矩阵分析在汉明码中的应用6页

1、矩阵分析在汉明码中的应用摘要：数字信号在传输过程中，由于受到干扰的影响，码元波形将变坏。接收端收到后可能发生错误判决。由于乘性干扰引起的码间串扰，可以采用均衡的办法来纠正。而加性干扰的影响则需要用其他办法解决。在设计数字通信系统时，应该首先从合理选择调制制度，解调方法以及发送功率等方面考虑，使加性干扰不足以影响到误码率要求。在仍不能满足要求时，就要考虑采用差错控制措施了，本文在基于矩阵分析的基础上对汉明编码进行介绍，效率高，提高抗突发干扰的能力。关键词：矩阵分析 汉明码引言矩阵如今在各个领域都有广泛的应用，例如在生活中，在经济中，在通信领域，数字图像领域中等各个方面应用很广泛。在生活中的魔方也

2、是根据矩阵分析，在excel表格中，我们可以根据矩阵很简单的计算出各行各列的和，在数字图像处理中，我们将图像用矩阵表示，像素来表示，一个像素代表一点，有很多像素组成一幅数字图像，再对矩阵进行各种变换从而实现数字图像处理，在通信领域中我们也经常用到矩阵，例如编码，我们下面将对矩阵分析在汉明编码中的应用进行具体分析1.汉明码编码Hamming码中文称作汉明码。汉明码是由汉明于1950年提出的，具有纠正一位错误能力的线性分组码 它的突出特点是：编译码电路简单，易于硬件实现；用软件实现编译码算法时，软件效率高；而且性能比较好.1.1 汉明码的定义：若一致监督矩阵H 的列是由不全为0且互不相同的所有二进

3、制m(m2的正整数)重组成，则由此H矩阵得到的线性分组码称为2m-1,2m-1-m，3汉明码。1.2 汉明码的构造特点：1)绐定一个m，我们由二进制m 重组成线性分组码的监督矩阵H，由二进制m重来标定一个发生错误的位置。由此可知，二进制m 重共有2 种位组合，去掉一个全为0的位组合，则余下共有2m-1种位组合。故汉明码的最大码长n=2m-1。2)由上面分析，我们可以知道：m 即是汉明码监督位的位数。故一个汉明码中，信息位的位数k=nm=2m-1-m3)汉明码的距离为3，因此可以纠正1位错误，检出2位错误。1.3 汉明码编码的主要算法汉明码的编码就是如何根据信息位数k，求出纠正一个错误的监督矩阵

4、H，然后根据H求出信息位所对应的码字。构造汉明码监督矩阵H的方法很多，这里仅介绍一种。1)根据已知的信息位数k，从汉明不等式中求出校验位数m=n-k；2)在每个码字C：(C1，C2， ，C2m -1)中，用c02 ，c12 ，cn-12作为监督位，剩下的位作为信息位；3)用二进制数字表示2m-1 列，得到2m-1列和m行监督矩阵H；4)用3步的H形成HCT =0，从而得出m个监督方程；5)将已知的信息代入方程组，然后求出满足上述方程组的监督位c (i=0，1， ，m一1)。例如，用以上方法，很容易求出7，4，3汉明码的监督矩阵：1 1 1 0 1 0 0 H= 1 1 0 1 0 1 0 1

5、0 1 1 0 0 1及编码所对应的码字为C=011001。对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为rnk位的分组码，常记作（n，k）码，如果满足2r1n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。下面我们通过（7，4）汉明码的例子来说明如何具体构造这种码。设分组码（n，k）中，k = 4，为能纠正一位误码，要求r3。现取r3，则nkr7。我们用a0ala2a3a4a5a6表示这7个码元，用S1、S2、S3表示由三个监督方程式计算得到的校正子，并假设三位S1、S2、S3校正子码组与误码位置的对应关系如表1所示。S1S2S3错码位置S1S2S3 错码位置 001 a0 101 a4 01

6、0 al 110 a5 100 a2 111 a6 011 a3 000 无错码 表1 校正子和错码位置关系由表可知，当误码位置在a2、a4、a5、a6时，校正子S11；否则S10。因此有S1a6a5a4a2，同理有S2a6a5a3a1和S3a6a4a3a0。在编码时a6、a5、a4、a3为信息码元，a2、a1、a0为监督码元。则监督码元可由以下监督方程唯一确定 a6a5a4a2 = 0 a6a5a3a1 = 0 (1.1.1) a6a4a3a0 = 0 也即a2a6a5a4 a1a6a5a3 （ 1.1.2）a0 = a6a4a3由上面方程可得到表2所示的16个许用码组。在接收端收到每个码组

7、后，计算出S1、S2、S3，如果不全为0，则表示存在错误，可以由表1确定错误位置并予以纠正。举个例子，假设收到码组为0000011，可算出S1S2S3=011,由表1可知在a3上有一误码。通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为dmin3，纠正一个误码或检测两个误码。如果超出纠错能力则反而会因“乱纠”出现新的误码. 信息位 监督位 信息位 监督位 a6a5a4a3 a2a1a0 a6a5a4a3 a2a1a000000001 0010 0011 0100 0101 01100111 000 011 101 110 110 101 011 0001000100110101011110011

8、0111101111 111100010001001010100111 表2 （7,4）汉明码的许用码组2.监督矩阵 上面有提到过，线性码是指信息位和监督位满足一组线性代数方程的码，式(1.1.1)就是这样的例子，现在将它改写成 1*a61*a51*a40*a31*a20*a10*a0=0 1*a61*a50*a41*a30*a21*a10*a0=0 (1.1.3) 1*a60*a51*a41*a30*a20*a11*a0=0 我们可以将式（1.1.3）表示成如下的矩阵形式 a6 a5 1 1 1 0 1 0 0 a4 0 1 1 0 1 0 1 0 a3 = 0 （1.1.4） 1 0 1

9、1 0 0 1 a2 0 a1 a0 式（1.1.4）还可以简记为 H*AT=0T 或 A*HT=0 （1.1.5） 其中1 1 1 0 1 0 0 H= 1 1 0 1 0 1 0 A= a6a5a4a3a2a1a0 0= 000 1 0 1 1 0 0 1上角“T”表示将矩阵转置。例如HT是H的转置，即HT的第一行为H的第一列，第二行为第二列。 我们将H称为监督矩阵(paritycheck matrix).只要监督矩阵H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。由（1.1.4）和(1.1.5)都可以看出，H的行数就是监督关系式的数目r，H的每一行中的“1”的位置表示相应码元之间存在的监

10、督关系。式（1.1.4）中的H矩阵可以分为两部分。 1 1 1 0 1 0 0 H= 1 1 0 1 0 1 0 = PIr (1.1.6) 1 0 1 1 0 0 1式中：P为r*k阶矩阵；Ir为r*r阶单位方阵。3. 生成矩阵 由代数理论可知，H矩阵的的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性无关的监督关系式，从而也得不到r个独立的监督位。若一矩阵可以写成PIr的矩阵形式，则其各行一定是线性无关的。因为容易验证Ir的各行是线性无关的，故PIr的各行也是线性无关的。 类似于（1.1.1）改成（1.1.4）那样，（1.1.2）可以改写成 a6a2 1 1 1 0 a5 a1 = 1 1 0

11、1 a4 （1.1.7） a0 1 0 1 1 a3或者 1 1 1 a2a1a0 = a6a5a4a3 1 1 0 = a6a5a4a3 Q (1.1.8) 1 0 10 1 1其中，Q为一个k*r阶矩阵，它为P的转置，即 Q=PT式（1.1.8）表示，在信息位给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。我们将Q的左边加上一个k*k阶单位方阵，就构成一个矩阵G 1 0 0 0 1 1 1 G= IKQ = 0 1 0 0 1 1 0 (1.1.9) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1G称为生成矩阵（generator matrix），因为由它可产生整个码组，即有 a6

12、a5a4a3a2a1a0 = a6a5a4a3 G= A (2.2.0)4.(7,4)汉明码的编码思路(7,4)汉明码的编码就是将输入的四位信息码编成七位的汉明码，即加入三位监督位。根据式(2.2.0）A = a6 a5 a4 a3 G可知，信息码与生成矩阵G的乘积就是编好以后的(7,4)汉明码，而生成矩阵G又是已知的，由式(1.1.9)得1 0 0 0 1 1 1 G = 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1所以，可以得出如下方程组 a6 = a6 a5 = a5 a4 = a4 a3 = a3 (2.2.1) a2 = a6 + a5 + a4 a1 = a6 + a5 + a3 a0 = a6 + a4 + a3参考文献1 史荣昌，魏丰；矩阵分析；北京理工大学出版社；2 雷章富;汉明码的串行检测法J;桂林电子工业学院学报;1983年02期；3