联结词在两直线平行应用的思考(20210316201733)

1、联结词在两直线平行应用的思考 【摘 要】随着新课程的推行，对于教材的地位与作 用的理解更加深入和到位，对于课本或者是一些参考书中所 提的一些相关的知识应用和推广有了更加广阔和深刻的认 识，本文是笔者对于两直线平行的充要条件提出的一些个人 的认识和看法。 【关键词】或；充要条件；等价性；探究 在高中数学必修 2 第三章直线与方程中，我们学习 了直角坐标系下两直线位置关系的判定方法。课本利用两直 线的倾斜角关系得出两直线平行或垂直之间相应的斜率关 系，但对于两直线重合无法直接给出判断。直到学习了直线 的方程，从直线的方程给出了明确的常见判断方式：一种利 用斜截式并考虑斜率不存在情况；另一种则是利用

2、一般式探 究出未知数 x、 y 的系数之间相应的关系，常见于试卷的考 题和相应的一些参考书中。但是大部分的教辅资料给出的等 价性结论多少存在不足，没有很好地说明两直线平行或垂直 的完整性。 一、问题的提出和分析 我们知道，当两直线都是斜截式时，两直线平行的充要 条件是：两直线斜率相等，且在 y 轴上的截距不相等。即 已知直线11 : y=k1x+b1 , 12 : y=k2x+b2贝U 11 II 12的充要条件 是：k仁k2且bizb2。当然这只是一般情况，还应考虑斜率 不存在情况，即 x=c1， x=c2， ci工c2。 一般来说直线方程之间可以互相转化，所以在解题时每 次都要直线方程的形

3、式化为斜截式，这不但增加了解题的难 度而且也容易出错（遗落斜率不存在情况） 。那么能否给出 相应的等价性结论呢？ 在讨论平行的位置关系时， 有些教学资料书 （教辅材料） 上给出了这样的结论： 若直线 11 : A1x+B1y+C1=0 , 12 : A2x+B2y+C2 =0，贝 11I 12 的充要条件是 A1B2-A2B1=0 ，且 A1C2-A2C1 工 0 （I）。 也有些资料书上给出的结论是： A1B2-A2B1=0 ，且 B1C2-B2C1 工 0 （H）。 那么这两个结论是否能够很好地解决直线的平行问题 呢？如果用上面结论（I）或（H）解题的过程会相对简单 明了。那么用上面两个结

4、论中的任一个去解题，对各种题型 能否充分的反馈出正确求解吗？下面先看用不同方法探究 两个例子的求解： 探究 1.已知直线 11 : x+ay+6=0 ， 12:（ a-2） x+3y+2a=0 求 11 I 12 的充要条件。 解：方法一： （用斜截式中的结论，讨论斜率） 当 a=0 时，直线 l1 的斜率不存在， 两直线为 l1 ：x+6=0 ， l2： -2x+3y=0 ，显然不符合题意。 当 az 0 时，贝y 11: ay=-x-6 , 12 : 3y=- (a-2) x-2a / 11 II 12。 解得 a=-1。 方法二:应用结论( I ) A1B2-A2B1=0 ，且 A1C2

5、-A2C1 z 0。 / 11 II 12 3-a (a-2) =0 且 2a-6 (a-2)工 0。 即a2-2a-3=0且-4a+12工0. a=-1与方法一相符。 方法三:应用结论( II) A1B2-A2B1=0 ，且 B1C2-B2C1 z 0。 v 11 II 12 3-a (a-2) =0 且 2a2-18工 0 a=-1 与方法一 相符。 通过上述解答方法二、三与方法一得到的答案一致，而 且方法二、三简单很多，学生只要记住公式直接代入公式求 解，而且避免了讨论斜率问题对于本题来说应用结论会简洁 一点。 探究 2:已知直线 11:(a2-1) x+ay-1=0， 12:(a-1)

6、 x+ (a2+a) y+2=0，若 11 II 12，求 a 的值。 解:方法一: (用斜截式中的结论，讨论斜率) 。 当 a=0 时，贝y 11 : -x-1=0 , 12 : -x+2=0 可得 11 II 12。 当 a2+a=0 时可得 a=0 或 a=-1 ， a=0 与前面一样符合题 意，当 a=-1 时，贝y 11 : y+1=0 , 12 :-2x+2=0 可得 11 不平 行 l2 不符合题意。 当az 0且az -1时，由11 II 12得解得a=1或a=-2。 综合以上可知，当a=0或a=1或a=-2时，11 II 12。 方法二：应用结论（ I）A1B2-A2B1=0

7、 ，且 A1C2-A2C1 z 0。 / 11 II 12 所以（ a2-1）（a2+a）-a（a-1）=0 且 2（a2-1）-（a-1） z 0。 解得 a=0 或 a=-2 与方法一比较少了 a=1 的解 方法三：应用结论（ II）A1B2-A2B1=0 ，且 B1C2-B2C1 z 0。 / 11 II 12 所以（ a2-1）（a2+a）-a（a-1）=0 且 2a-（a2+a）z 0。 解得 a=1 或 a=-2 与方法一比较少了 a=0 的解 从上述解答中， 方法一与方法二、 方法三的答案不相同， 我们不妨把这些值代入检验，可以发现只有方法一的答案是 全面的，方法二少了 a=1

8、的解刚好是的相应的 A1=0 ， A2=0 的情况，方法三少了 a=0 的解刚好了是的相应的 B1=0， B2=0 的情况。可见在一般式中由它们的系数关系给出的判断条件 不是充要条件。因此，在教育教学过程中，老师如果没有明 确阐述（对比）直线方程中系数之间的正确关系，在学生学 习中会引起怀疑与不确定性，在解题与应用中产生混乱导致 判断错误。 结合探究 1 和探究 2我们发现之所以会出现两种不同的 结果，关键点在于探究 1 中两直线 l1：x+ay+6=0，l2：（a-2） x+3y+2a=0 的系数中不会出项 A1=0 ，A2=0 和 B1=0 ， B2=0 的情况；而探究 2 中两直线 l1

9、：（a2-1）x+ay-1=0，l2：（a-1） x+ （ a2+a） y+2=0 的系数中会出现 A1=0 ，A2=0 和 B1=0， B2=0 的情况，因此导致了两结论的不完整。 类似的 我们还可以自己构造一些直线11 , 12的方程，由11 II 12求相 应的参数。 如：（1 ）已知直线 11 ：x+（m-1 ）y+6=0 ， 12：（m-2） x+3my+2m=0，且 11 II 12，求 m 的值。 （2）已知直线 11 ：x+m2y+6=0 ， 12：3x+3my+2m=0 ， 且11 II 12，求m的值。 上面的（ 1）（2）我们很容易看出（ 1）与探究 1 的问题 一样两个

10、结论应用上去得到的答案一样；而（2）因为存在 m2=0， 3m=0 的情况所以得到的答案不完整。 通过以上几个例子我们不难发现只要我们再增加考虑 A1=0 , A2=0 （结论I）和B仁0, B2=0 （结论II）的情况即 可以得出正确的答案。 二、反思求解 那么前面结论（I）（H）表示的式子是两直线平行的 什么条件呢？ 我们可以看出只是必要条件，忽视了A1=0 ，A2=0 或 B1=0， B2=0 的情况不具备充分性。 那么两直线11 II 12的充要条件到底是什么呢？ 结合上述的解答我们不难发现，如果我们把探究 2 中的 方法二、三中 a 的范围取并集，其所得范围和方法一所得 a 的范围是

11、一致的，也就是条件(I)(H)的并集。结论I 忽视了 A仁0, A2=0,结论II忽视了 B仁0, B2=0的，只要 把两个结论综合起来也就是取并集所得到的结论刚好是两 直线平行的充要条件。 三、提出结论 所以从上述的探究中我们可以得出这样的结论： 若直线 11 : A1x+B1y+C1=0 , 12 : A2x+B2y+C2 =0，则 l1 I l2 的充要条件是： “ A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1 工 0” 或 “ A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1 工 0” 但是这里要注意这个“或”的意义，是取它们两个条件 下的并，而不是像我们平时所说的两者取其一即可。 其实也可以如下叙述：直线 11 I 12 的充要条件是： A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1 及 B1C2-B2C1 中至少有一个 不为零，同样这里我们要注意理解的是“至少” ，它包含的 意思一样。 通过上述的问题我们不难发现逻辑联结词的重要性，特 别是“且”与“或”的应用，数学上的“或”可以理