二次函数与菱形的专题

1、二次函数与菱形1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积（3）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直

2、线BD交y轴于点A（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在一点N，使ABN与BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由3如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，DOE=EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延

3、长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是

4、菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（3，4）、B（3，0）、C（1，0）以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒过点P作PECD交BD于点E，过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若

5、存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax22ax3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DEBC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DHDF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tanHDN=，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标7如图，抛物线y=ax22x+c（a0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点

6、A（2，0），点C（0，8），点D是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标8如图，ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tanACB=（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，

7、请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）当t为何值时，APQ是直角三角形？9如图，抛物线y=x2x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EGx轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不

8、考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由10如图，已知抛物线y=ax2+c过点（2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得QBF的面积最大？若存在

9、，求出点Q的坐标及QBF的最大面积；若不存在，请说明理由11如图，抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由12如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（1，0），B（4，0）两点

10、，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，当t=1时，求SACP的面积；（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；连接CF，将PCF沿CF折叠得到PCF，当t为何值时，四边形PFPC是菱形？13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（4，0），B（1，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的

11、平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DFx轴于点H，交QC于点F请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7

12、的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由15.已知，如图，在平面直角坐标系中，ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设点G是对称轴上一点，求当GAB周长最小时，点G的坐标；（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；（4）设点M

13、是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由16.如图，已知抛物线C1：y=x2，平移抛物线y=x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由17如图，直线y=x4与x轴、y轴分

14、别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当MBA+CBO=45时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由抛物线与菱形的专题参考答案1.解：（1）将B、C两点的坐标代入得解得：；所以二次函数的表达式

15、为：y=x22x3（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x22x3），易得，直线BC的解析式为y=x3则Q点的坐标为（x，x3）；S四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ=ABOC+QPOF+QPBF=（10分）当 时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为（3）存在点P，使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x，x22x3），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC=PO；连接PP，则PECO于E，OE=EC=y=；（6分）x22x3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）2.解：（1）设B点坐标为（

16、x1，0），C点坐标为（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，x1+x2=，x1x2=，BC=|x1x2|=2，（x1x2）2=4，即（x1+x2）24x1x2=4，=4，把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3，由可解得或（舍去），抛物线解析式为y=x26x+8；（2）在y=x26x+8中，令y=0可得x26x+8=0，解得x=2或x=4，B（2，0），C（4，0），设直线BD解析式为y=kx+s，把B、D坐标代入可得，解得，直线BD解析式为y=x2，A（0，2），当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，BN=2x，A（0，2），B（2，0），D（

17、5，3），AB=2，BD=3ABN=DBC，有BCDBNA或BCDBAN，当BCDBNA时，则有=，即=，解得x=，此时N点坐标为（，0）；当BCDBAN时，则有=，即=，解得x=4，此时N点坐标为（4，0）；当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，AN=y+2，由上可知有BCDABN或BCDANB，当BCDABN时，则有=，即=，解得y=4，此时N点坐标为（0，4）；当BCDANB时，则有=，即=，解得y=，此时N点坐标为（0，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（4，0）或（0，4）或（0，）；（3）点P在直线BD上，可设P（t，t2），BP=|t2|，PC=，

18、以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC，即|t2|=2，解得t=2+或t=2，此时P点坐标为（2+，）或（2，）；当BC为对角线时，则有BP=PC，即|t2|=，解得t=3，此时P点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2，）或（3，1）3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a32，解得a=；设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=x+6；（2）C点坐标为（0，6），DEy轴，ODE=

19、COD，EDA=OCD，DOE=EDA，DOE=OCD，OCDDOE，OC：OD=OD：DE，即OD2=OCDE，设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6a），OD2=a2+（6a）2，=2a212a+36，OC=6，DE=6aa2，2a212a+36=6（6aa2），解得a1=0，a2=，E是抛物线上OA段上一点，0a3，a=，点E坐标为（，）；（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形理由如下：如图，过O点作OFAC交抛物线于F，过F点作FMy轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，OC=OB=6，OCB为等腰直角三角形，OBC=45，HOF=45，O

20、HF为等腰直角三角形，HO=HF，设F点坐标为（m，m）（m0），把F（m，m）代入y=x2得m=m2，解得m1=0，m2=3，m=3，HO=HF=3，OF=OH=3，而OC=6，四边形OCMF不为菱形4.解：（1）点B（2，m）在直线y=2x1上m=3 即B（2，3）又抛物线经过原点O设抛物线的解析式为y=ax2+bx点B（2，3），A（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，又点C是直线y=2x1与y轴交点，C（0，1），OC=1，即或，解得：点P的坐标为 （3）结论：存在抛物线的解析式为，顶点E（2，1），对称轴为x=2；点F

21、是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEM1Q1此时DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此时DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此时EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AEM4Q4，易知AEDM4EH，即，得M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=综上所述，存在点M、点Q

22、，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=5.解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（1，4）设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a0），抛物线经过点B（3，0），代入y=a （x+1）2+4可求得a=1抛物线的解析式为y=（x+1）2+4，即y=x22x+3（2）由题意知，DP=BQ=t，PEBC，DPEDBC=2，PE=DP=t点E的横坐标为1t，AF=2t将x=1t代入y=（x+1）2+4，得y=t2+4点G的纵坐标为t2+4，GE=t2+4（4t）=t2+t如图1所示：连接BGS四边形BDGQ=SBQG+SBEG+SDEG

23、，即S四边形BDGQ=BQAF+EG（AF+DF）=t（2t）t2+t=t2+2t=（t2）2+2当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2（3）存在CD=4，BC=2，tanBDC=，BD=2cosBDC=BQ=DP=t，DE=t如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QBBE=BDDE，BQ=BDDE，即t=2t，解得t=208菱形BQEH的周长=8032如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QMBE，则BM=EMMB=cosQBMBQ，MB=tBE=tBE+DE=BD，t+t=2，解得：t=菱形BQEH的周长为综上所述，菱形BQEH的周长为或80326.解：

24、（1）对于抛物线y=ax22ax3a，令y=0，得到ax22ax3a=0，解得x=1或3，A（1，0），B（3，0），OA=1，OB=OC=3，C（0，3），3a=3，a=1，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）如图2中，作DTAB于T，交BC于R设D（t，t2+2t+3）OB=OC，BOC=RTB=90，OBC=TRB=DRE=45，DEBC，DER=90，DER是等腰直角三角形，直线BC的解析式为y=x+3，R（t，t+3），DR=t2+2t+3（t+3）=t2+3t，DE=DRcos45=t2+t（3）如图3中，四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，D、M关于对称轴对称，点N在对称轴

25、上，设DM交FH于Q，作HKDN于KtanHDK=，设HK=12k，DK=5k，则DH=13k，DN=DH=13k，NK=DNDK=8k，在RtNHK中，NH=4k，QN=QH=2k，SDNH=NHDQ=DNHK，DQ=3，tanQDH=，DFDH，QDH+FDQ=90，QFD+FDQ=90，DFQ=QDH，tanDFQ=，抛物线的顶点F（1，4），Q（1，t2+2t+3），FQ=4（t2+2t+3），=，解得t=，D（，），DQ=1=，=，QN=1，N（1，）7.解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=8抛物线的解析式为y=x22x8y=（x1）29，D（1，9

26、）（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x22x8=0，解得x=4或x=2，B（4，0）y=（x1）29，抛物线的对称轴为x=1，E（1，0）将EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，EP为BEF的角平分线BEP=45设直线EP的解析式为y=x+b，将点E的坐标代入得：1+b=0，解得b=1，直线EP的解析式为y=x+1将y=x+1代入抛物线的解析式得：x+1=x22x8，解得：x=或x=点P在第四象限，x=y=P（，）（3）设CD的解析式为y=kx8，将点D的坐标代入得：k8=9，解得k=1，直线CD的解析式为y=x8设直线CB的解析式为y=k2x8，将点B的坐标代入得：4

27、k28=0，解得：k2=2直线BC的解析式为y=2x8将x=1代入直线BC的解析式得：y=6，F（1，6）设点M的坐标为（a，a8）当MF=MB时，（a4）2+（a+8）2=（a1）2+（a+2）2，整理得：6a=75，解得：a=点M的坐标为（，）当FM=FB时，（a1）2+（a+2）2=（41）2+（60）2，整理得：a2+a20=0，解得：a=4或a=5点M的坐标为（4，12）或（5，3）综上所述，点M的坐标为（，）或（4，12）或（5，3）8.解：（1）OB=OC，OABC，AB=5，AB=AC=5tanACB=，由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，（）2+OC2=52，解得OC=4（

28、负值舍去），OB=OC=4，AD=BC=8A（0，3），B（4，0），C（4，0），D（8，3）解之得，抛物线的解析式为y=x2+x+5；（2）存在四边形ABCD为平行四边形，AC=AB=CD又ADCD，当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上存在点E的坐标为（4，6）；（3）四边形ABCD为平行四边形，ADBC，DAC=ACB90当APQ是直角三角形时，APQ=90或AQP=90，由题意可知AP=t，AQ=5t，0t5当APQ=90时，解得当AQP=90

29、时，解得，或9.解：（1）由抛物线的解析式知：A（0，1）；BCx轴，且点C（3，0）点B的横坐标为3，将其代入抛物线的解析式中，得：9+3+1=点B（3，）；设直线AB的解析式为：y=kx+1，有：3k+1=，k=直线AB：y=x+1（2）由题意，OE=t，则点E（t，0）；（0t3）当x=t时，点F（t，t+1），点G（t，t2+t+1）GF=|（t2+t+1）（t+1）|=t2+t即：s=t2+t（0t3）（3）因为BCx轴，GEx轴，所以BCGF；若四边形BCFG是平行四边形，那么BC=FG，即：s=t2+t=，解得：t=1或2当t=1时，点F（1，），CF=，即CF=BC，该平行四边

30、形是菱形；当t=2时，点F（2，2），CF=，即CFBC，该平行四边形不是菱形；综上，当t=1或2时，四边形BCFG是平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形10.解：（1）把点（2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（2）BF=BC理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），BF2=x2+（x2+12）2=x2+（x21）2=（x2+1）2，BF=x2+1，BCx轴，BC=x2+1，BF=BC；（3）如图1，m为自然数，当m=0时，易得四边形BCPF为正方形，此时P点在原点；当点P在F点上方，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，CB=CF=

31、PF，而CB=FB，BC=CF=BF，BCF为等边三角形，BCF=60，OCF=30，在RtOCF中，CF=2OF=4，PF=CF=4，P（0，6），自然数m的值为0或6；（4）作QEy轴交AB于E，如图2，当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），EQ=t+2（t2+1）=t2+t+1，SQBF=SEQF+SEQB=（2+2）EQ=（+1）（t2+t+1）=（t2）2+2+2当t=2时，SQBF有最大值，最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）11.解：（1）抛物线y=ax2+bx2的对称轴是直线x=1，A（2，0

32、）在抛物线上，解得：，抛物线解析式为y=x2x2；（2）令y=x2x2=0，解得：x1=2，x2=4，当x=0时，y=2，B（4，0），C（0，2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，y=x2，设D（m，0），DPy轴，E（m，m2），P（m，m2m2），OD=4PE，m=4（m2m2m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0），P（5，），E（5，），四边形POBE的面积=SOPDSEBD=51=；（3）存在，设M（n，n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n=4+，M（，），M，N关于x轴对称，N（，）；以BD为边，如图2，四边形BNDM是菱形，

33、MNBD，MN=BD=MD=1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2=DM2，即（n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合题意），n2=5.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+（不合题意，舍去），n2=4，N（5，），以BD为边，如图3，过M作MHx轴于H，MH2+BH2=BM2，即（n2）2+（n4）2=12，n1=4+，n2=4（不合题意，舍去），N（5+，），综上所述，当N（，）或（4.6，）或（5，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形12.解：（1）抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（1，0），B（4，0）两点，解得：抛物线的表达式为y=x

34、2+3x+4（2）令x=0，则y=4，即点C的坐标为（0，4），BC=4设直线BC的解析式为y=kx+4，点B的坐标为（4，0），0=4k+4，解得k=1，直线BC的解析式为y=x+4当t=1时，CP=，点A（1，0）到直线BC的距离h=，SACP=CPh=（3）直线BC的解析式为y=x+4，CP=t，OE=t，设P（t，t+4），F（t，t2+3t+4），（0t4）PF=t2+3t+4（t+4）=t2+4t，（0t4）当t=2时，PF取最大值，最大值为4PCF沿CF折叠得到PCF，PC=PC，PF=PF，当四边形PFPC是菱形时，只需PC=PFt=t2+4t，解得：t1=0（舍去），t2=4

35、故当t=4时，四边形PFPC是菱形13.解：（1）把点A（4，0）、B（1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x+3（2）如答图21，过点D作DHx轴于点HSODAE=6，OA=4，SAOD=OADH=3，DH=因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，x2+x+3=，解得：x1=2，x2=3点D坐标为（2，）或（3，）当点D为（2，）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为（3，）时，ODAD，平行四边形ODAE不为菱形假设存在如答图22，过点D作DMCQ于M，过点C作CNDF于N，则DM：CN=：2设D（m，m2+m+3）

36、（m0），则F（m，m+3）CN=m，NF=mCF=mDMF=CNF=90，DFM=CFN，DMFCNF，DF=CF=mDN=NF+DF=mm=m又DN=3（m2+m+3）=m2m，m2m=m解得：m=或m=0（舍去）m2+m+3=D（，）综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（，）14.解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，）a3=，解得：a=，y=（x+1）23当y=0时，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）A（4，0），B（2，0），C（0，），D（1，3）S四边形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC=33+（+3）1+2=10从面积分析知

37、，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：当直线l边AD相交与点M1时，则S=10=3，3（y）=3y=2，点M1（2，2），过点H（1，0）和M1（2，2）的直线l的解析式为y=2x+2当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，2），过点H（1，0）和M2（，2）的直线l的解析式为y=x综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=x（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公

38、式的点M（k1，k2）假设存在这样的N点如图，直线DNPQ，设直线DN的解析式为y=kx+k3由，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0， 解得k=，k0，k=，P（31，6），M（1，2），N（21，1）PM=DN=2，PMDN，四边形DMPN是平行四边形，DM=DN，四边形DMPN为菱形，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（21，1）15.解：（1）由题意可求，A（0，2），B（1，0），点C的坐标为（4，0）设过A、B、C三

39、点的抛物线的解析式为y=a（x4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=，所以抛物线的解析式为：y=（x4）（x+1）=，（2）如图1物线y=的对称轴为：x=，由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为GAB周长最小时的点G，设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：，解得：，所以：y=x+2，当x=时，y=，所以此时点G（，）；（3）如图2使PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，），Q3（2，），Q4（2，），证明Q1：过点Q1作Q1Mx轴，垂足为M，由题意：APQ1=90，AP=PQ1，APO+MPQ1=90，APO+PAO=90，PAO=MPQ1，在AOP和MPQ1中，AOPMPQ1