3知识梳理_简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词

1、简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词 【考纲要求】 1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定 【知识网络】 逻辑联结词 或、且、非 简易逻辑（ P q 非P P或q P且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 “且”才真。 1、 全称量词: 类似“所有”这样的量词，并用符号“ ”表示。 2、 全称命题: 含有全称量词的命题。其结构一般为: x M,p(X) 3、 存在量词: 类似“有一个”或“有些”或“至少有 .一个”这样的量词，并用符号“ ” r表

2、示。 4、 特称命题: 含有存在量词的命题。其结构一般为: X M , p(x) 1简单命题与复合命题 全称量词、存在量词 【考点梳理】 、复合命题的真假 口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真 二、全称命题与特称命题 三、全称命题与特称命题的否定 1、命题的否定和命题的否命题的区别 命题P的否定，即 P，指对命题P的结论的否定。 命题P的否命题，指的是对命题 P的条件和结论的同时否定。 2、全称命题的否定 全称命题P : X M , P（X） 全称命题P的否定（P）: X M , P（x） 特称命题P： X M,p（X） 特称命题的否定P： X M, P（X） 所以全称命题的否定

3、是特称命题, 四、常见结论的否定形式 特称命题的否定是全称命题。 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n 1 )个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n 1 )个 对所有X , 成立 存在某X , 不成立 P或q P且q 对任何X , 不成立 存在某X , 成立 P且q P或 q 【典型例题】 类型一：判定复合命题的真假 【高清课堂：逻辑 例21例1.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假. 若qv 1,则方程X2+ 2x + q = 0有实根； (2) 若 ab= 0，

4、贝U a = 0 或 b = 0; 2 2 (3) 若实数X、y满足X + y = 0,则x、y全为零. 解析： 逆命题：若关于X的方程x2+2x+ q = 0有实根，则qv 1，为假命题. 否命题：若q1,则关于X的方程X2+ 2x + q= 0无实根，假命题. 2 逆否命题：若关于 X的方程X+ 2x + q = 0无实根，则q1，真命题. (2) 逆命题：若 a= 0或b = 0，则ab= 0,真命题. 否命题：若 abM 0，贝U a丰0且b* 0,真命题. 逆否命题：若 aM 0且bM 0,贝U abM 0,真命题. (3) 逆命题：若X、y全为零，则X2+ y2= 0，真命题. 否

5、命题：若实数X、y满足X2+ y2M0,则X、y不全为零，真命题. 逆否命题：若实数 X、y不全为零，则X2+ y2M 0,真命题. 2. (2016山东高考)已知直线a, b分别在两个不同的平面 a, B内-则 直线a和直线b相交是 平面a和平面B相交的 (A )充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 解析：直线a与直线b相交,则,一定相交 若,相交，则a,b可能相交，也可能平行,故选A. 点评： 1. 判断复合命题的真假的步骤： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题 P和q的真假； 根据规定（或真假表）判断复合命题的真假. 2.

6、条件“ X N或X 0”是“或”的关系，否定时要注意 举一反三： 【变式1】（2016四川高考） X 1, 设 P：实数 X, y 满足(X- 1)2- (y - 1)2W 2, q：实数 x, y 满足 y 1 x, 1, （B）充分不必要条件 既不充分也不必要条件 则P是q的 （A ）必要不充分条件 （C）充要条件（D） 【答案】A； 解析：画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC在命题P中不等式表 示的圆盘内，故选 A. X P :Xo 2 R, Xo 3X0 2 0，P为真命题. 类型二：全称命题与特称命题真假的判断 例3. 判断下列命题的真假, 写出它们的否定

7、并判断真假. (1) P： X R, X22 0 ; (2) P： X0R, X2 10 (3) P： X 2 R, X 3x 2 0 ；(4) P： 2 X0 Q,X04 . 解析: (1)由于 X R都有X2 0 , 2 故 X 220, P为真命题； P :Xo 2 R, Xo2 0 ,P为假命题 因为不存在一个实数 X , 使X210成立， P为假命题； P :X R, X21 0 , P为真命题. 因为只有x 1满足方程，P为假命题; 2 由于使 x 4成立的数有 2，且它们是有理数, P为真命题; 点评: x Q,x2 4，p为假命题. 1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定

8、的集合 M中的每一个元素 x，验证p(x)成立；要判断 全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x x0 , 使P(x0)不成立即可; 2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合 M中，至少能找到一个 x x0，使p(x0)成立, 则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题 举一反三： 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断 【高清课堂：逻辑 它们的真假. 贝U a+ cb+ d ax2+ 2x + 1 = 0至少有一个负数根. (1) 若 ab 且 cd, (2) 若ab + d,则ab且cd(假命题) 否命题：若aw b或c d，贝U a+ c

9、b + d(假命题) 逆否命题：若 a+ cw b+ d，则aw b或cw d(真命题) (2)逆命题：若方程 ax2 + 2x + 1= 0至少有一个负数根，则a 0,则方程ax+ 2x + 1 = 0无负实数根 逆否命题：若方程 ax2 + 2x + 1 = 0无负实数根，则a 0 因为若a0时，方程ax2 + 2x +1 = 0为两根之积为a0此时 a0. 所以逆命题不成立. 因此否命题也是假命题. 类型三：在证明题中的应用 例4.若a,b,c均为实数，且 2y 2z 2x .求证：a,b,c中 6 至少有一个大于 0 解析: 假设a, b,c都不大于 0, 0,b 0,c0，则 - (

10、x 1)2 2 X 2y - 2 (y 1) (z 0,这与a y2 2z 1)2 0, 2 z 2x 6 b c 0相矛盾. (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 因此a,b,c中至少有一个大于 0. 从这个假设出发，经过推理论证, 点评：1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设(否定结论) 得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多”、 “至少”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题 2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题. 举一反三: 的充分必要条件是 a b c 0. 【变式】求证：关于x的方程ax2 bx c 0有一根为1 证明: (1 )必要性，即证“ x 1是方程a