梁弯曲时位移

1、材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 1 第第 5 章章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 5-1 梁的位移梁的位移挠度和转角挠度和转角 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 5-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 5-5 梁的刚度校核梁的刚度校核提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 *5-4 梁挠曲线的初参数方程梁挠曲线的初参数方程 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 2 5-1 梁的位移梁的位移挠度和转角挠度和转角 直梁在对称平面直梁在对

2、称平面xy内弯曲时其原来的轴线内弯曲时其原来的轴线AB 将弯曲成平面曲线将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心。梁的横截面形心(即轴线即轴线 AB上的点上的点)在垂直于在垂直于x轴方向的线位移轴方向的线位移w称为称为挠度挠度 (deflection)，横截面对其原来位置的角位移，横截面对其原来位置的角位移q q 称为称为 横截面的转角横截面的转角(angle of rotation)。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 3 弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线挠曲线挠曲线(deflection curve) 为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为为一平坦而光滑的曲线，它可

3、以表达为w=f(x)， 此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍 与挠曲线保持垂直，故横截面的转角与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q q 也就是挠也就是挠 曲线在该相应点的切线与曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而轴之间的夹角，从而 有转角方程：有转角方程： xfw q qq qtan 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 4 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与 梁的弯曲变形程度梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小挠曲线曲率的大小)有关，也有关，也 与支座约束的条件有关。图与支

4、座约束的条件有关。图a和图和图b所示两根梁，所示两根梁， 如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩 Me也相等，显然它们的变形程度也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线也就是挠曲线 的曲率大小的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转相同，但两根梁相应截面的挠度和转 角则明显不同。角则明显不同。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 5 在图示坐标系中，挠度在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角顺时针转向的转角q q 为正，逆时针转向的转角为正，逆时针转向的转角q q 为负。为负

5、。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 6 5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 I. 挠曲线近似微分方程的导出挠曲线近似微分方程的导出 在在4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯纯弯 曲曲情况下中性层的曲率为情况下中性层的曲率为 这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。 EI M 1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 7 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，外， 还有剪力还有剪力F

6、S=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变，剪力产生的剪切变形对梁的变 形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大往往大 于横截面高度于横截面高度h的的10倍，此时剪力倍，此时剪力FS对梁的变形的影对梁的变形的影 响可略去不计，而有响可略去不计，而有 注意：对于有些注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直的梁，例如工字形截面等直 梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不梁，如同在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不 锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变锈钢制作，而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变 模量较小的复合材料制作，此时剪切变形

7、对梁的变模量较小的复合材料制作，此时剪切变形对梁的变 形的影响是不可忽略的。形的影响是不可忽略的。 EI xM x x 1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 8 从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 2/3 2 1 1 w w x 式中，等号右边有正负号是因为曲率式中，等号右边有正负号是因为曲率1/ / 为度量平为度量平 面曲线面曲线( (挠曲线挠曲线) )弯曲变形程度的非负值的量，而弯曲变形程度的非负值的量，而 w是是q q = w 沿沿x方向的变化率，是有正负的。方向的变化率，是有正负的。 材料力学材料力学()电子教案电子

8、教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 9 再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w ， 正弯矩对应于负值的正弯矩对应于负值的w ，故从上列两式应有，故从上列两式应有 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w 2与与1 相比可略去，于是得相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 EI xM w w 2/3 2 1 EI xM w 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 10 II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件挠曲线近似微分方程的积分及边界条件 求等直梁的挠曲线方程时可将上式

9、改写为求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为 后进行积分，再利用后进行积分，再利用边界条件边界条件(boundary condition) 确定积分常数。确定积分常数。 xMwEI EI xM w 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 11 当全梁各横截面上的当全梁各横截面上的 弯矩可用一个弯矩方程表弯矩可用一个弯矩方程表 示时示时( (例如图中所示情况例如图中所示情况) ) 有有 1 dCxxMwEI 21 ddCxCxxxM EIw 以上两式中的积分常数以上两式中的积分常数 C1，C2由由边界条件边界条件确定后即确定后即 可得出梁的转角方程和挠曲可得出梁的转角方程

10、和挠曲 线方程。线方程。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 12 边界条件边界条件( (这里也就是支座处的约束条件这里也就是支座处的约束条件) )的的 示例如下图所示。示例如下图所示。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 13 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯 矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分 方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分 时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常时，都将出现两个积

11、分常数。要确定这些积分常 数，除利用支座处的数，除利用支座处的约束条件约束条件( (constraint condition) )外，还需利用相邻两段梁在交界处的外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件连续条件( (continuity condition) )。这两类条件统。这两类条件统 称为称为边界条件边界条件。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 14 试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角q qmax。梁的。梁的EI 为常量。为常量。 例题例题 5-1 材

12、料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 15 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方该梁的弯矩方 程为程为 挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为 通过两次积分得通过两次积分得 )1(xlFxM )2(xlFxMwEI )3( 2 1 2 C x lxFwEI )4( 62 21 32 CxC xlx FEIw (b) 例题例题 5-1 解解: 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 16 2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程 转角方程转角方程)5( 2 2

13、 EI Fx EI Fxl w q q 挠曲线方程挠曲线方程 )6( 62 32 EI Fx EI lFx w 由由(3)、(4)两式得两式得00 21 CC， 该梁的边界条件为：在该梁的边界条件为：在 x = =0 处处 w=0 ，w =0 将将C1和和C2代入代入(3)、(4)两式，得两式，得 例题例题 5-1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 17 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 描出挠曲线的示意图描出挠曲线的示意图(图图c)。 转角方程转角方程)5( 2 2 EI Fx EI Fxl w q q

14、挠曲线方程挠曲线方程 )6( 62 32 EI Fx EI lFx w (c) 例题例题 5-1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 18 由挠曲线可见，该梁的由挠曲线可见，该梁的q qmax和和wmax均在均在x=l的的 自由端处。由自由端处。由(5)、(6)两式得两式得 EI Fl EI Fl EI Fl ww lx 362 | 333 max 22 | 222 max EI Fl EI Fl EI Fl lx q qq q 2. 求求q qmax和和wmax (c) 例题例题 5-1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 19 3

15、. 由此题可见，当以由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分为自变量对挠曲线近似微分 方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中 的积分常数是有其几何意义的：的积分常数是有其几何意义的： 001 |q qEIwEIC x 002 |EIwEIwC x 此例题所示的悬臂梁，此例题所示的悬臂梁，q q0=0，w0=0， 因而也因而也 有有C1=0 ，C2=0。 例题例题 5-1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 20 4. 因为因为 ，是在，是在x向右为正、向右为正、y向下为向下为 正的条件下建立的，所以用积分法求位移时也

16、正的条件下建立的，所以用积分法求位移时也 必须用这样的坐标系。必须用这样的坐标系。 )(xMwEI 例题例题 5-1 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 21 思考思考: : 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的 挠曲线方程和转角方程。积分常数挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和和C2等于零等于零 吗？吗？ 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 22 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并 确定其最大挠度确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角q qmax。

17、梁的梁的EI为常为常 量。量。 例题例题 5-2 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 23 列挠曲线近似微分方程，并积分。列挠曲线近似微分方程，并积分。 支反力支反力FA=FB=ql/2 挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为 通过两次积分得：通过两次积分得： )1( 22 1 2 22 xlx q qxx ql xM )2( 2 2 xlx q xMwEI )3( 322 1 32 C xlxq wEI )4( 1262 21 43 CxC xlxq EIw 弯矩方程为弯矩方程为 例题例题 5-2 解解: 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯

18、曲时的位移 24 2. 确定积分常数。确定积分常数。 该梁的边界条件为：该梁的边界条件为： 在在 x=0 处处 w=0， 在在 x=l 处处 w=0 把边界条件分别代入把边界条件分别代入(4)式，得式，得 0 1262 | 0 1 44 2 lC llq EIwC lx 及及 解得解得 0 24 2 3 1 C ql C， 例题例题 5-2 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 25 将将C1和和C2代入代入(3)、(4)两式，得两式，得 转角方程转角方程 )5(46 24 323 xlxl EI q w q q 挠曲线方程挠曲线方程 )6(2 24 323 xlx

19、l EI qx w 例题例题 5-2 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 26 3. 求求q qmax和和wmax 根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角q qA及及q qB 的绝对值相等，且均为最大值。 的绝对值相等，且均为最大值。 将将x=0及及x=l代入代入(5)式，得式，得 最大挠度在跨中，将最大挠度在跨中，将x=l/2代入代入(6)式，得式，得 EI ql BA 24 3 max q qq qq q EI qlll ll EI lq ww lx 384 5 22 2 24 2 | 4 32 3 2max 例题例题 5

20、-2 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 27 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角q qmax。梁的。梁的EI 为常量为常量 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 28 约束力约束力为为 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x) 时时仍取仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中中 的第一项与方

21、程的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把中的项相同。且不要把M2(x) 中的中的F(x-a)展开。展开。 l a FF l b FF BA ， lxaaxFx l b FaxFxFxM A 2 1.分段列弯矩方程分段列弯矩方程 axx l b FxFxM A 0 1 例题例题 5-3 解解: 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 29 2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分： 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 x l b FxMwEI 11 积分得积分得 )1( 2 1 2 1 C x l b FwEI )2( 6

22、 11 3 1 DxC x l b FEIw axFx l b FxMwEI 22 )1( 22 2 2 2 2 C axFx l b FwEI )2( 66 22 3 3 2 DxC axFx l b FEIw 左段梁左段梁右段梁右段梁 ax 0 lxa 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 30 值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时， 对于含有对于含有(x- -a)的项是以的项是以( (x- -a) )作为积分变量进行积作为积分变量进行积 分的，因为这样可在运用连续条件，即分的，因为这样可在运用连续条件

23、，即x=a时，时， w1 =w2及及w1=w2，由，由(1)、(1)和和(2)、(2)式得式得C1=D1， C2=D2 。 3. 确定积分常数确定积分常数 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 31 再利用支座位移条件，再利用支座位移条件， 即：即： 在在x=0处处 w1=0， 在在 x=l 处处 w2=0 由两个连续条件得：由两个连续条件得： 2121 DDCC ， 由由(2)式，得式，得 0 1 D0 2 D从而也有从而也有 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 32 将将x=l，代入，代入(2)式

24、，得式，得 0 6 | 2 3 3 2 lC alF b l l b FEIw lx 即即 22 2 6 bl l Fb C 从而也有从而也有 22 1 6 bl l Fb C 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 33 将将C1、C2、D1、D2代入代入(1)、(1)和和(2)、(2)式式得两得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 左段梁左段梁右段梁右段梁)0(ax )(lxa )3( 3 1 2 222 11 xbl lEI Fb wq q )4( 6 222 1 xbl lEI Fbx w )3( 3 1 2

25、222 2 22 blxax b l lEI Fb wq q )4( 6 223 3 2 xblxax b l lEI Fb w 4. 建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 34 左、右两支座处截面的转角分别为左、右两支座处截面的转角分别为 lEI blFab lEI blFb xA 66 | 22 01 q qq q lEI alFab lxB 6 | 2 q qq q 当当ab时有时有 )5( 6 max lEI alFab B q qq q 5. 求求q qmax和和wmax 例题例题 5-3 材

26、料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 35 )6( 3 2 3 22 1 baabl x 根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当ab 时，最大挠度时，最大挠度wmax可能发生在可能发生在AD段的段的 =0处，处， 令，令， 得得0 1 w 1 w ab时，时，x1a，可见，可见 w发生在发生在AD段，即段，即 wmax发生在发生在AD段。段。 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 36 将将x1的表达式的表达式(6)代入左代入左 段梁的挠曲线方程段梁的挠曲线方程(4)得得 )7( 39 |

27、 3 22 1max 1 bl lEI Fb ww xx 3 22 1max 39 | 1 bl lEI Fb ww xx 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 37 由由(7) 式还可知，当集中式还可知，当集中 荷载荷载F作用在右支座附近作用在右支座附近 时，时，b值甚小，以致值甚小，以致 b2 和和 l2 相比可略去不计，则有相比可略去不计，则有 EI Fbl EI Fbl w 22 max 0642. 0 39 它发生在它发生在 处。而处。而 处处 ( (跨中点跨中点C) )的挠度的挠度wC为为 l l x577. 0 3 1 l l x50

28、0. 0 2 EI Fbl EI Fbl bl EI Fb ww lxC 22 22 21 0625. 0 16 43 48 | 6. 求求wmax的近似表达式的近似表达式 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 38 当集中荷载当集中荷载F作用于简支梁的跨中时作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)， 最大转角最大转角q qmax和最大挠度和最大挠度wmax为为 EI Fl BA 16 2 max q qq qq q EI Fl ww C 48 3 max 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情 况下，跨中挠

29、度与最大挠度也只相差不到况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因。因 此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点 都可以用跨中挠度代替最大挠度。都可以用跨中挠度代替最大挠度。 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 39 当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定 积分常数简便，必须遵守以下规则：积分常数简便，必须遵守以下规则： (1) 列每段的弯矩方程时，均以列每段的弯矩方程时，均以x截面左面的梁段为截面左面的梁段为 分离体。第分离体。第II段的弯矩方程中含有段

30、的弯矩方程中含有(x-a)的项，不能的项，不能 展开。展开。 (2)对第对第II段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均 以以(x-a)作为积分变量。这样，在利用位移连续条件作为积分变量。这样，在利用位移连续条件 后，将后，将4个积分常数简化为个积分常数简化为2个，否则将用个，否则将用4个方程个方程 联立求解联立求解4个积分常数。个积分常数。 例题例题 5-3 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 40 思考思考: : 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出 它们的挠曲线。并指出：它们的挠曲线。并指出

31、：(1) 跨中挠度是否最大？跨中挠度是否最大？ (2)跨中挠度的值是否接近最大挠度值？跨中挠度的值是否接近最大挠度值？ 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 41 画出挠曲线大致形状。图中画出挠曲线大致形状。图中C C为中间铰。为中间铰。 A F 两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间 铰处，挠度连续，但转角不连续。铰处，挠度连续，但转角不连续。 21 21 qq 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 42 悬臂梁受力如图示悬臂梁受力如图示. .关于梁的挠曲线关于梁的挠曲线, ,由四种答案由四种答案, , 请分析

32、判断请分析判断, ,哪一个是正确的哪一个是正确的? ? B A C 2l2l2l e M e M D B A C 2l2l2l e M e M D (a) B A C 2l2l2l e M e M D (b) B A C 2l2l2l e M e M D (C) B A C 2l2l2l e M e M D (d) 正确答案正确答案: (d): (d) AB,CDAB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线段弯矩为零，所以这两段保持直线 不发生弯曲变形。固定端无转角。不发生弯曲变形。固定端无转角。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 43 F B A q C L z

33、EI a 用积分法求图示各梁挠曲线方程时用积分法求图示各梁挠曲线方程时, ,试问下列各梁的试问下列各梁的 挠曲线近似微分方程应分几段；将分别出现几个积挠曲线近似微分方程应分几段；将分别出现几个积 分常数分常数, ,并写出其确定积分常数的边界条件。并写出其确定积分常数的边界条件。 挠曲线方程应分两段挠曲线方程应分两段AB,BC.AB,BC. 共有四个积分常数共有四个积分常数: ax 0 B Lax0 C x y 边界条件边界条件: 连续条件连续条件 ax 21BB 21BB qq 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 44 用积分法求图示各梁挠曲线方程时用积分法求图示

34、各梁挠曲线方程时, ,试问下列各梁的试问下列各梁的 挠曲线近似微分方程应分几段；将分别出现几个积挠曲线近似微分方程应分几段；将分别出现几个积 分常数分常数, ,并写出其确定积分常数的边界条件。并写出其确定积分常数的边界条件。 A 2L 1z EI 2z EI F B C 2L x y 挠曲线方程应分两段挠曲线方程应分两段AB,BC.AB,BC. 共有四个积分常数共有四个积分常数: 0 x 0 A 0 A q 边界条件边界条件: 连续条件连续条件 2 L x 21BB 21BB qq 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 45 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠

35、加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围 内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线 性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干 种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就 等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠 度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠叠 加原理加原理( (principle of superpositi

36、on) )。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 46 悬臂梁和简支梁在简单荷载悬臂梁和简支梁在简单荷载( (集中荷载，集中集中荷载，集中 力偶，分布荷载力偶，分布荷载) )作用下，悬臂梁自由端的挠度和作用下，悬臂梁自由端的挠度和 转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转 角的表达式已在本教材的附录角的表达式已在本教材的附录中以及一些手册中以及一些手册 中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往 可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的

37、 挠度和转角。挠度和转角。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 47 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面所示简支梁的跨中截面 的挠度的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角q qA 及及 q qB。已知。已知EI 为常量。为常量。 例题例题 5-4 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 48 为了能利用简单荷载作用为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式，下梁的挠度和转角公式， 将图将图a所示荷载视为与跨所示荷载视为与跨 中截面中截面C正对称和反对称正对称和反对称 荷载的叠加荷载的叠加(图图b)。 例题例题

38、 5-4 解解: 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 49 在集度为在集度为q/2的正对称均的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得挠度和转角的公式，得 EI ql EI lq wC 768 5 384 2/5 44 1 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq B q q 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq A q q C q qA1 q qB1 wC 例题例题 5-4 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 50 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，注意到反对称荷

39、载作用下跨中截面不仅挠度为零， 而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零， 因此可将左半跨梁因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分别视为分别视为 受集度为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简的简 支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得 38424 2/2/ 3 3 22 EI ql EI lq BA q qq q 在集度为在集度为q/2的反对称均布的反对称均布 荷载作用下，由于挠曲线也是荷载作用下，由于挠曲线也是 与跨中截面反对称的，故有与跨中截面反对称的，故有 0 2

40、 C w C q qA2 q qB2 例题例题 5-4 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 51 按叠加原理得按叠加原理得 EI ql EI ql www CCC 768 5 0 768 5 44 21 384 7 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql BBB q qq qq q 128 3 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql AAA q qq qq q 例题例题 5-4 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 52 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的转

41、的转 角角q qB，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。已。已 知知EI为常量。为常量。 例题例题 5-5 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 53 为利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将为利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将 图图a所示外伸梁看作由悬臂梁所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图图b)和简支梁和简支梁 BC(图图c)所组成。外伸梁在支座所组成。外伸梁在支座B左侧截面上的剪力左侧截面上的剪力 和弯矩和弯矩 应当作为外应当作为外 力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，截面处， 它们的指向和转

42、向如图它们的指向和转向如图b及图及图c所示。所示。 22 2 2 1 qaaqM B qaF B 2 S 例题例题 5-5 解解: 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 54 图图c中所示简支梁中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况的受力情况以及约束情况 与原外伸梁与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁段完全相同，注意到简支梁B支座处支座处 的外力的外力2qa将直接传递给支座将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。，而不会引起弯曲。 简支梁简支梁BC，由，由q产生的产生的q qBq 、wDq(图图d)，由，由MB产生产生 的的 q q BM 、wDM (图图e)。可查有

43、关式，将它们分别叠。可查有关式，将它们分别叠 加后可得加后可得q q B、wD，它们也是外伸梁的，它们也是外伸梁的q q B和和wD。 例题例题 5-5 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 55 )( 24 1 16 22 384 5 4 2 2 4 EI qa EI aqa EI aq www DMDqD 3 1 3 2 24 2 32 3 EI qa EI aqa EI aq BMBqB q qq qq q 例题例题 5-5 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 56 图图b所示悬臂梁所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁的受力情况与原

44、外伸梁AB 段相同，但要注意原外伸梁的段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，截面是可以转动的， 其转角就是上面求得的其转角就是上面求得的q qB，由此引起的，由此引起的A端挠度端挠度 w1=|q qB|a，应叠加到图，应叠加到图b所示悬臂梁的所示悬臂梁的A端挠度端挠度w2 上去上去, ,才是原外伸梁的才是原外伸梁的A端挠度端挠度wA EI qa EI aq a EI qa wwwA 4 43 21 12 7 8 2 3 1 例题例题 5-5 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 57 * 5-4 梁挠曲线的初参数方程梁挠曲线的初参数方程 I. . 初参数方程

45、的基本形式初参数方程的基本形式 前已得到等直梁的挠曲线近似方程为前已得到等直梁的挠曲线近似方程为 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为 后一个微分关系按后一个微分关系按q(x)向上为正导出。向上为正导出。 xMwEI xqxFxFxM SS ， 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 58 为了使下面导出的为了使下面导出的挠曲线初参数方程挠曲线初参数方程( (initial parametric equation) )中除了包含与位移相关的初参中除了包含与位移相关的初参 数数q q0和和w0以外，也包含与内力相关的初参数以外

46、，也包含与内力相关的初参数FS0和和M0， 先将二阶的挠曲线近似微分方程对先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得取二阶导数求得 等直梁挠曲线的四阶微分方程等直梁挠曲线的四阶微分方程 xqwEI 然后进行积分得然后进行积分得 1S dCxxqxFxMwEI 21 2 dCxCxxqxMwEI 32 2 1 3 2 dCxCx C xxqEIwEI q q 43 2 2 3 1 4 26 dCxCx C x C xxqEIw 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 59 以以x=0代入以上四式，并注意到以代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列为自变量时上列 四式

47、中的积分在坐标原点四式中的积分在坐标原点( (x=0) )处均为零，于是得处均为零，于是得 0403020S1 EIwCEICMCFC ，q q 式中，式中，FS0，M0，q q0和和w0为坐标原点处横截面为坐标原点处横截面( (初始截初始截 面面) )上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方 程中的四个初参数。程中的四个初参数。 1S dCxxqxFxMwEI 21 2 dCxCxxqxMwEI 32 2 1 3 2 dCxCx C xxqEIwEI q q 43 2 2 3 1 4 26 dCxCx C x C xxqEIw 材料力学材料力学()

48、电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 60 将积分常数将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式代入上述表达式 中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本 形式：形式： 初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件 确定。确定。 00 2 0S 3 2 dq qq qEIxMx F xxqEI 00 2 0 3 0S 4 26 dEIwxEIx M x F xxqEIw q q 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 61 显然，如果梁上的分布荷载是满布的显然，如果梁上的分布荷载

49、是满布的( (分布荷分布荷 载在全梁上连续载在全梁上连续) )，而且除梁的两端外没有集中力，而且除梁的两端外没有集中力 和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续 函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂 梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件 下，当分布荷载为向下的均布荷载时，下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=- -q，从，从 而有而有 xxxxxxx qx xq qx xq 000 4 4 0000 3 3 24 d 6 d， 材料力学材

50、料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 62 试利用初参数方程求图示简支梁的跨中挠度试利用初参数方程求图示简支梁的跨中挠度 wC和和B截面的转角截面的转角q qB。已知梁的。已知梁的EI为常量为常量 例题例题 5-6 x 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 63 1. 根据边界条件确定初参数根据边界条件确定初参数 另一初参数另一初参数q q0需利用需利用x=l 处挠度等于零的边界处挠度等于零的边界 条件求出。将以上三个初参数代入挠曲线的初参数条件求出。将以上三个初参数代入挠曲线的初参数 方程，并注意该公式中的方程，并注意该公式中的q(x)=-q，有

51、，有 由由x=0处的边界条件得：处的边界条件得：00 2 000S wM ql F， 00 26 1 24 0 0 3 4 lEIl qlql q q 解得解得 EI ql 24 3 0 q q 例题例题 5-6 解解: x 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 64 2. 列出挠曲线方程和转角方程，并求挠度列出挠曲线方程和转角方程，并求挠度wC和转角和转角 q qB 将已得到的四个初参数代入初参数方程得：将已得到的四个初参数代入初参数方程得： 挠曲线方程挠曲线方程 0 24 0 26 1 24 3 3 4 x ql x qlqx EIw 即即 )1(2 24 32

52、3 xlxl EI qx w 转角方程转角方程 24 0 22 1 6 3 2 3 ql x qlqx EIq q 即即 )2(46 24 323 xlxl EI q q q 例题例题 5-6 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 65 将将x=l/2代入代入(1)式，得式，得 将将x=l代入代入(2)式，得式，得 EI ql wC 384 5 4 EI ql B 24 3 q q 例题例题 5-6 x 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 66 II. . 一般情况的处理一般情况的处理 这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不这里所说的一般

53、情况是指梁上分布荷载不 连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集 中力偶等作用的情况。此时，外力中力偶等作用的情况。此时，外力( (荷载和荷载和约束约束 力力) )将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角 方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度 和转角仍连续。和转角仍连续。 现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 67 初参数：初参数： 0 2 0 2 0S M l al

54、q FF A ， q q00(其值未知其值未知)，w0=0 情况一情况一 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 68 转角方程：转角方程： 挠曲线方程：挠曲线方程： 0 2 2 0 2 2 1 22 1 0 22 1 0 q q q qq q EIx l alq EIx l alq EI xEIx l alq xEIx l alq EIw 0 3 2 0 3 2 1 26 1 00 26 1 0 q q q q 6 d 3 1 3 12 axq EI xqEIEI x a x a x a q q q qq q 24 d 4 1 4 12 axq EIw xqEIwE

55、Iw x a x a x a x a AC段梁段梁 （0 xa）CB段梁段梁 （axl） 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 69 CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是 由于自由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在处开始有向下的均布荷载而在AC段梁段梁 延续过来的相应方程延续过来的相应方程EIq q1和和EIw1中增加的项。中增加的项。 未知初参数未知初参数q q0可由可由 x=l 处处 wB=w|x=l=0 的边的边 界条件求得。界条件求得。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 70 情况二情

56、况二 初参数：初参数： 0 2 2 00S M l blqb FF A ， q q00(其值未知其值未知)，w0=0 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 71 AC段梁段梁 （0 xb） CB段梁段梁 （bxl） 转角方程：转角方程： 挠曲线方程：挠曲线方程： 0 2 3 0 2 000 3 1 2 2 2 1 6 0 2 2 2 1 d q q q q q q EIx l blqbqx EI x l blqb xqEI xxx xEIx l blqbqx xEIx l blqb xqEIw xxxx 0 3 4 0 3 0000 4 1 2 2 6 1 24 0

57、0 2 2 6 1 d q q q q 6 d 3 1 3 12 bxq EI xqEIEI x b x b x b q q q qq q 24 d 4 1 4 12 bxq EIw xqEIwEIw x b x b x b x b 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 72 CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项， 是由于考虑是由于考虑C截面截面( (x=b) )以右没有向下的均布荷载，以右没有向下的均布荷载， 而从由而从由AC段梁延续过来的相应方程段梁延续过来的相应方程EIq q1和和EIw1中中 减去了的那部分在减去了的那部

58、分在C截面以右的均布荷载产生的截面以右的均布荷载产生的 影响的相关项。影响的相关项。 未知初参数未知初参数q q0可由可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。的边界条件求得。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 73 情况三情况三 初参数：初参数：0 00S MFF， q q00(其值未知其值未知)w00(其值未知其值未知) 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 74 CA段梁段梁(0 xc)AB段梁段梁(cxc+l) 转角方程：转角方程： 挠曲线方程：挠曲线方程： 0 2 0 2 1 2 0 2 1 0 q q q qq q EI

59、x F EIxFEI 00 3 00 3 1 6 0 6 1 0 EIwxEIx F EIwxEIxFEIw q q q q 2 1 2 12 2 1 2 cx l clF EI cx F EIEI A q q q qq q 3 1 3 12 6 1 6 cx l clF EIw cx F EIwEIw A 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 75 AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是 由于考虑在由由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程段梁延续过来的相应方程EIq q1和和 EIw1中，应将向上的中，应将向上的约束力约束力在

60、在A截面截面( (x=c) )偏右截偏右截 面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。 未知初参数未知初参数q q0和和w0 可由边界条件可由边界条件 wA=w|x=c=0 和和 wB=w|x=l+c=0 求得。求得。 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 76 情况四情况四 初参数：初参数： 00 0 00 e00S w MMMFF AA ， ， q q 材料力学材料力学()电子教案电子教案梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 77 AC段梁段梁 (0 xd)CB段梁段梁 (dxl) 转角方程：转角方程： 挠曲线方程：挠曲线方程： x