高数模型简介

1、2021/6/161 1、数学与甲型、数学与甲型H1N1流感流感 去年初夏，甲型H1N1流感袭来。在抗击流感的第一线，除了 医疗工作者，也少不了科学家在后者中，有这样一群人：不 同于我们以往的想象，他们和媒体画面中包裹得严严实实的防护 服形象无关。他们与流感病毒的战争，不是借助化学制剂和分析 病毒样本，而是依靠计算机和数学模型。 美国印第安纳大学信息学院的一间实验室，大型计算机的屏幕 上，流感病毒蔓延开来。这当然不是真实的病毒，而是一套基于 流行病学模型和全球交通模型的模拟程序。由亚历山德罗维斯皮 那尼（Alessandro Vespignani）教授领导的这个研究小组由来自 世界各地的科学家

2、组成，正在进行一项名为GLEaM(Global Epidemic and Mobility Modeler，全球疾病传播模型)的项目。这个 项目依靠程序，根据病毒传播的特点和世界交通的数据，计算病 毒可能的传播情况，从而使我们能够对将来可能发生的情况进行 预警。 2021/6/162 一个经典的流行病学模型一个经典的流行病学模型 （SIR模型）模型） 大多数传染病 如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力， 所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已 感染者），他们已经退出传染系统。下面将争对这种情 况详细分析建模过程。 模型假设模型假设 1.总人数N不变。人群分为易感染者（Su

3、sceptible）、已 感染者（Infective）和病愈免疫的移出者（Removed）三 类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作 s(t),i(t)和r(t)。 由假设1显然有 s(t)+i(t)+r(t)=1 2021/6/163 2每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数 ，称为日治愈率日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康 者。显然1/是这种传染病的平均传染期平均传染期。 得到：NiNsi t i N d d 对于病愈免疫的移出者而言有： Ni t r N d d 病人的日接触率为。 2021/6/164 此方程无法求出s(t) 和i(t)的解析解，我们可以 作数值计算

4、。 模型的方程可以写作，则 不妨设移出者的初始值和 和病人的比例分别是再记初始时刻的健康者 SIRr iiss )0 ()0()0( 0 0000 0 0 )0(, d d )0(, d d sssi t s iiisi t i 2021/6/165 数学家的数学模型以模拟全球范围内人们的移动为基 础，根据全球的航空数据和大约30个国家的每日的城际交通 (daily commuting)数据构建出一个交通网。科学家根据城市 和人口数据，将3300多个机场的位置划分到各个城市。把全 球有大量人口的地区划分为一个个小网格，把一个机场附近 的人口网格划入这个机场为中心的区域来计算。综合各种因 素，就

5、可以建立一个完整的交通模型。有了这个模型，研究 者就可以预测疾病从发源地向其他地区传播的路径和速度。 接下来把它们输入大型计算机，进行反复多次的模拟，简单 来说，就是模拟上文中提到的感染人群在各个区域之间流动， 计算有多大几率传染该地区的易感人群。如此就能找出流感 在全球传染的可能情况，从而对将要发生的威胁作出预测。 2021/6/166 2、肿瘤方程 2021/6/167 2021/6/168 2021/6/169 2021/6/1610 2021/6/1611 2021/6/1612 2021/6/1613 2021/6/1614 3、相场方程 2021/6/1615 2021/6/161

6、6 4、CT的成像基本原理的成像基本原理 CT是一种功能齐全的病情探测仪器，它是电子计算机是一种功能齐全的病情探测仪器，它是电子计算机X射线断层射线断层 扫描技术简称。扫描技术简称。 CT的工作程序是这样的：它根据人体不同组织对的工作程序是这样的：它根据人体不同组织对X线的吸收与线的吸收与 透过率的不同，应用灵敏度极高的仪器对人体进行测量，然后将测透过率的不同，应用灵敏度极高的仪器对人体进行测量，然后将测 量所获取的数据输入电子计算机，电子计算机对数据进行处理后，量所获取的数据输入电子计算机，电子计算机对数据进行处理后， 就可摄下人体被检查部位的断面或立体的图像，发现体内任何部位就可摄下人体被

7、检查部位的断面或立体的图像，发现体内任何部位 的细小病变。的细小病变。 2021/6/1617 4、CT的成像基本原理的成像基本原理 CT是用是用X线束对人体某部一定厚度的层面进行扫描，由探测器接收线束对人体某部一定厚度的层面进行扫描，由探测器接收 透过该层面的透过该层面的X线，转变为可见光后，由光电转换变为电信号，再线，转变为可见光后，由光电转换变为电信号，再 经模拟经模拟/数字转换器（数字转换器（analog/digital converter）转为数字，输入计）转为数字，输入计 算机处理。图像形成的处理有如对选定层面分成若干个体积相同的算机处理。图像形成的处理有如对选定层面分成若干个体积

8、相同的 长方体，称之为体素长方体，称之为体素(voxel)。扫描所得信息经计算而获得每个体素。扫描所得信息经计算而获得每个体素 的的X线衰减系数或吸收系数，再排列成矩阵，即数字矩阵（线衰减系数或吸收系数，再排列成矩阵，即数字矩阵（digital matrix），数字矩阵可存贮于磁盘或光盘中。经数字），数字矩阵可存贮于磁盘或光盘中。经数字/模拟转换器模拟转换器 （digital/analog converter）把数字矩阵中的每个数字转为由黑到白）把数字矩阵中的每个数字转为由黑到白 不等灰度的小方块，即象素（不等灰度的小方块，即象素（pixel），并按矩阵排列，即构成），并按矩阵排列，即构成CT

9、 图像。所以，图像。所以，CT图像是重建图像。每个体素的图像是重建图像。每个体素的X线吸收系数可以通线吸收系数可以通 过不同的数学方法算出。过不同的数学方法算出。 2021/6/1618 5、战争与数学、战争与数学 有人说第一次世界大战是化学战（火药），第二次是物理战有人说第一次世界大战是化学战（火药），第二次是物理战 （作战军械、原子弹），而当今的战争就是数学战。（作战军械、原子弹），而当今的战争就是数学战。 海湾战争期间，美军远涉重洋，大批人员和物资仅短短一月就海湾战争期间，美军远涉重洋，大批人员和物资仅短短一月就 调运到位，是由于采用了运筹学和优化技术，运用了遍布各地的计调运到位，是由于

10、采用了运筹学和优化技术，运用了遍布各地的计 算机网络。再看那电子对抗，敌我模式识别，其中也时时离不开数算机网络。再看那电子对抗，敌我模式识别，其中也时时离不开数 学。学。 美国在进攻伊拉克前，对伊方点燃油井造成的后果捉摸不透，美国在进攻伊拉克前，对伊方点燃油井造成的后果捉摸不透， 遂就教于某头脑公司研究此问题。该公司找出数学模型，进行一系遂就教于某头脑公司研究此问题。该公司找出数学模型，进行一系 列模拟计算后得出结论：大火将造成重大的污染，波及一系列地区，列模拟计算后得出结论：大火将造成重大的污染，波及一系列地区， 但不地造成全球性气候变化，不会对生态和经济系统造成重大损失。但不地造成全球性气候变化，不会对生态和经济系统造成重大损失。 这才促成布什下决心，刮起这才促成布什下决心，刮起“沙漠风暴沙漠风暴”。 2021/6/1619 5、战争与数学、战争与数学 二战的时候，美国的舰队经常受到敌军潜艇的袭击，而在当时，二战的时候，美国的舰队经常受到敌军潜艇的袭击，而在当时， 美国又不能增派许多护航船只，怎么办呢？他们就请了数学家来解美国又不能增派许多护航船只，怎么办呢？他们就请了数学家来解 决这个问题。决这个问题。 数学家提出如果舰队也都集中起来，而不是分散的话，被敌人数学家提出如果舰队也都集中起来，而不是分散的话，被敌人 潜艇潜艇“撞上撞上”的可能性就小。