高等数学第一节多元函数的基本概念课件

1、高等数学第一节多元函数的基本概念高高 等等 数数 学学 PPT 课件课件第五版高等数学同济教材:章八第高等数学第一节多元函数的基本概念2第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集 1P:上常用点集有在数轴 X, ),(ba开区间, ,ba闭区间.),(等邻域 aU:)(的常用点集有空间在平面上, )(开区域区域, )(区域及其全部边界闭区域.等邻域:平面上的区域)()( | ),(22020 yyxxyxS)(0PU0P,),(邻域的称为点 000yxP. )(),(00PUPU或记为 .)()(),(2202000 yyxxPU去心邻域高等数学第一节多元函数的

2、基本概念3:平面上的区域举例,2221ayxD,byaxD212cyxD53.,都是区域321DDD1D)2, 1 ( 2D53D高等数学第一节多元函数的基本概念4:平面上的闭区域举例1D,2221ayxD,cyxD5353D411224)(yxD.,都是闭区域431DDD14D高等数学第一节多元函数的基本概念5:52PP 自学;,聚点边界边界点外点内点,闭区域区域连通集闭集开集;,无界集有界集.维空间n高等数学第一节多元函数的基本概念6二、多元函数概念二、多元函数概念:多元函数的具体例子22yxz二元函数)ln()(zxyxu2三元函数),(yxfz 二元函数通常记为),(zyxgu 三元函

3、数通常记为高等数学第一节多元函数的基本概念7aXY.)ln(.的定义域求函数例2221yxaz,.0222yxa解.的定义域为函数 zayx222222ayxyxD| ),(高等数学第一节多元函数的基本概念8.)arcsin(),(.的定义域求例22232yxyxyxf013222yxyx.解22242yxyx.,),(22242yxyxyxD所求定义域为高等数学第一节多元函数的基本概念9. ),(,.yxfyxxyyxf求设例223xyvyxu设解.vuvyvux11则2211vuvvuvuf),(.)(vvu112.)(),(yyxyxf112高等数学第一节多元函数的基本概念10;,),(

4、zyxzyxf的自变量多元函数,),(zyxzyxP的坐标空间点. )(),(,Pfuzyxfu又可记为函数所以:)(表明Pfu .上的一个映射到实数域是空间点函数RPf是平面上二元函数类似地)(),(,Pfyxfz.),(上的一个映射到数域点RyxP高等数学第一节多元函数的基本概念11)(),(Pfyxfz.)(),(的图形通常是一张曲面二元函数Pfyxfz可理解为空间任一三元函数)(),(Pfzyxfu. ),(密度等如温度定义了一个数量点uP高等数学第一节多元函数的基本概念12三、多元函数的极限三、多元函数的极限:义复习一元函数极限的定,时当 0000 xx.)(lim,)(AxfAxf

5、xx0则称成立都有 ) .)(,(Axfxx时当0:多元函数极限的定义,00 ,)(成立都有 APf)(点有定义在Pf.)(limAPfPP0则称) .)(,(APfPP时当0时当),( 0PUP,时当 00PP高等数学第一节多元函数的基本概念13:, ),()(上述定义变成对于二元函数yxfPf,00 ,)(成立都有 APf.)(limAPfPP0则称,时当 00PP P0P,00 ,)()(时当 20200yyxx,),(成立都有 Ayxf.),(lim),(lim),(),(AyxfAyxfyyxxyxyx0000或则称)(二重极限?, ),()(如何定义三重极限对于三元函数zyxfPf

6、高等数学第一节多元函数的基本概念14.lim.222004yxyxyx求例22022222xyxxyyxyx.解,02x.lim022200yxyxyx22200222001yxyxyxyxyxyxlimlimlim不能写成注.limlim22200yxyxxy或累次累次极限极限二重极限二重极限高等数学第一节多元函数的基本概念15:)(lim只有两个单侧极限对于注xfxx02.)(lim)(limxfxfxxxx0000和的方式有的对于000PPyxfyyxx),(lim00 xkyx例如上例中取路径)(任意实数k.limlimlim01202223022200kkxxkxkxyxyxxxxk

7、yxxky ,无限多高等数学第一节多元函数的基本概念16:重要结论以任何动点那么若),(,),(limyxPAyxfyyxx00.),(,),(AyxfyxP都趋于时方式趋于000)(二重极限,反过来),(,),(),(yxfyxPyxP时以不同方式趋于若动点000.),(lim,不存在则有不同的极限yxfyyxx00高等数学第一节多元函数的基本概念17.lim.不存在证明例22005yxyxyx2200yxyxxkyxlim.证,lim201kkx22220 xkxxkxlim.而变其值随k.lim,不存在所以2200yxxyyx)(kxkyx一切按00.全部趋限方式还不是动点趋向原点的高等

8、数学第一节多元函数的基本概念18.lim.),(),(不存在证明例yxyxyx006yxyxxkyx0lim.证xkxxkx20limkxkx10lim,0)(1k任意yxyxxxyx20lim)()(limxxxxxxx220)(lim10 xx.1.,限不存在限导致趋所以原 极不同的 极限方式不同的高等数学第一节多元函数的基本概念19:)(确定极限不存在的方法方法小结若极限值趋向于沿令, ),(),()(0001yxPxkyyxP.,则可断言极限不存在有关与k但两存在使方式找两种不同,),(lim,)(yxfPP02),(),(,000yxPyxf在点此时也可断言者不相等.处极限不存在高等

9、数学第一节多元函数的基本概念20yxyxyx2200)sin(lim其中.)sin(lim.222007yxyxyx求极限例222220022200yxyxyxyxyxyxyxyx)sin(lim)sin(lim.解222002200yxyxyxyxyxyxlim)sin(limuuuyxusinlim02,1222yxyxx21,0.)sin(lim022200yxyxyx高等数学第一节多元函数的基本概念21四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性,)()(lim成立如果00PfPfPP;)(连续在点则称0PPf,)(内每一点都连续在区域如果函数DPf)(Pf则称.)(上的连续函数是又称DP

10、f:定义,上连续在区域 D),)(二元或三元函数为多元函数定义中Pf:连续函数的性质)(和一元函数类同.)(都是连续的初等函数在其定义域上多元一切2除乘减连续函数可进行加极限,1)(分母不为零.四则运算高等数学第一节多元函数的基本概念22.lim.11010118222210yxxyyx例11900yxyxyxlim.例111100)()(limyxyxyxyx1100yxyxlim.2高等数学第一节多元函数的基本概念23!有界22222200110yxyxyxyx)()cos(lim.例0211222yxuuu,cos22222220021yxyxyxyxlim,lim22220021yxyxyx222200yxyxyxlim222200yxyxyxyxlim)?(,0.lim222200yxyxyx.)()cos(lim222222001yxyxyxyx因此高等数学第一节多元函数的基本概念24.)(lim.222220011yxyxyxyx求例222220)(lim.yxyxyxxkyx解22424201xkxkxkx)(lim22222