高中数学2_3_1离散型随机变量的数学期望学案新人教B版选修2-3

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2.3.1离散型随机变量的数学期望1 .理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出 数学期望.(重点)2 .掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3 .会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)基础初探教材整理1离散型随机变量的数学期望 阅读教材p59p60,完成下列问题.1 .定义般地，设一个离散型随机变量x所有可能取的值是 x1, x2,，xn,这些值对应的概率是p1, p2,，pn,则e(x) = x1p1+ x2p2+ xnpn叫做这个离散型随机变量 x的均值或数学期望(简称

2、期望).2 .意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平1.下列说法正确的有 (填序号).随机变量x的数学期望e(x)是个变量，其随 x的变化而变化；随机变量的均值反映样本的平均水平；若随机变量 x的数学期望e(x)=2,则e(2x)=4;x1 + x2 + xn随机变量x的均值e(x)=n.【解析】错误，随机变量的数学期望e(x)是个常量，是随机变量 x本身固有的一个数字特征.错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.正确，由均值的性质 可知.错误，因为 e(x) =xp + x2p2+ xnpn.【答案】2 .已知离散型随机变量 x的分布列为：x1p23则x的数学期望e(x)=.一一33

3、13【解析】e(x) = 1c + 2x +3x 77=；.51010 2【答案】23 .设 e(x) = 10,则 e(3x+ 5) =【导学号：】【解析】e(3x+ 5) =3e(x) +5 = 3x 10+ 5= 35.【答案】35教材整理2常见几种分布的数学期望阅读教材p60例1以上部分，完成下列问题.名称二点分布二项分布超几何分布公式e(x)=pe(x) =npnme(x)=r11.若随机变量x服从二项分布b4,5，则e(x)的值为.31 4【解析】e( x)= np=4x-=-3 3-4【答案】-32.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为则罚球一次

4、得分x的期望是.【解析】因为rx= 1) = 0.8, p(x= 0)=0.2,所以日 x) =1x0.8 +0x0.2 = 0.8.【答案】0.8质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑： 疑问2:解惑： 疑问3:解惑： 小组合作型二点分布与二项分布的数学期望卜例口某运动员投篮命中率为 p= 0.6.(1)求投篮1次时命中次数 x的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数 y的数学期望.【精彩点拨】(1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【自主解答】(1)投篮1次，命中次数 x的分布列如下表：x01p0.40.6则 e(x) =0.

5、6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数 y服从二项分布，即 yb(5,0.6),则e(y)= np= 5x0.6 = 3.1 .常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)二点分布 e(x) = p；(2)二项分布 e(x) = np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度2 .二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生.(2)不同点：随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1 ,二项分布中随机变量的取值x= 0,1,2 ,，n.试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.再练一题1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9

6、,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为x,则x的数学期望为()a.100b.200c.300d.400(2)已知某离散型随机变量x服从的分布列如下，则随机变量x的数学期望e(x)等于()x01pm2m12a. 9b. 91 2c-d.33【解析】(1)由题意可知，补种的种子数记为 x, x服从二项分布，即xb(1 000,0.1), 所以不发芽种子的数学期望为 1 000 x 0.1 = 100.所以补种的种子数的数学期望为 2x 100= 200.(2)由题意可知 mh2m 1,所以 m；,所以 e(x) =0x1+1 x |=

7、2. 333 3【答案】 (1)b(2)d求离散型随机变量的数学期望卜例 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,，6),求:(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数己的分布列与均值.【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出己的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值【自主解答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.(1)设a表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 表示“

8、甲、乙的演出序号c31 4均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得ra) = 1 r a) = 1d=15=5.5 1o)=cr3，r(2)七的所有可能取值为0,1,2,3,4 ,且= 1)= c6=存，re=2)=c6=5, p=3)=d=而，p-=4)=ct记从而知己的分布列为01234p121443行+ 2x5 + 3x 行+ ”行=一,1所以 e( e ) =0x-+1x3求离散型随机变量士的数学期望的步骤1 .根据己的实际意义，写出 己的全部取值.2 .求出e的每个值的概率.3 .写出己的分布列.4 .利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键， 在求解过程

9、中应注重分析概率的相关知识再练一题2.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数x的分布列及数学期望.【解】 x可取的值为1,2,3 ,则 p(x= 1) =3, rx= 2)52 33=-x-=,5 4 10p(x= 3) =2x1x1 =5 41 行.抽取次数x的分布列为x123p日x)=1x3+2x +3x 上=3e(x)51010 2探究共研型离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7,罚球命中得1分，不中得。分，则他罚球一次的得分x可以取哪些值？ x取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量x可能

10、取值为0,1. x取每个值的概率分别为 rx= 0)=0.3, rx=1) = 07探究2 在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为180=0.8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？ 为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚王一次的得分大约为0x0.3+ 1x0.7= 0.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量x的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近x的均值的一个分数.卜例 随机抽取某厂的某种产品 200件，经质

11、检，其中一等品 126件，二等品50件， 三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2万元、 1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为x(1)求x的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即x的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1% 一等品率提高为 70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】|根据利润的意义写出己的欣一 |写出上的分布而一-求出数学 期望e x利用期望回答问题【自主解答】(1)x的所有可能取值有 6,2,1 , - 2.126rx= 6) = 200

12、= 0.63，rx= 2)=10=0.25, rx= 1)=10= 0.1， 200200rx= - 2) =-4-=0.02.200故x的分布列为:x621-2p0.630.250.10.02(2) e(x =6x0.63+2x0.25 + 1x0.1 + ( 2) x0.02 = 4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为日x) =6x0.7+2x(1 0.7 0.01 -x) + 1xx+(-2)x 0.01= 4.76 -x(0 x4.73,即 4.76 xa4.73,解得x9) = 0.3 + 0.35 =0.65.(2)因为 e(x甲)=7x0.2+8x

13、0.15+9x0.3 + 10x0.35 =8.8 ,e(x乙)=7x0.2 +8x0.25+9x0.2 +10x0.35= 8.7 , 则有e(x甲)e(x乙)，所以估计甲的水平更高.构建体系文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持1. 一名射手每次射击中靶的概率为0.8 ,则独立射击3次中靶的次数 x的数学期望是()b.0.8c.2.4d.3【解析】e(x)=3x0.8= 2.4.【答案】c2. 口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个，则取出的a.0.1b.0.2球的最大编号x的均值为()b. 一1a. -38c.2d?3【解析】 x的取值

14、为2,3.11c2 2因为 rx= 2)=c2=3, p= (x= 3) = c2= 3.12 8所以 e(x) = 2x -+ 3x -=-33 3【答案】d3 .某射手射击所得环数 己的分布列如下:七78910px0.10.3y已知 工 的均值e(己)=8.9 ,则y的值为.【解析】依题意得x+0.1 +0.3 +y=1,7x+0.8 +2.7 +10y=8.9 ,即x + y=0.6,7x+10y=5.4, 解得 y=0.4.【答案】0.44 .设离散型随机变量 x可能的取值为1,2,3, p(x= k) = ak+b(k= 1,2,3).又x的均值e(x) =3,则 a+b=.【导学号

15、：】【解析】rx= 1) =a+ b,rx= 2) =2a+b,rx= 3) =3a+b,. e(x) = 1x( a+ b) +2x(2 a+b) + 3x(3 a+b) = 3, -14a+ 6b=3.又 ( a+ b) + (2 a+ b) + (3 a+ b) = 1,由可知 a= , b= ,a+ b=.2361【答案】 一765.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取 2个球，每取到1个黑球记。分, 每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用x表示取得的分数.求：(1) x的分布列；(2) x的均值.【解】(1)由题意知，x可能取值为0,1,2,3,4.c41r x= 0

16、) = c2=6，c3c41rx=1)= ct=35p(x= 2)=c1c2+c2c9=1136,p(x= 3)=c2c31ct=6,c21rx= 4)=s=36. (2)我的课下提升方案： (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.设随机变量 xb(40 , p),且e(x) =16,则p等于()文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.c.0.3d.0.4【解析】.日x） = 16, .40p=16, . p=0.4.故选 d.【答案】d2 .随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数e的期望为（）a.0.6b.1c.3.5d.2123456p抛掷骰子所得点数

17、己的分布列为iiiiii=1x6+2100(人). 俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请10.(2015 重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中 豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同 .从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到 1个的概率;(2)设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望.【解】(1)令a表示事件“三种粽子各取到 1个”，则由古典概型的概率计算公式有 ddd 1ra)=r=4.(2) x的所有可能值为 0,1,2 ,且d 7dd 7rx= 0)=歹i? rx=展=丘c2c81rx= 2) = c3r=i5.故 e(x)=0

18、x综上知，x的分布列为x012p13人 =5(个).能力提升y表示乙车床生产 1 0001.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，x表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,件产品中的次品数，经一段时间考察，x, y的分布列分别是:x0123p0.70.10.10.1x0123p0.50.30.20据此判定()a.甲比乙质量好b.乙比甲质量好d.无法判定c.甲与乙质量相同【解析】e(x) =0x0.7 + 1x0.1 +2x0.1 +3x0.1 = 0.6 ,e( y) =0x0.5 + 1x0.3 +2x0.2 +3x0= 0.7.由于 e(y)e(x),故甲比乙质量好.【答案】 a2 .某船队

19、若出海后天气好，可获得 5 000元；若出海后天气坏，将损失 2 000元；若不 出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6 ,则出海的期望效益是()a.2 000 元b.2 200 元c.2 400 元d.2 600 元【解析】出海的期望效益 e(己)=5 000 x 0.6 + (1 0.6) x ( 2 000) =3 000 800=2 200(元).【答案】 b3 .某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 |,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其31面试是相互独立的.记x为该毕业生得到面试的公司个数，若p(x= 0)=不，则随机变量 x的数学