第2章 弹性力学基本理论

1、第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院School of Mechanical and Automobile Engineering2-1 2-1 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 按照外力作用的不同分布方式，可分为按照外力作用的不同分布方式，可分为体体积力积力和和表面力表面力，分别简称，分别简称体力体力和和面力面力。 （2 2）性质：）性质：一般情况下一般情况下, ,体力随点的位置不同体力随点的位置不同而不同，体力是连续分布的。而不同，体力是连续分布的。（一）外力（一）外力1.1.体力体力（1 1）定义：）定义：所谓体力是分布在

2、物体体积内的所谓体力是分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。力，如重力和惯性力。（3 3）体力集度：）体力集度： 体力的平均集度为：体力的平均集度为：FVP点所受体力的集度为：点所受体力的集度为：0limVFfV fF的方向就是的方向就是 的极限方向。的极限方向。zxyVOPFf图图1-21-2（4 4）体力分量：）体力分量： 将将f 沿三个坐标轴分解，沿三个坐标轴分解，可得到三个正交的分力：可得到三个正交的分力：xyzff if jf k fx、fy、fz 称为物体在称为物体在P点的点的体力分量体力分量，其，其方向与坐标轴正向相同时为正，方向与坐标轴正向相同时为正，因次因次是是 力力长长度度

3、 -3-3。（N/m3）方向沿坐标轴为正。）方向沿坐标轴为正。zxyV VOPFf图图1-21-2xfyfzf2. 2. 面力面力S上面力的平均集度为：上面力的平均集度为：FS（3 3）面力集度：）面力集度：xyzPSF图图1-31-3（2 2）性质：）性质：一般情况下一般情况下, ,面面力一般是物体表面点的位置力一般是物体表面点的位置坐标的函数。坐标的函数。（1 1）定义：分布在物体）定义：分布在物体表面表面上上的力。如流体压力和接触力。的力。如流体压力和接触力。P点所受面力的集度为：点所受面力的集度为：0limSFfS （4 4）面力分量：）面力分量：xyzPSxfyfzffF图图1-31

4、-3xfyfzf P点的面力分量点的面力分量为为 、 、 ，其方向，其方向与坐标轴正向相同时为正，与坐标轴正向相同时为正，因次因次是是 力力长度长度 -2-2。 （N/m2）方向沿坐标轴为方向沿坐标轴为正。正。（二）应力（二）应力2.2.性质：性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。同的。1.1.定义：定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生生附加内力附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分开物体，并取出其中一部分，其

5、中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的合力。的合力。单位面积上的分布力即为应力单位面积上的分布力即为应力。如图。如图1 14 4所所示。示。A面积上的内力的平均集度为：面积上的内力的平均集度为：FA3.3.应力集度：应力集度：P点的应力为：点的应力为：0limAFpA 因次是因次是力力长度长度-2。-正应力正应力-切应力切应力P点的应力分量为点的应力分量为 、xyzABPoApFnm图图1-41-44.4.应力分量应力分量在在略去体力和高阶微量的情况下，略去体力和高阶微量的情况下，相互平行的面上的应力大小相等，相互平行的

6、面上的应力大小相等，方向相反。方向相反。 （1 1）为了分析一点的应力）为了分析一点的应力状态，在这一点从物体内取出状态，在这一点从物体内取出一个微小的正平行六面体，各一个微小的正平行六面体，各面上的应力沿坐标轴的分量称面上的应力沿坐标轴的分量称为为应力分量应力分量。xyzo图图1-51-5PABC 应力不仅和点的位置有关，和应力不仅和点的位置有关，和截面的方位截面的方位也有关，也有关，不是一般的矢量，而是不是一般的矢量，而是二阶张量二阶张量。xyzoyyx图图1-61-6yz（2）应力标注：）应力标注： 图示单元体右侧图示单元体右侧面的法线为面的法线为y,称为称为y面，面，应力分量垂直于单元

7、应力分量垂直于单元体面的应力称为体面的应力称为正应正应力力。 正应力记为正应力记为y , 其其下标表示所沿坐标轴下标表示所沿坐标轴的方向。的方向。xyzo 平行于单元体面的平行于单元体面的应力称为应力称为切应力切应力，用用 、 表示，其第表示，其第一下标一下标y表示所在的平表示所在的平面，第二下标面，第二下标x、z分别分别表示沿坐标轴的具体表示沿坐标轴的具体方向。方向。yxyz（2）应力标注：）应力标注：yyx图图1-61-6yz其它面上的应其它面上的应力分量的表示力分量的表示如图如图1 17 7所示。所示。xyz yx z y zx zy yz图图1 17 7xyz截面的截面的外法线外法线截

8、面的截面的外法线外法线正面正面负面负面正面上的应力沿坐标正正面上的应力沿坐标正向或负面上的应力沿坐向或负面上的应力沿坐标负向为标负向为正正。口诀：口诀：正面正向或负面负向的应力为正正面正向或负面负向的应力为正。xyz yx z y zx zy yz图图1 17 7正面正面: :截面的外法线截面的外法线方向和坐标轴正向一方向和坐标轴正向一致致, ,反之为反之为负面负面。正负规定正负规定: :例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。O zyx弹性力学弹性力学材料力学材料力

9、学图图1-81-8（3 3）注意弹性力学切应）注意弹性力学切应力符号和材料力学是有力符号和材料力学是有区别的。在图区别的。在图1 18 8中，中，弹性力学里，切应力都弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相为正，而材料力学中相邻两面的符号是不同的，邻两面的符号是不同的，顺时针转动为正顺时针转动为正。注意：注意：（4 4） 切应力互等定理切应力互等定理zyyz yxxy zxxz xyz xy yx x z y xz zx zy yz 过一点的两个正交面上过一点的两个正交面上, ,如果有与相交边垂直的切如果有与相交边垂直的切应力分量应力分量, ,则两个面上的这两个切应力分量一定则两个面上的这两个

10、切应力分量一定等值等值、方向相对或相离方向相对或相离。应力用矩阵表示：应力用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx共六个应力分量。共六个应力分量。?（三）形变（应变）（三）形变（应变） 形变形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为就是形状的改变。物体的形变可以归结为长长度的改变度的改变和和角度的改变角度的改变。xy 1.1.线应变线应变：图：图1-91-9中线段中线段PA、PB、PC每单位长度的伸每单位长度的伸缩缩，即单位伸缩或相对伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为称为线应变线应变。分别用。分别用 、 、 表示。表示。zP图图1-91-9ABCP应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时

11、为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；切应变：切应变：以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负； 2.2.切应变：切应变：图图1-91-9中线中线段段PA、PB、PC之间的之间的直角直角的改变的改变，用弧度表示，称为，用弧度表示，称为切应变。分别用切应变。分别用 、 、 表示。表示。yzzxxy 共六个形变分量。共六个形变分量。P图图1-91-9ABCP线应变和切应变都是量纲为线应变和切应变都是量纲为1的量的量 （2 2）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了变形。变形。弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移弹性力学中主要研究

12、物体由变形而引起的位移。 （1 1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移，）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移，包括平移、转动、平面运动等。这种位移并不使物包括平移、转动、平面运动等。这种位移并不使物体的形状、质点间的相对距离发生变化。（体的形状、质点间的相对距离发生变化。（刚体位刚体位移移）1.1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位移组成：性质的位移组成：（四）位移（四）位移位移：位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移物体变形时各点位置的改变量称为位移2.2.位移的表示方法位移的表示方法 物体内任意一点的位移，用它在物体内任意

13、一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上轴上的投影的投影 u 、v 、w 来表示，来表示，以沿坐标轴正向为正，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负沿坐标轴负向为负。这三个投影称为该点的位移分。这三个投影称为该点的位移分量。量。弹性力学问题：弹性力学问题：已知已知外力外力、物体的、物体的形状和大小形状和大小（包括边界）、（包括边界）、材材料特性（料特性（E、）、约束条件约束条件等，求解应力、形变、位等，求解应力、形变、位移共移共15个未知量。个未知量。（五）斜截面上的应力（五）斜截面上的应力 PABxyxyyxyxo已知弹性体内任一点P 处的应力分量 ，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近

14、取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面画出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的平均应力就成为上述斜截面上的应力。 yxxyyx, 设AB面在xy平面内的长度为ds，厚度为1个单位。N为该面的外法线方向，设其方向余弦分别为：cos,coslmPABxyxyyxNyxoPABxyxyyxNyxoxpypPABxyxynyxnxpyppNyxoxyO NN2PABN1将将x、y轴分别放在轴分别放在两个主两个主应力应力的方向的方向小结：小结：yyxypmlxxyxplmxyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22()()

15、()()xsxysxysxysylmfmlf平面问题的应力平面问题的应力边界条件边界条件2212mlN)(12lmN2212)(l（1 1）斜面上的应力）斜面上的应力yxyxyx2211tantan表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力）一点的主应力、应力主向、最大最小应力222122xyyxyx221minmaxmax、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成成45。工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不如果不分主次考虑所有因素分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困，则问题的复杂，数学推导

16、的困难，将使得问题无法求解。难，将使得问题无法求解。根据问题性质，根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素忽略部分暂时不必考虑的因素，提，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。围。基本假设是学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究范围。究范围。2-2 2-2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设1. 1. 连续性假设连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空

17、隙。的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。变形后仍然保持连续性变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。和应力等均为物体空间的连续函数。微观上这个假设不成立微观上这个假设不成立宏观假设。宏观假设。2. 2. 均匀性假设均匀性假设 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。位置的变化而改变。物体的弹性性质处处都是相同的。物体的弹性性质处处都是相

18、同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。可以视为均匀材料。对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理为均对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理为均匀材料。匀材料。3. 3. 各向同性假设各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。的改变而变化。 当然，像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于

19、当然，像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性各向异性材料。材料。这些材料的研究属于这些材料的研究属于复合材料力学复合材料力学研究的对研究的对象。象。4. 4. 完全弹性假设完全弹性假设 对应一定的温度，如果对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一应力和应变之间存在一一对应关系一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，外力消失后能够恢复原形，称为史无关，外力消失后能够恢复原形，称为完全弹性完全弹性。完全弹性分为完全弹性分为线性线性和和非线性非线性弹性，弹性力学研究限弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。于线性的应力与应变关系。研究对象的

20、材料弹性常数不随应力或应变的变化而研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。改变。5. 5. 小变形假设小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。高阶小量。在在弹性体的平衡弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。变形所引起的尺寸变化。忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使，使基本方程成为基本方程成为线性的偏微分方程组线性的偏微分方程组。 假设物体处于自然状态

21、，即在外界因素作用之假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。前，物体内部没有应力。 弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约束或温度改变而产生的。约束或温度改变而产生的。6. 6. 无初始应力假设无初始应力假设 基本量和基本方程的矩阵表示基本量和基本方程的矩阵表示 采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力平面应力问题问题的公式。 体力 面力 位移函数 应变 应力 结点位移列阵 结点力列阵 。Tyxff)(f。Tyxvyxu),(, ),(d。Txyyx)(。Txyyx)(。Tjjiivu

22、vu)(。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量基本物理量：。Tyxff)(f物理方程 其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是)(b,D)(2100010112cE。DFEM中应用的方程：中应用的方程：()( )Tuvvuaxyxy。几何方程 几何方程几何方程-位移与应变之间的关系位移与应变之间的关系xuxyvyxvyuxyvuxyyxxyyx00 xyyxA00 dAT-几何方程几何方程微分算子矩阵微分算子矩阵 2-3 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系1、平衡方程、平衡方程 （应力间的关系）（应力间

23、的关系）000yxxzxxxyyzyyyzxzzzfxyzfxyzfxyz2、几何方程（应变与位移的关系）、几何方程（应变与位移的关系） 000000000 xyzxyyzzxxuxvyyuwzzvuvyxwyxvwzyzywuxzzx 3、物理方程（应力与应变之间的关系）、物理方程（应力与应变之间的关系）111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 2(1)EGEG其中: 为杨氏弹性模量为泊松比为剪切弹性模量且: 100011100011100011(1)1 2(1)(1 2 )000002(1)1 2000002(1)1 2000002(1)DED因此物理方程可

24、以简写为： 弹性矩阵 未知数未知数 应力应力 6个个+应变应变 6个个+位移位移 3个个=15个个 方程个数方程个数 平衡方程平衡方程 3个个+几何方程几何方程6个个+物理方程物理方程6个个=15个个原则上可以根据原则上可以根据15个方程求出个方程求出15个未知物理量个未知物理量但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的 目前有限元法主要采用的是目前有限元法主要采用的是位移法位移法，以三个位移，以三个位移分量为基本未知量分量为基本未知量 4. 4.边界条件边界条件 当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，在边界上应满足边界条件

25、。一、位移边界条件 按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 ，则有（在 上）：uSuS( )suu( )svv其中 和 表示边界上的位移分量，而 和 在边界上是坐标的已知函数。suusvv二、应力边界条件二、应力边界条件 当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。()()()()xsyxsxysxysylmfmlf其中 和 为面力分量， 、 、 、 为边界上的应力分量。xfyfsx)(sy)(sxy)(syx)(PABxyxyyxxpy

26、pNyxoyyxypmlxxyxplm三、混合边界条件三、混合边界条件1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力边界条件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图，分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图，悬臂梁左端面有位移边界条件：悬臂梁左端面有位移边界条件：00vvuuss上下面有应力边界上下面有应力边界条件：条件：()0()0yxsys右端面有应力边界条件：右端面有应力边界条件：()()0 xsxysq lqxyo2h2h2.在同一边界上，在同一

27、边界上，既有应力边界条件又有位移既有应力边界条件又有位移边界条件边界条件。0()0sxysuu如右图齿槽边界条件：如右图齿槽边界条件：0()0sxsvvoxyxyo如左图连杆支撑边界条件：如左图连杆支撑边界条件：例例1 如图所示，试写出其如图所示，试写出其边界条件。边界条件。xyahhq(1), ax 0, 1ml()()()()xsxysxysxysylmfmlf0, 0sxysx(2), hyqsxysysxysx0) 1(0) 1(01, 0ml0,sxysyq0,0 xyff0,xyffqxyahhq（4）, 0 x00ssvu1, 0ml0, 0sxysy(3), hy00) 1(0

28、) 1(0sxysysxysx0,0 xyff练习练习1 图示构件，试写出其图示构件，试写出其应力边界条件应力边界条件。上侧：上侧：,xfq0l1m0yf 0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(sy()()()()xsxysxysxysylmfmlfN0,xf ,sin)90cos(lcosm下侧：下侧：Nyfp psysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(固定端略。固定端略。 圣维南原理圣维南原理一、一、圣维南原理（局部影响原理）圣维南原理（局部影响原理） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢

29、量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。二、二、举例举例PP(a)P2/P2/P(b)2/P2/P2/P2/P(c) 设有柱形构件，在两端截设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向面的形心受到大小相等而方向相反的拉力相反的拉力P ，如图，如图2-9a。如。如果把一端或两端的拉力变换为果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，如图静力等效的力，如图2-9b或或2-9c，只有虚线划出部分的应力只有虚线划出部分的应力分布有显著的改变分布有显著的改变，而其余部，而其余部分所受的影响是可以不计的。分所受的影响是可以不计的。PP2/P2/P2

30、/P2/PP2/P2/P(a)(b)(c)AP/AP/(d)如果再将两端的拉力变如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，换为均匀分布的拉力，集度等于集度等于P/A ，其中，其中A 为杆件的横截面面积，为杆件的横截面面积，如图如图2-9d，仍然只有，仍然只有靠靠近两端部分的应力受到近两端部分的应力受到显著的影响显著的影响。PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/P(a)(b)(c)AP/AP/(d)PP图2-9(e)如果将右端完全固定，如果将右端完全固定，如图如图2-9e，仍然只有，仍然只有靠靠近两端部分的应力受到近两端部分的应力受到显著的影响显著的影响。PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/

31、PAP/AP/PP图图2-92-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述五种情况下，离开两端较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。注意：注意： 应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。lx 圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用： 如图，考虑如图，考虑 小边界，小边界， 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx 积分的应力边界条件积分的应力边界条件在小边界在小边界x=l上，用下列条件代替上式上，用下列条件代替上式的条件：的条件： 在同一边

32、界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量应力的主矢量Fx,Fy= = 面力的主矢量（给定面力的主矢量（给定) ) 应力的主矩应力的主矩( (M)= )= 面力的主矩（给定）面力的主矩（给定）数值相等数值相等方向一致方向一致(b)/2/2/2/2()d1( )d1() hhxx lxNhhyfyyF 具体列出以下三个积分条件：具体列出以下三个积分条件：/2/2/2/2()d1( )d1()hhxx lxhhyyfyyyM /2/2/2/2()d1( )d1()hhxyx lyShhyfyyF 例例2 2 试列出图中的边界条件。试列出图中的边界条件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq

33、1q) 1,(hl(a)2/2, ( ) , 0;yxyxyhql ( (a) )在主要边在主要边界界 应应精确满足下列精确满足下列边界条件：边界条件：2/hySFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl解解:1/2, 0, .yxyyhq 在小边界在小边界x = 0应用圣维南原应用圣维南原理，列出三个理，列出三个积分的近似边积分的近似边界条件，当板界条件，当板厚厚 时，时，1/2/200/2/2/20/2()d,()d,()dhhxxxxhhhxyxshyFyyMyF。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl在小边界在小边界x = l，当平衡微分方当平衡微分方程和其它各边程和