单元类型及单元刚矩阵PPT学习教案

1、会计学1单元类型及单元刚矩阵单元类型及单元刚矩阵第三章第三章 单元类型及单元刚度矩阵单元类型及单元刚度矩阵 有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单元内用较简单的函数描述单元位移，即元内用较简单的函数描述单元位移，即miiiqxNxu1)()( 这是对单元位移这是对单元位移u(x)u(x)的近似。在前面两章的介绍的近似。在前面两章的介绍中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内点位移，这里所用的变量点位移，这里所用的变量q qi i，是节点位移的一种推，是节点位移的一种推广，即一组广义坐标，或称广义节点位

2、移，包括节广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节点位移和节点位移导数。点位移和节点位移导数。N Ni i为形状函数。根据单元为形状函数。根据单元广义节点位移的不同，形状函数分两类：广义节点位移的不同，形状函数分两类：LangrangeLangrange和和HermiteHermite型。型。第1页/共106页 1.Langrange 1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节型形状函数，这时节点广义位移为节点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形

3、状函数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之确定。之确定。 2.Hermite 2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点型形状函数，其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数。位移和节点位移导数。一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征第2页/共106页 在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的适应满足的4 4项原则。项原则。包含单元的刚体位移包含单元的刚体位移包含单元的常应变状态包含单元的常应变状态保证不偏惠各坐标轴保证不偏惠各坐标轴保证单元内位移连续保证单元内位移连续体

4、现位移函数完备性体现位移函数完备性体现位移函数几何不变性体现位移函数几何不变性体现位移函数协调性体现位移函数协调性一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征第3页/共106页 要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。3223221yxyyxxyxyxyx二维单元的帕斯卡三角形二维单元的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征第4页/共106页三三维维的的帕帕斯斯卡卡三三角角形形3222232232221zyzxzzyxyzzxyxyyxxzyzzxyxyxzyx

5、一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征第5页/共106页形状函数应该满足以下条件形状函数应该满足以下条件1.1.2.2.3.3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续4.4.保证所定义位移函数反映常应变状态保证所定义位移函数反映常应变状态0011jiiiliXNilXNilXN11miiiXN一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征 工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可以为任意。比较典型的是井

6、架、塔架等框架结构荷可以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问，这类结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。第6页/共106页二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二

7、次杆单元。单元。一次杆单元一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为单元有两个节点，如图所示，编号为i i、j,j,采用局部采用局部坐标坐标 ，记，记 ，并取，并取i i为为x x坐标的原点，则有坐标的原点，则有lxi(1)i(1)j(2)j(2)l lFFxjixxxx10第7页/共106页 根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。对于上述问题，已知节点位移为对于上述问题，已知节点位移为u ui i,u,uj j, ,而要求节点而要求节点间任一内点的位移，显然可以

8、根据线性插值来计算间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即（二点一次拉氏插值），即 lxNlxlN21;)(212121000uuNNuulxullxu1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵第8页/共106页代入代入 ，有，有 21;1NN令令 21;1得得 2211;NN所以单元内点位移为所以单元内点位移为 2121)(uuxu单元应变单元应变 212111uuddNddNldduldxdddudxdu1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵 eBuul2

9、1111第9页/共106页所以，几何矩阵为所以，几何矩阵为 llB11单元应力单元应力为为 E弹性矩阵弹性矩阵 ED 单元刚度矩阵通式为单元刚度矩阵通式为 dVBDBkTVe二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵代入，得代入，得 1111lEABDBAldxBDBAkTlTe这是一次杆单元的单刚阵，它对这是一次杆单元的单刚阵，它对称、对角线元素大于零且奇异！称、对角线元素大于零且奇异！ 1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元第10页/共106页 当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：其单刚阵类似于

10、一次杆单元的单刚阵，为： 1111lGJkei(1)i(1)j(2)j(2)l lMnxMn二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 一次杆单元一次杆单元第11页/共106页二次杆单元二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为单元有三个节点，如图所示，端点编号为i i、j,j,三个节点依次为三个节点依次为1 1、3 3、2 2。单元位移可以根据抛物。单元位移可以根据抛物线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即jixxxx10i(1)i(1)j(2)j(2)l lFFx(3)(3)同样令同样令 21;1二、一维单元及其单元

11、刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元第12页/共106页 2132222212114)1 (4222)1)(12(NNN321)2)(2()(0()2()2)(0()(2()(2()(ulllxxulllxxulllxlxxu令令二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元第13页/共106页所以单元内点位移为所以单元内点位移为 321321)(uuuNNNxu单元应变单元应变 eBuuuddNddNddNl3211211二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元 )44()1

12、4()14(12121lB几何矩阵为几何矩阵为 第14页/共106页单元应力单元应力为为 E ED 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 16888718173lEAdxBDBAklTe二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元73)14(201211lEAdxlEAkl元素的计算元素的计算 )!1() !)(!()(122121nmnmxxdxnxxm可以直接应用可以直接应用 第15页/共106页元素的计算元素的计算 73)14(022222lEAdxlEAkl163)44(0221233lEAdxlEAkl13)14)(14(022212lEAdxl

13、EAkl二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元第16页/共106页元素的计算元素的计算 二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1.1.杆单元杆单元 二次杆单元二次杆单元)8(3)44)(14(0212223lEAdxlEAkl)8(3)44)(14(0211213lEAdxlEAkl其余元素利用对称性可求得其余元素利用对称性可求得 233212311221kkkkkk第17页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元 梁单元如图所示，仅考虑节点在梁单元如图所示，仅考虑节点在xoyxoy平面内的位移平面内的位移为为v v、，这时

14、一个单元有四个自由度，形状函数为，这时一个单元有四个自由度，形状函数为三次多项式，即使用三次三次多项式，即使用三次HermiteHermite插值多项式。插值多项式。二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵1 12 2l lMz1xMZ2yzQy1Qy1第18页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵TvvNNNNlxlxllxxvlxllxvllxlxxv2211432122122212)00)()0)(0()00)(021()0)(0021()(HermiteHermite位移插值多项式位移插值多项式第19页/共106页2.2

15、.三次梁单元三次梁单元 224223222221)1()()23()()(21)1 ()1 ()1)(21 ()(21 (llxlxNlxllxNllxxNllxlxN其其中中二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵第20页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元 22dxvdy根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）2211242232222212vvdxNddxNddxNddxNdy eB NyNNNNyB 4321其其中中二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵第21页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元 )2(2)13(2

16、)21 (6)21 (6)2(2)23(2)21 (6)12(612422231221221 llNllNllNllN二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵jixxxx10同样令同样令 211第22页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元单元应力单元应力为为 E ED 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 dxNNEJdxdANNyEdxdABDBdVBDBklTzlATlATVTe 0020)()(引入引入 AzdAyJ2二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵第23页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元2222346266126122646612612lllllllll

17、llllEJkze单单元元刚刚度度矩矩阵阵 32401112)12(36lEJdxlEJkzlz元素的计算元素的计算 二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵第24页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵lEJdxlEJkzlz4)23(422022元素的计算元素的计算 32403312)21 (36lEJdxlEJkzlzlEJdxlEJkzlz4)13(422044230126)23)(12(12lEJdxlEJkzlz第25页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵340

18、1312)21)(12(36lEJdxlEJkzlz元素的计算元素的计算 230146)13)(12(12lEJdxlEJkzlz230236)21)(23(12lEJdxlEJkzlz第26页/共106页2.2.三次梁单元三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵二、一维单元及其单元刚度阵230346)13)(21 (12lEJdxlEJkzlz元素的计算元素的计算 lEJdxlEJkzlz2)12)(23(42024其余元素利用对称性可求的其余元素利用对称性可求的 344324422332144113311221kkkkkkkkkkkk第27页/共106页 二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称

19、为二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一次和二次三角形单元以及一次四边形单元。次和二次三角形单元以及一次四边形单元。三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。一次三角形单元一次三角形单元 第二章详细介绍过这种单元，其

20、形状函数是坐标第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。第28页/共106页1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵面积坐标面积坐标xyA1A2A3P(x,y) 如图所示，在三角形单元如图所示，在三角形单元A A1 1A A2 2A A3 3中，中，有任意一点有任意一点P(x,y)P(x,y)连接连接PAPA1 1、PAPA2 2、PAPA3 3, ,得到

21、三个小三角形：得到三个小三角形：PAPA2 2A A3 3、PAPA3 3A A1 1、PAPA1 1A A2 2, ,记面积比为：记面积比为：321213321132321321AAAAPAAAAAPAAAAAPA称称1 1、2 2、3 3为为P P点的面积坐标点的面积坐标第29页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标面积坐标 由于由于1 1+ +2 2+ +3 3=1=1，因此该三，因此该三个坐标不独立。其负号的规定为个坐标不独立。其负号的规定为：分子分母对应的三角形顶点编：分子分母对应的三角形顶点

22、编号转向相同时为正，反之为负，号转向相同时为正，反之为负，由于三角形由于三角形A A1 1A A2 2A A3 3的顶点编号一的顶点编号一般规定为逆时针，因此，子三角般规定为逆时针，因此，子三角形顶点编号为逆时针时面积坐标形顶点编号为逆时针时面积坐标为正，反之为负。为正，反之为负。xyA1A2A3P(x,y)第30页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标面积坐标xyA1A2A3GA6A5A4三角形中一些特殊点的面积坐标三角形中一些特殊点的面积坐标顶顶点点)1 ,0 ,0()0 , 1 ,0()0 ,0

23、, 1 (321AAA边边中中点点)0 ,21,21()21,0 ,21()21,21,0(654AAA形形心心)31,31,31(G第31页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系 三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（x xi i,y,yi i）, ,则则A A1 1A A2 2A A3 3的面积为的面积为Dyyyxxx2111121321321类似地三个小三角形的面积依次为类似地三个小三角形的面积依次为第32页/共106页

24、三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系3232)1(11121yyyxxx1313)2(11121yyyxxx2121)3(11121yyyxxx第33页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系32132123321xxcyybyxyxaDaycxbyxxxyyyxyxDAAAAPA)()()()(111132322332321321其中其中第34

25、页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系同理同理DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1222131331132DaycxbyxxxyyyxyxD)()()()(1333212112213第35页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关xcyybyxyxa其中其中21321312213xxcyybyx

26、yxakjikjikjkjixxcyybyyxxa,令令i=1,2,3;ii=1,2,3;i、j j、k k按按1,2,31,2,3轮转轮转第36页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系则则3 ,2, 1)(iDaycxbiiii于是有于是有yxcbacbacbaD11333222111321面面积积坐坐标标直直角角坐坐标标第37页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直

27、角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系对于单元的三个角点，应有对于单元的三个角点，应有0011111333222111yxcbacbacbaDA A1 1点点0101122333222111yxcbacbacbaDA A2 2点点第38页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系1001133333222111yxcbacbacbaDA A3 3点点1000100011111321321333222111yyyxxxcbacbacbaD重写上述三式重写上述三式第39页/

28、共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元面积坐标与直角坐标的关系面积坐标与直角坐标的关系所以所以有有13332221113213211111cbacbacbaDyyyxxx于是于是有有3213213211111yyyxxxyx直直角角坐坐标标面面积积坐坐标标第40页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元形状函数形状函数根据形状函数的定义根据形状函数的定义332211321),(iiiigggNi=1i=1时，对于时，对于A A1、A

29、 A2、A A3 3点点 0)1 ,0,0(),(:0)0, 1 ,0(),(:1)0,0, 1(),(:131321131213211211132111gNNAgNNAgNNAi=1,2,3i=1,2,3所以所以13211),(N第41页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元形状函数形状函数同理，同理，i=2i=2、3 3时，对于时，对于A A1、A A2、A A3 3点点 0)1 ,0,0(),(:1)0, 1 ,0(),(:0)0,0, 1(),(:232321232223212221232121gNNA

30、gNNAgNNA1)1 ,0,0(),(:0)0, 1 ,0(),(:0)0,0, 1(),(:333321333233213231332131gNNAgNNAgNNA33213),(N所以所以23212),(N第42页/共106页于是于是 TTvvvNNNvuuuNNNu321321321321单元应变单元应变 332211332211321321000000vuvuvuxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNxvyuyvxu三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元位移函数位移函数第43页/共106页三、二维单元及

31、其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元 eTxyyxB其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB332211321321000000单元应变单元应变 第44页/共106页利用复合函数求偏导数的公式利用复合函数求偏导数的公式)(1332211332211bbbDxxxx三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元)(1332211332211cccDyyyy几何矩阵几何矩阵 第45页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单

32、元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元可得可得)3 ,2, 1( iDcyNDbxNiiii；平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx单元刚度矩阵单元刚度矩阵 BDBtAdVBDBkTTVe几何矩阵几何矩阵 第46页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 一次三角形单一次三角形单元元单元刚阵单元刚阵3332312322211312112)1 (4kkkkkkkkkEtke二次三角形单元二次三角形单元xy123645o 二次三角形单元，如图所示，二次三角形单元，如图所示，单元共六个节点，单元共

33、六个节点，1212个自由度，个自由度，三个角节点，三个边中点。三个角节点，三个边中点。 第47页/共106页三、二维单元及其单刚阵三、二维单元及其单刚阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数136325214232221132132),(iiiiiiiggggggNi=1,2i=1,2，6 6节点面积坐节点面积坐标标)0,21,21(6) ,21,0,21(5) ,21,21,0(4)1 ,0,0(3)0, 1 ,0(2)0,0, 1(1；xy123645o第48页/共106页对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6

34、点点 1)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:1)0,0, 1(:161615151414131312121111gNAgNAgNAgNAgNAgNA三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元形状函数形状函数113211)12(),(N形状函数分量形状函数分量),(3211N第49页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元223212)12(),(N形状函数形状函数形状函数分量形

35、状函数分量),(3212N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0)0,21,21(:1)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:1)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:262625252424232322222121gNAgNAgNAgNAgNAgNA第50页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元333213)12(),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3213N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3

36、 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 1=021211=210210=212101=1000=0100=001363635353434333332323131g),(N:Ag),(N:Ag),(N:Ag),(N:Ag),(N:Ag),(N:A第51页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元3232144),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3214N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0=021210=210211=21

37、2100=1000=0100=001464645454444434342424141g),(N:Ag),(N:Ag),(N:Ag),(N:Ag),(N:Ag),(N:A第52页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元1332154),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3215N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 0)0,21,21(:0)21,0,21(:1)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1

38、(:565655555454535352525151gNAgNAgNAgNAgNAgNA第53页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元2132164),(N形状函数形状函数形状函数分量形状函数分量),(3216N同样，同样，对于对于A A1、A A2、A A3 3、A A4 4、A A5 5、A A6 6点点 1)0,21,21(:0)21,0,21(:0)21,21,0(:0)1 ,0,0(:0)0, 1 ,0(:0)0,0, 1(:666665656464636362626161gNAgNAgNAgNAgN

39、AgNA第54页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元位移函数位移函数6161iiiiiivNvuNu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B单元应变单元应变 eTxyyxBxvyuyvxu第55页/共106页 xNyNxNyNxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNyNyNxNxNxNxNxNxNB665544332211654321654321000000000000三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵几何矩阵)3 ,2, 1()14()14(iDcyNDbxNiiiiii1.1.

40、三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元第56页/共106页3 ,2, 1,6,5 ,4)(4)(4kjiccDyNbbDxNikijiikiji三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵几何矩阵平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元j j、k k根据根据i=4i=4、5 5、6 6依次按依次按1,2,31,2,3轮转轮转第57页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1.1.三角形单元三角形单元 二次三角形单二次三角形单元元注意使用积分公注意使用积分公式式)!2()

41、!)(!)(!(2nmlnmlAdxdySnkmjli dSBDBtdVBDBkSTTVe单元刚度矩阵单元刚度矩阵 第58页/共106页2.2.矩形单元矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵 矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个自由度，单元共自由度，单元共8 8个节点位移。为计算方便，引入个节点位移。为计算方便，引入新的变量：新的变量：,xy123o4令令 )(1)(100yybxxa一次矩形单元一次矩形单元第59页/共106页2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚

42、度阵其中其中 2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa)1 , 1(),(:)1 , 1(),(:)1, 1(),(:)1, 1(),(:44332211AAAAAAAA四个角点新坐标四个角点新坐标 xy123o4第60页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵形状函数形状函数利用形状函数的性质，可得利用形状函数的性质，可得 )4,3 ,2, 1()1)(1(41),(iNiii验证验证 )4,3 ,2, 1,(0)1)(1(41),(1)1)(1(41),(jiNNjijijjiiiiiiii2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元第61

43、页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵位移函数位移函数4141iiiiiivNvuNu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B单元应变单元应变 eTxyyxBxvyuyvxu2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元第62页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵 TevuvuvuvuBBBBB443322114321其中其中 4,3 ,2, 100ixNyNyNxNBiiiii几何矩几何矩阵阵2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元第63页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵几何矩几何矩阵阵2.2.矩

44、形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元 xNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNxNxNxNxNB443322114321432100000000第64页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx 44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkdVBDBkTVe单元刚度矩阵单元刚度矩阵 2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元第65页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵其其中中 )4, 3 ,2, 1,(jidxdyBDB

45、tkAjTiij对于平面应变问题对于平面应变问题22211211)21)(1 (4kkkkEtkij)31 (221)31 ()1 (11jijijijibaabk2.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元第66页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵jijik22112)31 (221)31 ()1 (22jijijijibaabkijijk221212.2.矩形单元矩形单元 一次矩形单元一次矩形单元第67页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元二次矩形单元二次矩形单元xy123o487651111令令 )(

46、1)(100yybxxa2)(2)(224102101412yyyxxxyybxxa第68页/共106页)0, 1(),()1 ,0(),()0, 1(),()1,0(),()1 , 1(),()1 , 1(),()1, 1(),()1, 1(),(87654321AAAAAAAA八个节点新坐标八个节点新坐标 三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元xy123o487651111第69页/共106页形状函数形状函数利用形状函数的性质，可得利用形状函数的性质，可得 )4,3 ,2, 1()1)(1)(1(41),(iNiiiii三、二

47、维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元)8 ,6()1)(1(41),(2iNii)7,5()1)(1(21),(2iNii第70页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元位移函数位移函数8181iiiiiivNvuNu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B单元应变单元应变 eTxyyxBxvyuyvxu第71页/共106页三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元几何矩阵几何矩阵 TevuvuvuBBBB8

48、82211821163 xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxNB882211821821163000000第72页/共106页平面应力问题的应力为平面应力问题的应力为 DTxyyx dVBDBkTVe1616单元刚度矩单元刚度矩阵阵 三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵2.2.矩形单元矩形单元 二次矩形单元二次矩形单元第73页/共106页 工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可以用三维单元来构成其总体结构。本课程介绍三维以用三维单元来构成其总体结构。本课程介绍三维单元及其单刚阵，包括六面体、四面体和曲线等参单元及其单刚阵，

49、包括六面体、四面体和曲线等参单元。单元。四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元 单元如图所示，共单元如图所示，共8 8个节点，个节点，每个节点的位移参数是每个节点的位移参数是u u、v v、w w，在进行单元分析时，同矩形，在进行单元分析时，同矩形单元一样，常用局部坐标单元一样，常用局部坐标 表示，其原点位于六面表示，其原点位于六面体形心，坐标方向同体形心，坐标方向同x x、y y、z z一一致，其相互关系为：致，其相互关系为：,yz123o4x8567第74页/共106页yz123o4x8567四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.

50、1.六面体单元六面体单元令令 )(2)(2)(2000zzcyybxxa2)(2)(2)(510154102101412zzzzzcyyyxxxyybxxa第75页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元形状函数形状函数)8 ,2, 1(8)1)(1)(1(),(iNiiii)1 , 1, 1(),()1 , 1, 1(),()1 , 1 , 1(),()1 , 1 , 1(),()1, 1, 1(),()1, 1, 1(),()1, 1 , 1(),()1, 1 , 1(),(87654321AAAAAAAA八个角点新坐标八个角点新坐标 y

51、z123o4x8567第76页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元位移函数位移函数818181,iiiiiiiiiwNwvNvuNu验证验证 )8 ,2, 1,(0)1)(1)(1(81),(1)1)(1)(1(81),(jiNNjijijijjjiiiiiiiiiii第77页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元应变单元应变 eTzxyzxyzyxBzuxwywzvxvyuzwyvxu其中其中 为几何矩阵为几何矩阵 B第78页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其

52、单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元几何矩几何矩阵阵 TewvuuwvuBBBB8882111821246第79页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元几何矩阵几何矩阵 ) 8 , 2 , 1(00000000036ixNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii第80页/共106页三维问题的应力为三维问题的应力为 DTzxyzxyzyx四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元 )1 ( 2)21 (0)1 ( 2)21 (00)1 ( 2)21 (0001000)1 (1000)1 (

53、)1 (1)21)(1 ()1 (对称ED弹性矩阵弹性矩阵第81页/共106页 dVBDBkTVe2424单元刚度矩单元刚度矩阵阵 四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元888281282221181211kkkkkkkkkke 5762424第82页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元333231222221131211)21)(1 (16kkkkkkkkkEVkij单元刚度矩单元刚度矩阵阵 为为3x33x3的块方阵，的块方阵，i i，j=1j=1，2 2，8 8，且，且 cbaV)31)(31

54、 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22211jijijijijijijijijicbak第83页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元刚度矩单元刚度矩阵阵 )31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22222jijijijijijijijijicabk)31)(31 ()31)(31 (221)31)(31 ()1 (22233jijijijijijijijijiback第84页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元刚度矩单元刚度矩阵

55、阵 )221)(31 (112jijijiabk)221)(31 (113jijijiack)221)(31 (121jijijiabk)221)(31 (123jijijibck第85页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.1.六面体单元六面体单元单元刚度矩单元刚度矩阵阵 )221)(31 (131jijijiack)221)(31 (132jijijibck第86页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.2.四面体单元四面体单元 工程实际中的结构往往比较复杂，仅用形状规则工程实际中的结构往往比较复杂，仅用形状规则的单元难于较好的近似

56、结构的几何边界，下面介绍的单元难于较好的近似结构的几何边界，下面介绍多用于过度单元的多用于过度单元的4 4面体面体4 4节点三维单元。节点三维单元。 1234P 采用体积坐标，单元内任意一采用体积坐标，单元内任意一点点P P的位置由的位置由4 4个比值来确定：个比值来确定： VVVVVVVVPPPP12343412334122341 14321第87页/共106页2.2.四面体单元四面体单元V V是四面体的体积是四面体的体积 432143214321111161zzzzyyyyxxxxV 4324324321111161zzzzyyyyxxxxV 1431431432111161zzzzyyy

57、yxxxxV 2142142143111161zzzzyyyyxxxxV 四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵第88页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.2.四面体单元四面体单元3213213214111161zzzzyyyyxxxxV zdycxbaV11111其中其中 4324324321zzzyyyxxxa 4324321111zzzyyyb第89页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.2.四面体单元四面体单元其中其中 4324321111zzzxxxc 4324321111yyyxxxd 4 , 3 , 2

58、, 16)(izdycxbaiiiii 414141411iiiiiiiiiiizzyyxx第90页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.2.四面体单元四面体单元44332211NNNN形状函数形状函数 从而可以推的位移函数、单元应变、几何矩阵、弹从而可以推的位移函数、单元应变、几何矩阵、弹性矩阵、刚度矩阵。性矩阵、刚度矩阵。 )!3() !)(!)(!)(!(64321knmlknmlVdxdydzknmVl积分中用到积分中用到第91页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵3.3.曲边等参单元曲边等参单元 前面介绍的几种单元几何形状规则

59、，便于进行运前面介绍的几种单元几何形状规则，便于进行运算，但难以适应工程实际的需要，工程实际中零部算，但难以适应工程实际的需要，工程实际中零部件的外形基本上都比较复杂。曲边等参单元可以解件的外形基本上都比较复杂。曲边等参单元可以解决这个矛盾，这种单元可以用曲边单元划分实际结决这个矛盾，这种单元可以用曲边单元划分实际结构，而按直边单元进行计算，中间用坐标变换来转构，而按直边单元进行计算，中间用坐标变换来转换之，把（换之，把（x,y,zx,y,z）转换成（）转换成（ ）。）。 ,坐标变换坐标变换 用平面单元来说明。子单元是任意四边形，母单用平面单元来说明。子单元是任意四边形，母单元是正方形。元是正

60、方形。 第92页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵3.3.曲边等参单元曲边等参单元坐标变换坐标变换 xy123o411112121212112341111第93页/共106页四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵3.3.曲边等参单元曲边等参单元坐标变换坐标变换 用等分四边形的两族直线划分子单元，以子单用等分四边形的两族直线划分子单元，以子单元形心为新坐标（元形心为新坐标（ ）的原点，在这个坐标系）的原点，在这个坐标系中，母单元内任意一点的位移为中，母单元内任意一点的位移为 ,41443322114144332211iiiiiivNvNvNvNvNvu