第四节随机事件和条件概率

1、第四节随机事件和条件概率第四节随机事件和条件概率考点梳理考点梳理考点梳理考点梳理3条件概率及其性质条件概率及其性质P(B|A)P(C|A) ()()( )P ABP B AP A )()()|(AnABnABP .)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般来来说说中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 4.概率概率 P(B

2、|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系考点梳理考点梳理一个关系 助学微博助学微博两种方法1频率与概率有什么区别与联系？频率与概率有什么区别与联系？【提示【提示】频率随着试验次数的变化而变化，概率却是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率当作随机事件的概率2互斥事件与对立事件有什么区别和联系？互斥事件与对立事件有什么区别和联系？【提示【提示】两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个

3、事两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥也就是说，两个事件对立是这两件对立，它们一定互斥也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件个事件互斥的充分而不必要条件 3P(B|A)P(B)在什么条件下成立？在什么条件下成立？【提示【提示】若事件若事件A、B是相互独立事件，是相互独立事件，则则P(B|A)P(B)4若事件若事件A、B互斥，则互斥，则P(B|A)是多少？是多少？提示：提示：A与与B互斥，即互斥，即A、B不同时发生不同时发生P(AB)0，P(B|A)0.1(2012梅州模拟梅州模拟)掷一颗质地均匀的骰子，观察所得掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数的点数

4、a，设事件，设事件A“a为为3”，B“a为为4”，C“a为奇为奇数数”，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()AA与与B为互斥事件为互斥事件 BA与与B为对立事件为对立事件CA与与C为对立事件为对立事件 DA与与C为互斥事件为互斥事件【解析【解析】事件事件A与与B不可能同时发生，不可能同时发生，A、B互斥，但不是对立事互斥，但不是对立事件，显然件，显然A与与C不是互斥事件，更不是对立事件不是互斥事件，更不是对立事件A2(2012揭阳调研揭阳调研)从一箱产品中随机地抽取一件，设事从一箱产品中随机地抽取一件，设事件件A抽到一等品抽到一等品，事件，事件B抽到二等品抽到二等品，事件，事件C抽抽到三

5、等品到三等品，且已知，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则，则事件事件“抽到的不是一等品抽到的不是一等品”的概率为的概率为()A0.7 B0.65 C0.35 D0.5【解析【解析】“抽到的不是一等品抽到的不是一等品”与事件与事件A是对立事件，是对立事件，所求概率所求概率P1P(A)0.35.C3从一副混合后的扑克牌从一副混合后的扑克牌(52张张)中，随机抽取中，随机抽取1张，事件张，事件A为为“抽得红桃抽得红桃K”，事件，事件B为为“抽得黑桃抽得黑桃”，则概率，则概率P(AB)_.(结果用最简分数表示结果用最简分数表示)4、一个盒子中有、一个盒子中有6个白球、个白球、4

6、个黑球，每次从中不放个黑球，每次从中不放回地任取回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率下，第二次取到黑球的概率()6 424,n AB ( )6 954n A 方法二：方法二：()4(/)( )9n ABP B An A【思维总结【思维总结】求求P(B|A)，实际上就是把，实际上就是把B发生发生的样本空间缩小为的样本空间缩小为A所包含的基本事件所包含的基本事件4、一个盒子中有、一个盒子中有6个白球、个白球、4个黑球，每次从中不放个黑球，每次从中不放回地任取回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件个，连取两次，求第一次取到

7、白球的条件下，第二次取到黑球的概率下，第二次取到黑球的概率 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为为“只订只订甲报纸甲报纸”，事件，事件B为为“至少订一种报纸至少订一种报纸”，事件，事件C为为“至多订一种报至多订一种报纸纸”，事件，事件D为为“不订甲报纸不订甲报纸”，事件，事件E为为“一种报纸也不订一种报纸也不订”判判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件件(1)A与与C；(2)B与与E；(3)B与与C.【思路点拨【思路点拨】首先明确居民订甲、乙两种报纸的所有可

8、能情况，首先明确居民订甲、乙两种报纸的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系【解【解】(1)由于事件由于事件C“至多订一种报纸至多订一种报纸”中有可能中有可能“只订甲报纸只订甲报纸”，即事件即事件A与事件与事件C有可能同时发生，故有可能同时发生，故A与与C不是互斥事件不是互斥事件(2)事件事件B“至少订一种报纸至少订一种报纸”与事件与事件E“一种报纸也不订一种报纸也不订”是不可能是不可能同时发生的，故同时发生的，故B与与E是互斥事件由于事件是互斥事件由于事件B发生可导致事件发生可导致事件E一定一定不发生，且事件不发生，

9、且事件E发生会导致事件发生会导致事件B一定不发生，故一定不发生，故B与与E还是对立事还是对立事件件(3)事件事件B“至少订一种报纸至少订一种报纸”中有这些可能：中有这些可能：“只订甲报纸只订甲报纸”、 “只订乙报纸只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸订甲、乙两种报纸”事件事件C“至多订一种报纸至多订一种报纸”中有这些可能：中有这些可能：“什么报纸也不订什么报纸也不订”、“只订甲报纸只订甲报纸”、“只订乙报纸只订乙报纸”由于这两个事件可能同时发生，故由于这两个事件可能同时发生，故B与与C不是互斥事件不是互斥事件 (2011陕西高考陕西高考)如图如图1011，A地到火车站共有两条路径地到火车站共有两条

10、路径L1和和L2，现随机抽取，现随机抽取100位从位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：如下： 图图1011(1)试估计试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有现甲、乙两人分别有40分钟和分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径何选择各自的路径【解【解】(1)由已知共调查了由已知共调查了100人，其中人，其中40分钟内不能赶到火车站的分钟内不能

11、赶到火车站的有有121216444(人人)，用频率估计相应的概率为用频率估计相应的概率为0.44.(2)设设A1，A2分别表示甲选择分别表示甲选择L1和和L2时，在时，在40分钟内赶到火车站；分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择分别表示乙选择L1和和L2时，在时，在50分钟内赶到火车站分钟内赶到火车站由频数分布表知，由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分的频率分别为别为(61218)600.6，(416)400.5.估计估计P(A1)0.6，P(A2)0.5，则，则P(A1)P(A2)，因此，甲应该选择路径因此，甲应该选择路径L1，

12、同理，同理，50分钟赶到火车站，选择路径分钟赶到火车站，选择路径L1，L2的频率分别为的频率分别为48600.8, 36400.9，估计估计P(B1)0.8，P(B2)0.9，P(B1)P(B2)，因此乙应该选择路径因此乙应该选择路径L2.对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表： (1)求次品出现的频率；求次品出现的频率；(2)记记“任取一件衬衣是次品任取一件衬衣是次品”为事件为事件A，求，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至件衬衣，至少需进货多少件？少需进货多少件？条件概率条件概

13、率 【思路点拨【思路点拨】(1)BBA1BA2BA3. （2） P(BA1)P(B|A1)P(A1)， P(BA2)P(B|A2)P(A2)，P(BA3)P(B|A3)P(A3)(3)可通过判断可通过判断P(A1B)与与P(A1)P(B)是否相等来判断事件是否相等来判断事件B与与A1是否相互独立是否相互独立【思路点拨【思路点拨】 (3)可通过判断可通过判断P(A1B)与与P(A1)P(B)是否相等来判断事件是否相等来判断事件B与与A1是否相互是否相互独立独立1、(2011湖南高考湖南高考)如图如图1082，EFGH是以是以O为圆为圆心，半径为心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地的圆的内

14、接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用扔到该圆内，用A表示事件表示事件“豆子落在正方形豆子落在正方形EFGH内内”，B表示事件表示事件“豆子落在扇形豆子落在扇形OHE(阴影部分阴影部分)内内”，则，则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.B3、考虑恰有两个小孩的家庭、考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）（假定生男生女为等可能） = (男男, 男男) ,

15、(男男 , 女女) , (女女 , 男男) , (女女 , 女女) 解解所以有男孩概率所以有男孩概率 34P B 14P BAP A 112P B 114PB APA =(男男, 男男) , (男男 , 女女) 1B则则 =(男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) =(男男, 男男) ，设设 = “有男孩有男孩” ，=“第一个是男孩第一个是男孩” 1B= “有两个男孩有两个男孩” ， 1|( )3P BAP A BP B 1111|( )2P BAP A BP B 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正

16、在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下环的概率如下表所示：表所示： 命中环数命中环数10环环9环环8环环7环环概率概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：求该射击队员射击一次：(1)射中射中9环或环或10环的概率；环的概率；(2)命中不足命中不足8环的概率环的概率【思路点拨【思路点拨】该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，当直接求解不容易时，可先求其

17、对立事件的概率另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下环的概率如下表所示：表所示： 命中环数命中环数10环环9环环8环环7环环概率概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：求该射击队员射击一次：(1)射中射中9环或环或10环的概率；环的概率； (2)命中不足命中不足8环的概率环的概率互斥事件、对立事件的概率互斥事件、对立事件的概率 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下环的概率如下表所示：表所示： 命中环数命中环数10环环9环环8环环7环环概率概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：求该射击队员射击一次：(1)射中射中9环或环或10环的概率；环的概率； (2)命中不足命中不足8环的概率环的概率D C 3、(2012潍坊模拟潍坊模拟)抛掷一枚均匀的正方体骰子抛掷一枚