理论力学第三章——摩擦

1、5.1 滑动摩擦5.2 摩擦角和自锁现象5.3 考虑摩擦的平衡问题5.4 滚动摩擦第五章 摩 擦摩擦的类别：摩擦的类别：干摩擦固体对固体的摩擦。流体摩擦流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。滑动摩擦由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引起的摩擦。滚动摩擦由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引起的摩擦。 当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有

2、滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。5.1 滑动摩擦在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体在重力P和法向反力N的作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力Q，当拉力Q由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力N外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，以F表示，方向向左，如图。5.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力NPNPFQ静摩擦力的大小随水平力Q的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力Q的增大而无限度地

3、增大。当力Q的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力Q再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果Q再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点；5.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力NPFQ0:0XQFFQmax0FF综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即 由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向反力的大小成正比，即：maxsFf N这就是静滑动

4、摩擦定律/库仑定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。静摩擦定律（库仑摩擦定律）静滑动摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。5.1.2 动滑动摩擦定律当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力Q再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力动滑动摩擦力，简称动摩擦力动摩擦力，以F表示。实验表明：动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即Ff N式中f是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，

5、即 fs f。5.1.2 动滑动摩擦定律 实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。 多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍减小，但当相对滑动速度不大时，动摩擦系数可近似地认为是个常数。5.2.1 摩擦角 当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向反力N和切向摩擦力F ,这两个力的合力称为支承面的约束全反力，即R= N + F ，它与支承面间的夹角将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态时，角达到一最大值j。约束全反力与法线间的夹角的最大值j 称为摩擦角。5.2 摩擦角和自锁现象NFRNFmaxRj由图可知

6、，角j与静滑动摩擦系数f的关系为：maxtanssFf NfNNj5.2.1 摩擦角即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，R的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2j的圆锥。NFmaxRjR 5.2.2 自锁现象物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以约束全反力与法线间的夹角也在零与摩擦角j之间变化，即由于静摩擦力不可能超过最大值，因

7、此约束全反力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即约束全反力必在摩擦角之内。0jNFmaxRjqjjjWRA (1)如果作用于物块的全部主动力的合力W的作用线在摩擦角j之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力W与法线间的夹角q j，因此， W和全约束反力R必能满足二力平衡条件，且q j ，而j ，支承面的全约束反力R和主动力的合力W不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。5.3 考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力F

8、，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即F fsN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0FfsN)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。 PQ 解解1：（解析法）：（解析法） 以物块为研究对象，当物块处于向下以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。图坐标。

9、minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minPFQX0cossin:01minPNQY1max1fNF例例1 将重为将重为P的物块放在斜面上，斜面倾的物块放在斜面上，斜面倾角角 大于接触面的摩擦角大于接触面的摩擦角 （如图），（如图），已知静摩擦系数为已知静摩擦系数为 f ，若加一水平力，若加一水平力 使使物块平衡，求力物块平衡，求力 的范围。的范围。mjQQ联立求解得：联立求解得：PffQsincoscossinminPxymaxQmax2F2N 当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。受力如图，建立如图坐标。0sinc

10、os:0max2maxPFQX0cossin:02maxPNQY2max2fNF联立求解得：联立求解得：PffQsincoscossinmax故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：QPffQPffsincoscossinsincoscossinminQP1RmjminQ1RPmjPmaxQmj2R2RmaxQPmj 解解2：（几何法）：（几何法） 当物体处于向下滑动的临界平衡状当物体处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：由力三角形可得：)(minmPtgQj 当物体处于向上滑动的临界平衡状当物体处于向上滑动的临界平衡状态

11、时，受力如图，可得力三角形如图。态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：由力三角形可得：)(maxmPtgQj故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：Q)()(mmPtgQPtgjj将上式展开亦可得同上结果。将上式展开亦可得同上结果。PAB例例2 梯子梯子AB长为长为2a，重为，重为P，其一端置于水，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为子与地和墙的静摩擦系数均为 ，问梯子与，问梯子与水平线的夹角水平线的夹角 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？fPABANBNAFBFxymin解解1：（解析法

12、）以梯子为研究对象，当梯：（解析法）以梯子为研究对象，当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，此时如图，此时 角取最小值角取最小值 。建立如图坐。建立如图坐标。标。min0:0ABFNX（1）0:0PFNYBA（2）:0)(FmA0sin2cos2cosminminminaNaFPaBB（3）由摩擦定律：由摩擦定律：AAfNF （4）BBfNF （5）将式（将式（4）、（）、（5）代入（）代入（1）、（）、（2）得：）得：ABfNN BAfNPN即可解出：即可解出：21fPNA21ffPNBPABANBNAFBFxymin故故 应满足的条件是：应满足的条件是：mj222此条件即为梯子的自锁条件。此条件即为梯子的自锁条件。将将 代入（代入（2）求出）求出 ，将，将 和和 代入（代入（3），得：），得：ANBFBFBN0sin2coscosminmin2minff将将 代入上式，解出：