02013初等数论两套试卷及答案(总7页)

1、初等数论考试试卷（一）一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果，是任意整数，则A B C T D 5、如果( )，则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数，是任意

2、一个整数，则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数，则存在( )整数，使，.三、计算题(每题8分，共32分)1、求136，221，391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求，其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数，数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.初等数论考试试卷（一）答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数

3、和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数，是任意一个整数，则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数，则存在( 唯一 )整数，使，.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求136，221，391=?（8分）解 136，221，391=136，221，391 =1768，391 -(4分) = =104391=40664. -（4分） 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，所以有解； -（2分） 化简得； -（1分）考虑，有， -（2分

4、）所以原方程的特解为， -（1分）因此，所求的解是。 -（2分）3、解同余式. （8分）解 因为(12，45)=35，所以同余式有解，而且解的个数为3. -（1分）又同余式等价于，即. -（1分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10，3)，-（2分）即定理4.1中的. -（1分）因此同余式的3个解为， -（1分）， -（1分）.-（1分）4、求，其中563是素数. （8分）解 把看成Jacobi符号，我们有-（3分）-（2分），-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数，数是整数. (1

5、0分) 证明 因为=， -（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数，3个连续整数的乘积是3的倍数， -（2分）并且(2，3)=1， -（1分）所以从和有，-（3分）即是整数. -（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为， -（3分）所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2，-1，0，1，2构成，所以这只需将n=0，1，2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5， 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余， 所以T -（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 -（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. （11分） 证明 设是正数

6、，并且， -（3分）如果， -（1分）则因为对于模4，只与0，1，2，-1等同余， 所以只能与0，1同余， 所以， -（4分）而这与的假设不符， -（2分）即定理的结论成立. -（1分）初等数论考试试卷（二）一、单项选择题 1、（ C ）.A B C D 02、如果，则=（ C ）.A B C D 3、小于30的素数的个数（A ）A 10 B 9 C 8 D 74、如果，是任意整数，则（ A ）A B C T D 5、不定方程（ A ）A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( B )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或97、如果，则( D ).A B

7、C D 8、公因数是最大公因数的（ A ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有（ A ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( D ).A -3，-2，-1，0，1，2，3 B -6，-5，-4，-3，-2，-1 C 1，2，3，4，5，6 D 0，1，2，3，4，5，611、因为( B )，所以不定方程没有解.A 12，15不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除12，1512、同余式（ B ）.A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解二、填空题 1、有理数，能写成循环小数的条

8、件是（ b中含有2、5以外的质因数 ）.2、同余式有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( =41 ).4、设是一正整数，Euler函数表示所有( 小于 )，而且与（ 互素 ）的正整数的个数.5、设整数，则（ a , b ）=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（各个数位上的）数码的和能被3整除.7、（ x ）.8、同余式有解，而且解的个数( 3 ).9、在176与545之间有( 22个数 )是17的倍数.10、如果，则=( ab ).11、的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果，那么=( 1 ).三、计算题 1、求24871与3468的最小公倍数? 2、求解不定方程.（8分）3、求，其中563是素数. （8分）4、解同余式.（8分）5、求525，231=?6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题 1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.（11分）2、证