数学必修二.球的体积和表面积

1、正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图ha正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表

2、面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和hOOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形S侧=2 rl圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr122rlS侧=rl 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环S侧S侧=12 22rr l rr l rr llOrO rlOrlOOr)(2lrrS

3、柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？rrr013sh13h ss ss怎样求球的体积怎样求球的体积?h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排

4、液法测小球的体积hH 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象曹冲称象假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)AAAAAA( p211n3221正多边形pC21圆正多边形时，当CC,Rpn2RR2R21S圆pA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更

5、小，即所边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，。这样重复下去，就达到了就达到了“割之又割，以至于不可再割，则割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的。这是世界上最早的“极限极限”思想。思想。,21RRr ,)(222nRRr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C22.球的体积球的体积AOOR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的体积球的体积

6、334RV定理定理:半径是半径是R的球的体积的球的体积R332RV半球331RV圆锥3RV圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比阅读材料以及思考题1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来的几倍的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,求这个球的体积求这个球的体积. 8倍倍332A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O 钢球直径是5cm,.把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至至少要用多少纸少要用多少纸? ?用料

7、最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体226 5150Scm全侧棱长为侧棱长为5cm两个几何体两个几何体相（内）切相（内）切:一个几何体的各个一个几何体的各个面面与另一个几何体与另一个几何体的各的各面面相切相切.O OE EO O1 1P PO OD DC CB BA A两个几何体两个几何体相接相接:一个几何体的所有一个几何体的所有顶点顶点都都 在另一在另一个几何体的个几何体的表面表面上上A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OOBDA1OMR 球面不能展开成平面图形，所以球面不能展开成平面

8、图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得得到启发，可以借助极限思想方法来推到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。导球的表面积公式。3. 球的表面积球的表面积球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：334RVoiS o球的表面

9、积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球的表面积34133RsR定理定理 半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积： R24SRR1、地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的一半。(1)求地球的表面积和体积；(2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？V地球=433=433=4212(km3)S地球=428(km2)解：（1）（2）V火V地=43火343地

10、3=R火3R地3=(12R地)3R地3=18S火S地=4 火24 地2=R火2R地2=(12R地)2R地2=14例例1.1.如图如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径, ,求证求证: : (1) (1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. .O O证明证明: :R R(1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R,24RS球球得得: :则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.2422RRRS圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱侧侧球球SS(2)(2

11、)24RS球球圆圆柱柱全全球球SS32222624RRRS圆柱全圆柱全Q例例2.2.如图，已知球如图，已知球O O的半径为的半径为R,R,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长的棱长 为为a,a,它的各个顶点都在球它的各个顶点都在球O O的球面上，的球面上， 求证：求证：aR23A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中

12、心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：aRaaRaDBRDBDDBRt23,)2()2(22:2221111得得：，中中变题变题1.1.如果球如果球O O切于这个正方体的六个面，则有切于这个正方体的六个面，则有R=R=。2a (1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为则半径变为原来的原来的倍。倍。 (2)(2)若球的半径变为原来的若球的半径变为原来的2 2倍，则表面积变为倍，则表面积变为原来的原来的倍。倍。 (3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比，则其体积之比是是。

13、 (4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比，则其表面积之比是是。 (5)(5)若两球表面积之差为若两球表面积之差为48 ,48 ,它们大圆周长之它们大圆周长之和为和为12 ,12 ,则两球的直径之差为则两球的直径之差为。题组一题组一:题组二题组二:1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 62、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切。求球的表面积。切。求球的表面积。1、一个四面体的所有的棱都

14、为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD， 为其外接球为其外接球心。心。1O 球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则

15、此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径的外接球，此时球的直径为为 ，23选选A2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。 解：作出过一条侧棱解：作出过一条侧棱PC和高和高PO的截面，则截面三角形的截面，则截面三角形PD

16、C的的边边PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圆与球被截成的大圆与DP、DC相切，相切，连结连结EO，设球半径为，设球半径为r，16,2rPOrDOPD得246Sr球故Rt PEO1Rt PO D由由E EO O1 1P PO OD DC CB BA A2、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。解法解法2：连结：连结OA、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P PO OD DC CB BA A4P ABCO PABO PBCO PCAO ABCO ABCVVVVVV11,3P

17、 ABCABCVSPO因11,3O ABCABCVSOO14Or所以P162 6,.2Or易求P所以解题小结：解题小结：1、多面体的、多面体的“切切”、“接接”问题，必须明问题，必须明确确“切切”、“接接”位置和有关元素间的数量位置和有关元素间的数量关系，常借助关系，常借助“截面截面”图形来解决。图形来解决。2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。面问题得到解决，并注意方程思想的应用。3、注意化整为零的思想的应用。、注意化整为零的思想的应用。