数学建模规划问题的经典案例(PPT)

1、建立优化模型的一般步骤建立优化模型的一般步骤1.1.确定决策变量确定决策变量2.2.确定目标函数的表达式确定目标函数的表达式3.3.寻找约束条件寻找约束条件例例1 1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 2小时，在第二条装配线每台需要小时，在第二条装配线每台需要3 3小时；手机在第一条装配线每小时；手机在第一条装配线每台需要台需要4 4小时，在第二条装配线每台需要小时，在第二条装配线每台需要1 1小时。第一条装配线每小时

2、。第一条装配线每天有天有8080个可用工时，第一条装配线每天有个可用工时，第一条装配线每天有6060个可用工时，电脑和个可用工时，电脑和手机每台的利润分别为手机每台的利润分别为100100元和元和8080元。问怎样制定生产计划？元。问怎样制定生产计划？分析：分析： 目标是利润目标是利润L；而利润是由电脑的产量；而利润是由电脑的产量x和手机的产量和手机的产量y决定决定yxL80100 2.4 案例案例假设：假设：1 1、两种产品的销量不受限制、两种产品的销量不受限制2 2、原材料供应不受限制、原材料供应不受限制约束条件：约束条件：装配线装配线1 1的工时限制的工时限制装配线装配线2 2的工时限制

3、的工时限制8042yx603 yx0 , 0 yx变量约束变量约束建立模型建立模型yxL80100max 0 ,06038042 s.t.yxyxyx模型求解：模型求解：8042 yx603 yxcyx 801001243657例例2 2：最短路线问题的数学建模实例最短路线问题的数学建模实例1415121013209128810变量变量 否则否则的路通过的路通过到到从从01jixij模型模型)(1210898131012151420min6757564745363425241312总路程总路程xxxxxxxxxxxz . .ts.111312出发的一辆车出发的一辆车考虑从节点考虑从节点 xx;

4、 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxx1675747 xxx; 057564525 xxxx; 0363413 xxx. 7 , 2 , 1,10 ji，xij或或取取12436579810例例3 3：最短路线问题算例最短路线问题算例1001502001751254002503002002751752752003501501009-101008-101506-9-103005-8-104007-8-102752-6-106004-6-105003-5-106001-4-10650最短路线为最短路线为:1-4-6-9-10，长度：，长度：650沿该弧的

5、运量沿该弧的运量到到表示节点表示节点设设jixij12436571415121013209128810变量变量模型模型例例4 4：最小费用流问题最小费用流问题)(1210898131012151420min6757564745363425241312总运费总运费xxxxxxxxxxxz . .ts.1312考虑从产地出发的运量考虑从产地出发的运量Qxx ; 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxxQxxx 675747; 057564525 xxxx; 0363413 xxx. 7 , 2 , 1,0 ji，xij例例5 5：最大流量问题最大流量问题变量

6、变量。网络的最大通车量网络的最大通车量求通过该公路求通过该公路.1沿该弧的车流量沿该弧的车流量到到为从为从发出的车流量发出的车流量表示从节点表示从节点用用jixvij模型模型vmax. .ts.1312vxx ; 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxxvxxx 675747; 057564525 xxxx; 0363413 xxx0. v各段上的流量限制各段上的流量限制12436571415121013209128810模型模型vmax. .ts.1312vxx ; 0252412 xxx; 047453424 xxxx; 0675636 xxxvxx

7、x 675747; 057564525 xxxx; 0363413 xxx0. v各段上的流量限制各段上的流量限制工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮模型存贮模型存贮量多少合适？存贮量多少合适？存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，

8、或不能及时满足需求。次性订购费用增加，或不能及时满足需求。问题问题1 1 不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，存贮费每日每件元，存贮费每日每件1元。元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，如果

9、生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。问题分析问题分析若每天生产一次，每次若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产件，无存贮费，生产准备费准备费5000元，每天费用元，每天费用5000元；元；若若10天生产一次，每次天生产一次，每次1000件，存贮费件，存贮费900+800+100=4500元，生产准备费元，生产准备费5000元，元，总计总计9500元，平均每天费用元，平均每天费用950元；元；若若50天生产一次，

10、每次天生产一次，每次5000件，存贮费件，存贮费4900+4800+100=122500元，生产准备费元，生产准备费5000元，总计元，总计127500元，平均每天费用元，平均每天费用2550元；元；寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。存贮费之间的关系，使每天的费用最少。模型假设模型假设1 连续化，即设生产周期连续化，即设生产周期 T 和产量和产量 Q 均为连续量；均为连续量；2 产品每日的需求量为常数产品每日的需求量为常数 r ；3 每次生产准备费每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费，每日每件产品存贮费 C2

11、；4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量 降到零时，降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即件产品立即生产出来供给需求，即 不允许缺货。不允许缺货。模型建立模型建立总费用与变量的关系总费用与变量的关系总费用总费用=生产准备费生产准备费+存贮费存贮费存贮费存贮费=存贮单价存贮单价*存贮量存贮量存贮量存贮量=？设设 t 时刻的存贮量为时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产时生产 Q 件，件，存贮量存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率以需求速率 r 线性递减，线性递减，直至直至q(T) = 0，如图。，如图。q(t) = Q-

12、r t， Q = r T 。otqQTrA不允许缺货模型的存贮量不允许缺货模型的存贮量q(t) 存贮量的计算存贮量的计算一个周期内存贮量一个周期内存贮量dttqT0)(一个周期内存贮费一个周期内存贮费dttqcT02)(2QT (A的面积的面积)一个周期的总费用一个周期的总费用dttqccCT 021)(2222121rTccQTcc 每天平均费用每天平均费用2)(21rTcTcTCTC 2)(min 21rTcTcTCT 满足满足求求模型求解模型求解用微分法用微分法02)(221 rcTcTCrccT212 212crcrTQ 每天平均最小费用每天平均最小费用rccC212 思考思考1 建模

13、中未考虑生产费用（这应是最大一笔费建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费 用），在什么情况下才可以不考虑它？用），在什么情况下才可以不考虑它？2 建模时作了建模时作了“生产能力无限大生产能力无限大”的简化假设，的简化假设，如如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？数，如何建模？结果解释结果解释rccT212 212crcrTQ rccC212 当准备费当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费当日需求费 r 增加时，生

14、产周期变小而产量变大。增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。到。rccT212 rccC212 1000 10 ,100 , 1 ,5000 21 CTrcc，得得当当这里得到的费用这里得到的费用C与前面计算得与前面计算得950元有微小差别，元有微小差别，你能解释吗？你能解释吗？在本例中在本例中敏感性分析敏感性分析讨论参数讨论参数rcc, 21有微小变化时对生产周期有微小变化时对生产周期T 影响。影响。由相对变化量衡量对参

15、数的敏感程度。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。T 对对c1 的敏感程度记为的敏感程度记为),(1cTS111),(ccTTcTS TcdcdT11 Tcrccrc12122221 2121),(2 cTS21),( rTS意义是当准备费增加意义是当准备费增加1%时，生产周期增加时，生产周期增加0.5% ；而存贮费增加而存贮费增加1%时，生产周期减少时，生产周期减少0.5% ；日需求量增加日需求量增加1%时，生产周期减少时，生产周期减少0.5% 。21),(1 cTS21),(2 cTS21),( rTS当当rcc, 21有微小变化对生产周期影响不太大。有微小变化对生产周期影响不太大。模型假设

16、模型假设1 连续化，即设生产周期连续化，即设生产周期 T 和产量和产量 Q 均为连续量；均为连续量；2 产品每日的需求量为常数产品每日的需求量为常数 r ；3 每次生产准备费每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费，每日每件产品存贮费 C2；4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。在下次生产（订货）时补足。问题问题2 允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型模型建立模型建立总费用总费用=生产准备费生产准备费+存贮费存贮费+缺货损失费缺货损失

17、费存贮费存贮费=存贮单价存贮单价*存贮量存贮量缺货损失费缺货损失费=缺货单价缺货单价*缺货量缺货量存贮量存贮量=？，缺货量？，缺货量=？因存贮量不足造成缺货，因此因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值，可取负值， q(t) 以需求速率以需求速率 r 线性递减，直至线性递减，直至q(T1) = 0，如，如图。图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。otqQTrA允许缺货模型的存贮量允许缺货模型的存贮量q q( (t t) ) RT1B一个周期内缺货损失费一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费一个周期内存贮费dttqcT 102)(212QTc 一个周期的总费用一个周期的总费用r

18、QrTcrQccC2)(223221 每天平均费用每天平均费用dttqcTT 1)(32)(13TTQrTc rQrTc2)(23 rQc222 rTQrTcrTQcTcQTC2)(2),(23221 ,满足满足求求QT模型求解模型求解用微分法用微分法 令令332212cccrccT 323212ccccrcQ 每天平均最小费用每天平均最小费用),(QTCC rTQrTcrTQcTcQTC2)(2),(min23221 0),( , 0),( QQTCTQTC每个周期的供货量每个周期的供货量TrR 332212cccrccrR 332ccc 与不允许缺货模型相比较，有与不允许缺货模型相比较，有

19、QRQQTT ,/ ,QRQQTT ,/ ,结果解释结果解释QRQQTT , , , 1 即允许缺货时，即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。2）缺货损失费愈大，）缺货损失费愈大， 愈小，愈小， 愈接近愈接近 ， 愈接近愈接近 。1）TTRQ , Q332ccc 3），时，时，当当13 cQRQQTT , ,不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。企业生产计划企业生产计划奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等工厂级：根据外部需求和内部设备、人力

20、、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订制订单阶段生产计划单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。，否则应制订多阶段生产计划。本节课题本节课题 一奶制品加工厂用牛奶生产一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，一桶牛两种奶制品，一桶牛奶可以在甲类设备上用奶可

21、以在甲类设备上用12小时加工成小时加工成3公斤公斤A1，或者在乙类设，或者在乙类设备上用备上用8个小时加工成个小时加工成4公斤公斤A2。根据市场需求，生产的。根据市场需求，生产的A1，A2全部都能售出，且每公斤全部都能售出，且每公斤A1获利获利24元，每公斤元，每公斤A2获利获利16元。元。现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为动时间为480小时，并且甲类设备每天之多能加工小时，并且甲类设备每天之多能加工100公斤公斤A1，乙类设备没有加工能力限制。试为该厂制订一个生产计划，使乙类设备没有加工能力限制。试为该厂制订一

22、个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论一以下每天获利最大，并进一步讨论一以下3个附加问题：个附加问题：例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公

23、斤公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛

24、奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性 可可加加性性 连续性连续性 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xi取值取值成正比成正比 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi

25、取值取值成正比成正比 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值取值无关无关 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xj取值取值无关无关 xi取值连续取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各每公斤的获利是与各自产量无关的常数自产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与各自产量无关的常数时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相每公斤的获利是与相互产量无关的常数互产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与相互产量无关的常数时间是与相互产量无关的常数加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数 线性

26、规划模型线性规划模型模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031 x0,21 xx约约束束条条件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13 xl0:, 0:2514 xlxl216472xxzMax 目标目标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c (常数常数) 等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多

27、边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO 6.1 max 72x1+64x2st2）x1

28、+x2503）12x1+8x24804）3x1100endDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.0000

29、00 0.000000 NO. ITERATIONS= 2：结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40max

30、 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.00000

31、0 0.000000 NO. ITERATIONS= 2最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增的增量量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VA

32、RIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000最优解不变时目

33、标函最优解不变时目标函数系数允许变化范围数系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yesx1系数范围系数范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在在允许范围内允许范围内 不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)结果解释结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWAB

34、LE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束

35、右端的允许变化范围 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 例例1给出的给出的A1、A2两种奶制品的生产条件、利润、及两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的工厂的“资源资源”限制都不变，为增加工厂的获利，开限制都不变，为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用发了奶制品的深加工技术：用2小时和小时和3元加工费可将元加工费可将1公斤公斤A1加工成加工成0.8公斤的高级奶制品公斤的高级奶制品B1，也可将，也可

36、将1公斤公斤A2加工成加工成0.75公斤的高级奶制品公斤的高级奶制品B2，每公斤，每公斤B1能获利能获利44元，每公斤元，每公斤B2能获利能获利32元。试为该厂制定一个生产元。试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题： 若投资若投资30元可增加元可增加1桶牛奶，投资桶牛奶，投资3元可增加元可增加1小时劳小时劳动时间，应否应做这些投资？现每天投资动时间，应否应做这些投资？现每天投资150元，可赚元，可赚回多少？回多少？ B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对定制的计划有无的波动，对定制的计划有无影响？若每公斤影响？

37、若每公斤B1的获利下降的获利下降10，计划应该变化吗？，计划应该变化吗？例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤A1 若投资若投资30元可增加元可增加1

38、桶牛奶，投资桶牛奶，投资3元可增加元可增加1小时劳小时劳动时间，应否应做这些投资？现每天投资动时间，应否应做这些投资？现每天投资150元，可赚元，可赚回多少？回多少？ B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对定制的计划有无的波动，对定制的计划有无影响？若每公斤影响？若每公斤B1的获利下降的获利下降10，计划应该变化吗？，计划应该变化吗？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 A2 或或获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg 0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小时小时,3元元1

39、千克千克获利获利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， X3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO 6.1 5043)

40、 26251xxxx48022)(2)(4)3656251xxxxxx OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.26

41、0000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2600334) 26521xxxx44804624) 36521xxxxDO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.0000

42、00 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2结果解释结果解释每天销售每天销售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1， 利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A

43、2，将得到的将得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1 除加工能力外均除加工能力外均为紧约束为紧约束结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000

44、 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加增加1桶牛奶使利润增桶牛奶使利润增长长3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 26521xxxx4增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间，应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元增加元增加5桶牛奶，桶牛奶，可赚回可赚回189.6元。（大

45、于元。（大于增加时间的利润增长）增加时间的利润增长）结果解释结果解释B1,B2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影响的波动，对计划有无影响 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.0000

46、00 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? YesB1获利下降获利下降10%，超，超出出X3 系数允许范围系数允许范围B2获利上升获利上升10%，超，超出出X4 系数允许范围系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。计算，会发现结果有很大变化。 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资

47、从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。其他费用其他费用:450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A16013

48、0220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例1 自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水库供水量水库供水量(千吨千吨)小区基本用水量小区基本用水量(千吨千吨)小区额外用水量小区额外用水量(千吨千吨)（以天计）（以天计）总供水量：总供水量：160确定送水方案使利润最大确定送水方案使利润最大问题问题分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40 总需求量总需求量(300)每个水库最

49、大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润 = 收入收入(900) 其它费用其它费用(450) 引水管理费引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/3332312423222114131211220250260300260320310280230320290 xxxxxxxxxxxZMax供应供应限制限制B, C 类似处理类似处理50:A14131211xxxx10014131211xxxx问题讨论问题讨论 确定送水方案使利润最大确定送水方案使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解 OBJ

50、ECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.

51、000000 0.000000 这类问题一般称为这类问题一般称为“运输问题运输问题”(Transportation Problem)总利润总利润 88700（元）（元） A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何装运，如何装运，使本次飞行使本次飞行获利最大？获利最大？ 三个货舱三个货舱最大最大载载重重( (吨吨),),最大容积最大容积( (米米3 3) ) 例例2 货机装运货机装运 重量（吨）重量（吨）空间空间( 米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156

52、503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡决策决策变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量(吨）吨）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混

53、装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立模型建立 货舱货舱容积容积 目标目标函数函数( (利润利润)约束约束条件条件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxZMax 680039058065048041312111 xxxx870039058065048042322212 xxxx530039058065048043332313 xxxx货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 1041312111 xxxx1642322212 xxxx843332313 xxxx10；6800

54、16；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量约束约束条件条件平衡平衡要求要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx 货物货物供应供应 18131211 xxx15232221 xxx23333231 xxx12434241 xxx货机装运货机装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COS

55、T X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 货物货物2：前仓：前仓10,后仓后仓5；

56、货物货物3: 中仓中仓13, 后仓后仓3；货物货物4: 中仓中仓3。货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利润约121516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250

57、 400 60000利润利润 2 3 4 线性线性规划规划模型模型(LP)模型模型求解求解 3） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.00322

58、6结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试探：如取）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数等，计算函数值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？IP可用可用LINDO直接求解直接求解整数规划整数规划(Integer Programming,简记简记IP)“gin 3”表示表示“前前3个变量为个变量为整

59、数整数”，等价于：，等价于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.3

60、21xxxts60000400250280321 xxx为非负整数为非负整数321,xxx模型求解模型求解 IP 结果输出结果输出其中其中3个子模型应去掉，然后个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若生