重庆育才中学高 三 (2014级) 二轮(理数)复习专题5第1讲空间几何体教师版

1、重庆育才中学高 三 (2014级) 二轮（理数）复习专题5 第1讲 空间几何体 教师版第1讲空间几何体考点整合1 棱柱、棱锥、棱台(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形

2、(3)正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2 圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆锥、圆台的性质轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆3三视图(1)三视图的正视图、侧

3、视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高；(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样4几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题5 空间几何体的两组常用公式(不要求记忆)(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)； S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的

4、周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)； V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h； V球R3.真题感悟1 (2013广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B. C. D6答案B解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V(2211)2.2 (2013四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3 (2013江西)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线C

5、E，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么mn()A8 B9 C10 D11答案A解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CDEH，CDFH，所以CD平面EFH，所以AB平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m4，所以mn448.4 (2013新课全国)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()答

6、案A解析根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示故选A.5 (2013福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_答案12解析由三视图知，该几何体为正方体和球组成的组合体，正方体的对角线为球的直径所以2R2，即R，球的表面积为S4R212.题型与方法题型1、空间几何体的三视图例1(1) 【陕西宝鸡市金台区2014届高三会考试题】已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为直径为4的球的体积为，

7、则A. B. C. D. (2)、【2013合肥二模（理）】某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A92+14B82+14C92+24D82+24考点：由三视图求面积、体积反思归纳将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，其解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图，特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握，会画出其直观图，然后由三视图验证变式训练1若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_ cm3.答案18解析由几何体的三视图可知，该几何体由两个直四棱柱构成，其

8、直观图如图所示上底面直四棱柱的长是3 cm，宽是3 cm，高是1 cm，故其体积为9 cm3，下底面直四棱柱的高是3 cm，长是1 cm，宽是3 cm，其体积为9 cm3.故该几何体的体积为V18 cm3.题型2、空间几何体的表面积例2、如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积 由题意，可知A在平面ABC内的射影D在BAC的角平分线上，从而可证得四边形BCCB是矩形解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，得RtAAERtAAF

9、，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，（三垂线定理）而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2. 此题构作辅助线的方法具有典型意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮助变式训练2 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三

10、棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D (cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.题型3、空间几何体的体积例3、如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积审题破题本题可从两个思路解题：思路一：先求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1B1ED

11、F化为两个三棱锥B1C1EF与DC1EF，再求四棱锥C1B1EDF的体积解方法一连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，EF平面B1EDF且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离平面B1D1D平面B1EDF，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDF

12、VB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.反思归纳(1)求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观察，选择恰当的底面和高，使计算简便(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，再进一步求解变式训练3如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体BB1DE的体积解方法一取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1EDV锥B1DEFV锥BDEFB1FSDEFBFSDEFBB1SDEFa2a3.方法二取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1DE2V锥

13、B1DEF2V锥B1ABC2a3a3.方法三设A、D两点到平面BCC1B1的距离分别为h、h，则hha.V锥DBB1EhSBB1EhS正方形BB1C1Caa2a3. 计算体积要注意几何体的割补，棱锥的性质以及选择适当的底面求出对应的高题型4、多面体与球的有关问题例4、(1)已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3 B2 C. D1(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2 C.a2 D5a2审题破题(1)SC是直径，是本题突破点，由此可得SAC，SBC为直角(2)确定球的

14、位置，寻找图中的直角三角形，通过直角三角形求球的直径答案(1)C(2)B解析(1)如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于ADSC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在RtSAC中，ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin 604，所以选C.(2)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面

15、中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AOa2a2a2.S球4R24a2a2.反思归纳(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，则4R2a2b2c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法变式训练4两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的

16、正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为()A(63) B(84)C(63) D(84)答案A解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1AO1O2O2C1，而O1Ar1，O1O2r1r2，O2C1r2，r1r1r2r2.r1r2，从而S1S24r4r4(rr)4(63).题型5、空间几何体的折叠问题例5、如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_ 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数

17、据和空间位置关系确定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可答案解析如图，取BD的中点E，BC的中点O，连结AE，OD，EO，AO.由题意，知ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，AEBD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V()3. 解决折叠问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变

18、的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变化，借助立体与平面几何知识，即可求解变式训练5 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC.(1)求证：面ABEF面BCDE；(2)求五面体ABCDEF的体积(1)证明设原正六边形中，ACBEO，DFBEO，由正六边形的几何性质可知OAOC，ACBE，DFBE.在五面体ABCDEF中，OA2OC26AC2，OAOC，又OAOB，OA面BCDE.OA面ABEF，面ABEF面BCDE.(2)解由BEOA，BEOC知BE面AOC，同理BE面FOD，面AOC面FOD，故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥BAOC和EFOD为大小相

19、同的三棱锥，VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2()21()224.小题冲关2. 【2013-2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考】一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h的值为（ ）A BC D4 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_答案56解析长方体外接球直接2R，R，球的表面积S4R24()256.5 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案6解析此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故VV长方体V圆锥321123(6

20、)m3.6 若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_答案解析设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则h，圆锥的体积V.7、已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_答案8解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连结AC，取AC中点O，连结OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.专题限时规范训练一基础题组1.【安徽省淮南二中2014届高三上学期第三次月考数学（理）】如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表

21、面积为 （ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由几何体的三视图知，该几何体的直观图是一个四棱锥，如图所示：2.【江南十校2014届新高三摸底联考(理)】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A、 B、 C、 D、3. 【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A9 B10 C11 D7 如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是_答案解析这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可以把它补成一

22、个高是ab的圆柱，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是.8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，圆柱的体积为121，三棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边长为2，所以面积为1，三棱锥的高为，所以体积为1，所以组合体的体积为.9 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_答案29 cm解析设简单几何体的总高度为

23、x cm，根据图(2)，(3)没有液体部分体积相等得(x20)12(x28)32，x29.10下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥BCEPD的体积解(1)该组合体的三视图如图所示(2)PD平面ABCD，PD平面PDCE，平面PDCE平面ABCD.四边形ABCD为正方形，BCCD，且BCDCAD2.又平面PDCE平面ABCDCD，BC平面ABCD.BC平面PDCE.PD平面ABCD，DC平面ABCD，PDDC.又ECPD，PD2，EC1，四边形PDCE为一个直角梯形，其面积：S梯形PDCE(PDE

24、C)DC323，四棱锥BCEPD的体积VBCEPDS梯形PDCEBC322. 二能力题组11 点A、B、C、D在同一个球的球面，ABBC，AC2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为()A. B8 C. D.答案C解析ABBC，AC2，ABC是直角三角形，ABC的外接圆的圆心是边AC的中点O1，若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又OO1平面ABC，所以点D是直线OO1与球的交点设球的半径为R，则由体积公式有：O1D2，在RtAOO1中，R21(2R)2，解得R，S球O，故选C.12 在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，A

25、BD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意解得长方体的对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为V()3.13 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_答案解析如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连结DM，CN，可证得DMEF，CNEF，多面体ABCDEF分别为三部分，多面体的体积为VABCDEFVAMDBNCV

26、EAMDVFBNC.NF，BF1，BN.作NH垂直BC于点H，则H为BC的中点，则NH.SBNCBCNH1.VFBNCSBNCNF，VEAMDVFBNC，VAMDBNCSBNCMN.VABCDEF.14在四面体ABCD中，ABCD6，ACBD4，ADBC5，则四面体ABCD的外接球的表面积为_答案解析构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为x，y，z，则x2y2z2，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S4R2.15 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球的表面积等于_答案16解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积