,.引理5 设,是内积空间中的非空子集且,则.证明 对,有,.引理6(投影定理) 设是Hilbert空间中的闭子空间,则成立.引理7 设是Hilbert空间中的闭子空间,则成立.引理8 设是内积空间的线性子空间,则.证明 为线性子空间, 又, 对,有且,.引理9 设是内积空间的非空子集且,则成立.证明 由引理4知,下证:对,由于,有,由引理3有 是中的闭子空间,应用引理8有 , .引理10 设是内积空间的子空间,则.证明 显然成立,下证:对,使,是子空间, ,.引理11 设且,则且,有.证明 由积分中值定理,使,使.假设在

8、内只有一个实根,则由于且,在与上异号,不妨设在上,在上,矛盾,假设不成立,且,有.另证 令,则,又,由积分中值定理,使,.对在和上分别利用罗尔定理, 则,使,证毕.引理12 设且,则互不相同的,有.证明 用数学归纳法证明当时由引理11可知命题成立;假设当时命题成立, 即若，则互不相同的，使.当时,由命题条件可知,由假设可知:互不相同的,有.不妨设，则假设在上只有个根，又由于，且,则 当为偶数，易知：在与上异号.不妨设在上,在上.所以我们得到：矛盾. 当为奇数时，易知：在与上异号.不妨设在上,在上.容易证明： 矛盾.由,可知假设不成立.在上不只有这个根,且与都不相同,使.当时,互不相同的,有由,

9、可知对此命题都成立.2 主要结论及证明定理1 设是内积空间中的子空间,则 的子空, .证明 令,由引理3 是内积空间中的闭子空间 由引理4有,下证，由引理4有,由引理5,有，即, 又, .推论 设是内积空间的非空子集,则成立.证明 由引理3，知是内积空间中的子空间，令，由定理1得，即，亦即成立.注 也可以直接证明本推论，现证明如下：对与应用引理4，得与成立，对再应用引理5，得，故现在我们讨论一般内积空间中的子空间是否满足及,先对有限维内积空间中的子空间进行讨论.定理2 有限维内积空间必为Hilbert空间.证明 只需证明是完备的. 设的一组标准正交基为,则只需证明柯西点列有在中收敛,可设，是柯

10、西点列, ，有，即,对每个,有,有 ,对每个,有是柯西数列必收敛，不妨设,其中,则令,则显然成立,下证:由有,对每个,对上述,有且,即在中收敛,为完备的内积空间即Hilbert空间.定理3 有限维内积空间的子空间必为闭子空间.证明 只需证明是闭的,即对收敛点列且,要证.不妨设子空间的一组标准正交基为,可设,是收敛点列必为柯西点列,有,即 = ,对每个,有,有 对每个,有是柯西数列必收敛,不妨设,其中，令,则,下证:由有,对每个,，对上述,有 ,由极限的唯一性,有,为闭子空间.定理4 有限维内积空间的子空间必满足.证明 由定理2和定理3可知是Hilbert空间中的闭子空间,由引理6和引理7,有及

11、成立.那么无限维内积空间的子空间是否满足及?下面进行讨论.定理5 设是无限维内积空间的子空间，且,则有,及成立.证明 易证(1)成立,下证成立:设的一组标准正交基为,则对,令,则,且, 下证,只需证明,有, , ,其中, 所以.又由引理9知成立. 注2以上定理说明若是无限维内积空间的有限维子空间,则必满足及,那么如果是无限维内积空间的无限维子空间是否也有及成立?定理6 设是无限维内积空间的子空间且,则有;不一定成立.证明 只需举出反例: 欧氏空间按成为内积空间,令,则易证是无限维内积空间的子空间,且,下求:对有,，取,则,方法1对,有 , ,又, , , 由引理8,知, ,由引理9,易证不成立

12、.方法2 ,设,则 , 易知:, 由引理12,可知在(a,b)上可找到个互不相同的零点, 在(a,b)上可找到个互不相同的零点,的次数为,由引理9,易证不成立.注3 由定理4、5、6可得到本文的主要结论: 若是内积空间,是中的有限维子空间,则与成立;设是无限维内积空间,是中的无限维子空间,则与不一定成立现在讨论直交补与正交补的关系:定理7 设是内积空间中的子空间, 是的正交补,则是的直交补,即.证明 先证 , 对,是的正交补,;下证,即证,有.,使,即,又, , 由上可知.注4 由定理7可知内积空间中的子空间的正交补一定是的直交补,换句话说的正交补的条件比直交补的要强一些;并且:若是内积空间中

13、的有限维子空间，则由定理4、5可知与满足正交补定义的条件和,即此时的直交补也是的正交补;因此当是内积空间中的有限维子空间时,的正交补和直交补等价;设是无限维内积空间中的无限维子空间,则由定理6可知的正交补和直交补不一定等价下面讨论当是Hilbert空间中的闭子空间时,、之间的关系.定理8 设是Hilbert空间中的闭子空间，则有成立.证明 是中的闭子空间，由引理10知是中的闭子空间，又由引理7，知，因此得到,是中的闭子空间,.3 结束语本文在文献2中的投影定理及其推论的基础上,结合文献4,5中论述的线性空间中有限维与无限维的差异,解决了文献1提出的问题并且得出了一些新的结论, 不同于文献10,

14、 本文在这些结论的基础上,讨论了内积空间的子空间的直交补与正交补的关系,使今后对内积空间的研究变得更方便.相较文献4而言,本文又补充了线性空间中有限维与无限维的一个本质差异.参考文献1 Kreyszig E. Introductory functional analysis with applicationsM. New York:John Wrley & Sons: Inc. 19782 程其襄等.实变函数与泛函分析基础(第二版)M.北京：高等教育出版社，2003.的含anMsh订立定理3 王萼芳等.高等代数(第三版) M. 北京：高等教育出版社,2003,2.4 王航平.线性空间中有限维与无限维之差异J.中国计量学院学报,2003,14(1):67-69.5 舒世昌.无限维欧式空间中的正交补与正交子空间J.教育创新,2003,12(2):31-31.维欧式空间子空间的正交补J.桂林市教育学院学报,2000,14(4):94-95.7 胡运红等.欧式空间中的子空间的正交补的探讨J. 运城学院