南开大学高等数学15不定积分课件

1、南开大学高等数学15不定积分第一章 微积分1.5 不定积分 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分主要教学内容：原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式表基本积分公式表不定积分的线性运算不定积分的线性运算换元法换元法分部积分法分部积分法积分表的使用积分表的使用2.5 不定积分 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5.1 原函数与不定积分1. 基本概念2. 不定积分的几何意义3. 积分与微分的关系2.5 不定积分 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分1.基本概念 在在小学和中学我们学过逆运算，小学和中学我们学过逆运算， 例如：加法

2、的逆运算是减法例如：加法的逆运算是减法; ; 乘法的逆运算是除乘法的逆运算是除法法; ; 指数的逆运算是对指数的逆运算是对数等。数等。 2.5 不定积分微分是否有逆运算？若有微分是否有逆运算？若有, 是什么？是什么？ 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分 微分法：微分法： 互逆运算互逆运算 积分法积分法: :2.5 不定积分( )?(?)( )fxf x 微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！ 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分定义定义1 1 设设 在区间在区间 内有定义内有定义, ,若存在函数若存在函数 使得使得则称则称

3、 为为 在在 内的一个原函数。内的一个原函数。（原函数是整体性质）（原函数是整体性质） （导函数也是整体性质；导数？）（导函数也是整体性质；导数？） 1. 1.什么条件下函数什么条件下函数 存在原函数？存在原函数？ 2.2.若若 有原函数，共有多少？有原函数，共有多少？ 3. 3. 的任意两个原函数之间有何关系？的任意两个原函数之间有何关系？ 2.5 不定积分( )( , )f xa b( )F x( )( ),( , )F xf xxa b( )F x( )( , )f xa b( )f x( )f x( )f x 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分说明：说明：1. 1.

4、原函数存在定理：连续函数一定有原函数。原函数存在定理：连续函数一定有原函数。 2. 2. 若若 ，则对任意常数，则对任意常数 ， 都是都是 的原函数。的原函数。 例如：例如： 表明表明 是是 的一个原函的一个原函 数数, , 而对任意常数而对任意常数 都都有有 ，因此，因此 的原函数不惟一，有无穷多个。的原函数不惟一，有无穷多个。 3. 3. 设设 都为都为 的原函数，的原函数，则则 。2.5 不定积分( )( )F xf xC( )F xC( )f xsinxcosxC(sin )cosxx(sin)cosxCxcosx( ),( )F xG x( )f x( )( )F xG xC 上页

5、下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分( )( )( )f xf x dxxF xC( )F x( )f x( )f x( )F xC( )f x定义定义2 2 若若为为的一个原函数，则的一个原函数，则的的所有原函数所有原函数称为称为的不定积分，记为的不定积分，记为积分号积分号被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量一个原函数一个原函数任意常数任意常数符符号号说说明明 ( )( )f x dxF xC 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分C1( )f xx( ).f x dx110(ln ),ln110ln(),ln()1ln

6、 |xxdxxCxxxxdxxCxxdxxCx时，；时，因此.2( )3f xx( ).f x dx3( ).f x dxxC例例1 1 已知已知 ，求，求 计算计算不定积分时，只需找到不定积分时，只需找到一个一个原函数，再加任意常数原函数，再加任意常数 即可。即可。检验检验不定积分运算是否正确，只需求导验证。不定积分运算是否正确，只需求导验证。例例2 2 已知已知 ，求，求 解：解： 解：解： 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分( )F x( )f x( )F x( )f x一个原函数对应于一条积分曲线一个原函数对应于一条积分曲线不定积分则对应于积分曲线簇不

7、定积分则对应于积分曲线簇无数条积分曲线无数条积分曲线被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率被积函数对应于积分曲线在各点的切线斜率 同一横坐标处，切线平行同一横坐标处，切线平行2.不定积分的几何意义 若若 为为 的一个原函数，则称的一个原函数，则称 的图像为的图像为 的的 一条积分曲线。一条积分曲线。 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分2x( )yF xx(1,2)( )2Fxx2( )2F xxd xxC(1,2)2211, 1.CCyx 将将 代入上式代入上式, ,例例3 3 已知曲线已知曲线 在任意一点在任意一点 处的切线斜率为处的切线斜率为 ，且，且曲线

8、通过点曲线通过点 , ,求曲线方程。求曲线方程。解：依题意解：依题意 因此因此这样的曲线这样的曲线 有无穷多条，有无穷多条，而其中通过而其中通过 的曲线只有一条，的曲线只有一条，(1,2)因此得因此得故故通过通过 的的曲线方程为曲线方程为 y21yx21yxC22yxC23yxC0 x(1,2)2yxC(1,2) 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分arcsinarccos.2xx2.1d xx例例4 4 求求221(arcsin ),arcsin,11d xxxCxx221( arccos ),arccos.11d xxxCxx 解：解：而而这是因为这是因为不

9、定积分答案形式不惟一，但本质是一样的不定积分答案形式不惟一，但本质是一样的! ! 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分南开大学高等数学15不定积分14 （2）关于）关于“不定积分不定积分”与与“原函数原函数”的联系的联系和区别和区别 的原函数，是的原函数，是 求导以前求导以前“原来的函数原来的函数”；而而 的不定积分，是的不定积分，是 的的“全部原函数全部原函数”，它可以表示为它可以表示为“ 的一个原函数加任意常数的一个原函数加任意常数C”的形式。的形式。)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf南开大学高等数学15不定积分15 为了让文科学生形象地理解为了让文科学生形象地理解“

10、 的原函数的原函数”的概念，我们用的概念，我们用“填空填空”的方式来说明的方式来说明“原来的原来的函数函数”的含义：的含义： 的括号中需要填的，就是的括号中需要填的，就是 的原函数的原函数 。)(xfxcos)(xcosxsin南开大学高等数学15不定积分16 的不定积分，是一个集合，是的不定积分，是一个集合，是 的的“全全部原函数部原函数”的集合，它的表现形式是的集合，它的表现形式是“ +C, C 是任意常数是任意常数”，其中，其中 是是 的任意一个原函的任意一个原函数。既然数。既然 是是 的的“任意任意”一个原函数，所一个原函数，所以解答的表现以解答的表现“形式形式”，某人可能与别人不一样

11、，某人可能与别人不一样，但也许都是正确的；因为虽然其中的但也许都是正确的；因为虽然其中的“一个原函数一个原函数”两人选得不同，可是加上任意常数两人选得不同，可是加上任意常数C以后，表达的以后，表达的“ 的全部原函数的全部原函数”的集合就完全一样了；并的集合就完全一样了；并且，两人选得不同的且，两人选得不同的“一个原函数一个原函数”，其间也仅仅，其间也仅仅相差某一个常数。相差某一个常数。 )(xf)(xf)(xF)(xF)(xf)(xf)(xf)(xF南开大学高等数学15不定积分17 这里体现了这里体现了“形式与本质形式与本质”的矛盾统一，的矛盾统一，并且通过并且通过“加常数加常数C”的途径发生

12、转化。的途径发生转化。 有些文科学生对此理解有困难，我们就有些文科学生对此理解有困难，我们就用具体的例子来说明上面一般的道理，还配用具体的例子来说明上面一般的道理，还配以多媒体演示，效果较好。以多媒体演示，效果较好。南开大学高等数学15不定积分18 例：例： 这是因为这是因为 。 Cxxdxarcsin12)(arcsin x211x南开大学高等数学15不定积分19但但 ，因而我们又有因而我们又有 。2211)arccos(11)(arccosxxxxCxxdxarccos12南开大学高等数学15不定积分20 此例表明，不定积分的答案此例表明，不定积分的答案“形式形式”往往不往往不止一个；现在

13、由于止一个；现在由于 与与 都是都是 的原函数，所以两个答案都是正确的。又由于的原函数，所以两个答案都是正确的。又由于 ，于是，于是 ，两人选择的不，两人选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数同原函数之间仅仅相差一个常数 。 xarcsinxarccos211x2/arccosarcsinxx2/arcsinarccosxx2/南开大学高等数学15不定积分21 再请看这两个原函数再请看这两个原函数 与与 的图象，就更加清楚了。的图象，就更加清楚了。xyarcsinxyarccos南开大学高等数学15不定积分22这两个原函数的图像可以通过这两个原函数的图像可以通过“上下平上下平移移 ”互变互变,表

14、明这两个函数在任一点的表明这两个函数在任一点的函数值都只相差一个常数函数值都只相差一个常数 。1.00.50.5x1.51.00.50.51.0y01.00.50.5x3211y0 xyarccosxyarcsin2/2/南开大学高等数学15不定积分23 然后启发学生想象：然后启发学生想象：“ 的的全部全部原函数原函数 ”的图像应该是什么样子的？并请学生举手表述，把思的图像应该是什么样子的？并请学生举手表述，把思维转化为语言。维转化为语言。211x南开大学高等数学15不定积分24 这样讲授，可以让学生的形象思维与逻辑思这样讲授，可以让学生的形象思维与逻辑思维相辅相成，产生很好的教学效果。许多学

15、生这维相辅相成，产生很好的教学效果。许多学生这时会积极地动脑动手，课堂气氛相当活跃。教师时会积极地动脑动手，课堂气氛相当活跃。教师因势利导，逐步展示出下面的图形。因势利导，逐步展示出下面的图形。南开大学高等数学15不定积分251.00.50.5x3211y0的图形数上图中的曲线分别为函5 . 0arccosarccos1arcsin5 . 0arcsinarcsin5 . 0arcsinxyxyxyxyxyxy南开大学高等数学15不定积分261.00.50.5x1.51.00.50.51.0y01.00.50.5x3211y0 xyarccosxyarcsin1.00.50.5x3211y0的

16、图形数上图中的曲线分别为函5 . 0arccosarccos1arcsin5 . 0arcsinarcsin5 . 0arcsinxyxyxyxyxyxy南开大学高等数学15不定积分27 学生由此恍然大悟：不定积分学生由此恍然大悟：不定积分 的答案，原来是的答案，原来是“一簇一簇”函数，是包含无穷多函数函数，是包含无穷多函数的一个集合。的一个集合。 这样，学生不但对这样，学生不但对“全部原函数全部原函数”的概念具体的概念具体化了，而且对该概念中化了，而且对该概念中“形式与本质形式与本质”的矛盾统一，的矛盾统一，以及对于它们如何通过以及对于它们如何通过“加常数加常数C”的途径发生转化，的途径发生

17、转化，理解得更加深刻了，全面了。理解得更加深刻了，全面了。21xdx 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分ln ln(), xxab baa b baa b baa b baexex ，3.积分与微分的关系 以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变以前接触的运算，先做运算再做逆运算相当于没有变 化，例如：化，例如：不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再不定积分是微分的逆运算，对函数进行先微分再积分的运算和先积分再微分的运算，函数是否也积分的运算和先积分再微分的运算，函数是否也没有变化？没有变化？ 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分设设

18、 为为 的一个原函数，的一个原函数，2.5 不定积分( )F x( )f x( )( )( )( )( )( )F xdF xdF xF x dxf x dxF xC微分积分( )( ( )( )df x dxd F xCf x dx先微分再积分先微分再积分先积分再微分先积分再微分 结论：结论：( )( ), ( )( ).Fx dxF xCf x dxf x 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分2.5.2 基本积分公式表 由于微分与积分是互逆运算，因而利用导数公式由于微分与积分是互逆运算，因而利用导数公式 即可求出基本初等函数的不定积分公式。即可求出基本初等函

19、数的不定积分公式。 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分 11. 04.(0,1)ln12.ln| |5.3.(1,0)6. cossin1xxxxmmadx Ca dxCaaadxxCe dx eCxxx dxC mxxdxx Cm 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分 22227. sincos11. csc cotcsc18. sectan12.arcsin119. csccot13.arctan110. sec tansecxdxxCxxdxxCxdxxCdxxCxxdxxCdxxCxxxdxxC 上页 下页 返回 结束

20、南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分3.d xxx例例5 5 求求解：原式解：原式41413333.413xxdxCxC 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分2.5.3 不定积分的线性运算 对比求导运算中的公式对比求导运算中的公式不定积分也有类似运算不定积分也有类似运算(),().fgfgk fk f(),.fg d xf d xgd xk f d xkf d x 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分221(35cos).xxxd xxx例例6 6 求求23222135cos3225sin2.23xd xxd xd xx

21、d xd xxxxxxxCx解：原式解：原式注：本题化为五个积分，应出现五个任意常数，但由其任注：本题化为五个积分，应出现五个任意常数，但由其任意性，可写成一个任意常数。意性，可写成一个任意常数。 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分42.1xd xx例例7 7 求求解：原式解：原式422223221 1(1)(1)1111(1)arctan.13xxxd xd xxxxxd xd xxxCx 22.(1)d xxx例例8 8 求求解：原式解：原式221111arctanarccot.1d xxCxCxxxx 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分

22、2.5 不定积分例例9 9 求求3(32).xxxed x解：原式解：原式432.ln34xxxeC例例10 10 求求22cos2.sincosxd xxx解：原式解：原式222222cossin11sincossincoscottan.xxd xd xxxxxxxC 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分sincos?xexd x利用前几节学过的知识无法解决上述问题，因此要引入新利用前几节学过的知识无法解决上述问题，因此要引入新的方法的方法换元法。换元法。2.5.4 换元法 问题引出：问题引出：求求 （提示：提示： ） 换元法换元法第一换元法第一换元法 凑微分

23、法凑微分法第二换元法第二换元法cossinxd xdx 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分1.第一换元法 凑微分法 形如形如( ( )( ).fxx d x( )( ( )( )( ( )( )( )( )( ( ).uxfxx d xfx dxf u duF uCFxC令注：注：1.1.验证。验证。 2.2.不要忘记将不要忘记将 换回！换回！( )ux适用情况：适用情况：具体方法：具体方法： 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分sincos.xexd x例例11 11 求求解：原式解：原式sinsinsinsin.uxxuux

24、edxe dueCeC令 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分sin 2.xd x例例12 12 求求此题可用两种方法求解。此题可用两种方法求解。方法一：（方法一：（直接直接用第一换元法）用第一换元法）原式原式2111sin 22sin 22sin22211coscos2.22uxxd xx d xu duuCxC 令 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分方法二：（利用三角函数倍角公式）方法二：（利用三角函数倍角公式）原式原式sin222sincos2 sinsin2sin.uxxxd xx dxu duuCxC令发现：发现：两种

25、方法得出答案形式上不一样，但本质一样，你可两种方法得出答案形式上不一样，但本质一样，你可 算算看！算算看！ 又是又是“形式与实质的矛盾统一形式与实质的矛盾统一”！ 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分(), (1,0).maxbd xma 例例13 13 求求解：原式解：原式1111()()111().1(1)axbmmmmaxbd axbuduaauCaxbCama m令u=熟练掌握熟练掌握“凑微分法凑微分法”后后,中间换元的步骤可以省略。中间换元的步骤可以省略。 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分tan.xd x例例14 1

26、4 求求解：原式解：原式sincosln |cos|.coscosxdxd xxCxx 22(0).d xaxa例例15 15 求求解：原式解：原式211arctan.( )1xdxaCxaaaa 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分22(0).d xaxa例例16 16 求求解：原式解：原式111()()()211(ln |ln |)(ln |).22d xd xxaxaaxaxaxaxaxaCCaaxa22. (0)d xaax例例17 17 求求解：原式解：原式2arcsin.1( )d xxCaxaa 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分

27、2.5 不定积分sec.xd x例例18 18 求求解：原式解：原式22221cossincoscos1 sin111() sin21 sin1 sin1 ln |1 sin|ln |1 sin|211 sin1(1 sin )ln |ln21 sin2cos1 sinln |ln |sectan|.cosxdxd xd xxxxdxxxxxCxxCCxxxCxxCx 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分.(1)dxxx例例19 19 求求解：原式解：原式(1)2(1)2ln(1).dxxxC1,1d xx但是若遇到这样的题：但是若遇到这样的题：我们无法应用上述

28、方法，我们无法应用上述方法，需要引入第二换元法。需要引入第二换元法。 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分2.第二换元法1( )( )1( )( ( )( )( )( ).ttxf x d xftdtF tCFxC令x被积函数中含有被积函数中含有222222,xxaxaax(0).a 具体方法：具体方法：适用情况：适用情况： 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分1.1d xx例例20 20 求求解：原式解：原式21122 11112(ln |1|)2(ln |1|).x ttdtdtdttttttCxxC令 上页 下页 返回 结束

29、 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分221(0).d xaxa例例21 21 求求解：解：做后，做后，介绍一种直观的图解法，介绍一种直观的图解法，作一个直角三角形，其中一锐角为作一个直角三角形，其中一锐角为三边为三边为22, ,.a xxa22tan, cos.xaattax22tan ,cosaxaat xt将将 代入原式有代入原式有222222111ln |sectan |tancoscosln |ln |.ad xddtttCatttxaxxaCxxaCaa由图可见，由图可见，, t t22xaax, t 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分22

30、1(0).d xaxa例例22 22 求求解：解：做后，做后，由图可见由图可见22tan, cos.xattaxa原式原式22cos1tancosln |sectan |ln |.tdatdtatttCxxaC综上，综上，22221ln |.d xxxaCxa t22xaax 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分例例23 23 求求解：解：做后，做后，由图可见由图可见原式原式22(0).ax d xa22sin, cos.xaxttaa22222222cossincos1cos2sin 2224arcsin.22atdatatdttaaadtttCaxxaxCa

31、 t22axax 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分2.5.5 分部积分法有连续导数，当有连续导数，当 不易计算，不易计算， ( ),( )u xv x( )( )u x dv x而而 比较容易计算时。比较容易计算时。( )( )v x du x( )( )( ) ( )( )( ).u x dv xu x v xv x du x适用情况：适用情况：具体方法：具体方法：这就是这就是分部积分公式分部积分公式 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分.udvuvvdu( ), ( )u xv x设设 具有连续导数，则具有连续导数，则()

32、,u vu vuv() ,uvu vu v即即 两边同时取积分，得到分部积分公式两边同时取积分，得到分部积分公式 分部积分公式关键是选择适当的分部积分公式关键是选择适当的 和和 。一般地，按照。一般地，按照指指数函数、数函数、三三角函数、角函数、幂幂函数、函数、对对数函数和数函数和反反函数的优先函数的优先顺序选择顺序选择 。uvv 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分.xxe d x例例24 24 求求解：解：.xxxxxxxe d xx dexee d xxeeCcos.xxd x例例25 25 求求解：解：cossinsinsinsincos.xxd xx dxxxx d xxxxC若若 选择不当会使积分变得更复杂，你可试试！选择不当会使积分变得更复杂，你可试试！v 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定积分cos.xexd x例例26 26 求求解：解：coscoscoscoscossincossincossincos.xxxxxxxxxxxexd xxdexee dxxeexd xxexdexexeexd x由此可推出由此可推出cos(cossin ).2xxeexd xxxC 上页 下页 返回 结束 南开大学高等数学15不定积分2.5 不定