完整word版线性代数郝志峰习题详解

1、1)DiD22、(1)排列的逆序数为习题一21.5.33abc ab3排列的逆序数为3、含有因子“23的项a11a23 a32 a44（纵标为1324,逆序数为0 01 ) , ai1 a23 a34a42 (纵2乘所有元素为25，经32 D.a31的代数余子式为a11的代数余子式为6.10 3 0 4 3.标为1342，逆序数为04、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用乘第2列加到第5列为行列式不变，经这些处置后行列式为121 1248xx000x00211 x11cC2x1 x10400yyC4C300y01111 y011y4 3D1D2Ix10y 01 y按第一行展

2、开x 1 2 10y0按第一列展开2 x01y2 2x y .8、D1按第n行展开nn1n!.D1 按第ab0L0b0L001 10abL0b1 n 11abL00MMMMMMMM000Lan 1 n 100Lab11nn 1bn.211D3H n 1100M0120M02nD4按第一行展开a0L000a0L00aL0000aL0MMMMn 11 1MMMM00La0000La00L0an 1 n 1100L01111n12211111n an ann a第二个行列式按第一列展开2 a2 a2a12 a4a42 a6ab2b22b1b24b4b26b2 c2 c2c12 c4c42 c6cd2

3、d22d1d24d4d26da对第9、（ 1）左边=则行列式为其结果为0，9999n ai列分开三项（i=2,3,4)再利用其中两列元素相同、成比例,0，等于右边.（2）左边第一行、第二行对调a2 a3 abb2b3c2 c3 cdd2d3右边.（3）用递推法去证.从第二行起 r 1 xr 1,2,L,n1得:ao1Dnna0Xnaoxa0Xa1Mn 3a1X2 Lan 200M1an2Xan按rn展开aoXna1 Xan 2Xan 1-110、(1)n 1aoxn 2aiXan 2Xan用数学归纳法去证2 时，D2k 1时,k 时，DkDkabbb Dkaba2na0Xabb2na1X3a_

4、a bb3an 2X an 1 .aba b10aba bbl Db , kabDkka_a bbkab1 bk1a bbk1a b由数学归纳法可知，对任何正整数 n ,Dn用数学归纳法去证2 时，D2X1X2X1 ,k 1 时，Dk 1XjX2X1X3X1XkX1X2 X2X1Mk 2X2X2X1X3 X3X1Mk 2X3X3X1Xk XkX1Mk 2XkXkX111X2XiX3Xi LXkXiX22X2Mk 2xX32X3Mk 2X2Xk2XkMkXkX2X3L Xk XX Xj .1 j i k由数学归纳法可知，对任何正整数n,11、D512、 （1）5600 6 05 60566005

5、61 501556015xJ有等式成立2211605 01 605601521 319n行、第1按第1行至第解一,n+119301918055701235.列至第n列展开得证.ababONONab2 2 2aba bbabaNONOba2n 2 2n 2ba行、第行展开,得2n4 2nb2a2 b2 n解二，按最简一行、最后一行展开得b2b2n1 1 11 0 0c2 c1按第1行展开1 1a b cab ac aa b c aC3C|cbbc ca abbc c a b b a c13、Daa b c11001a2b2DiC2C3D23abccaabab按第1行展开bca3a2 cbb23a

6、bc按第1行展开2abcac2.2a babc12abc ab abaa2c abc2abca2bab2ab a cab3abcabb ca bab2c2 c3c2c1c3C c32 b2ab3abcababb2 c2ab ab a ba2b ab a22b b3 abcab bcb211abcc2 c1100ab2.22abcc3a b c C1aba2.2a b2c a ab cbcca3abcbcc ab3abcbc a bcD3按第1行展开1b2c2c 2abc1 b2c2 abacb c12abb2bcb c2abb2bcb2bb cac cabc abc .baaacaca2 ca

7、b ac b2c bc2abacX1D1Da,X2D2Db,X3D3Dc.2 axbxc，则(1),(1)得 2b 10,b5 ,14、设f x4a2bc375-这时，4a C 4,(5) 得 3a 3, a 1，故 c 3，即 f xx2 5x 3.15、 D按第三行展开1-1-4-4 = 1-2-51-当1 =0,2=1,3=5时，Ax 0有非零解.习题二1、( 1)a+b 3 1-3 2 3-2+2-10 1-5 2 4-323-201-122A-B-312-1324-2 0-3 2 3-2 03A-2B3-2-131 -2(2) Z B A= -42-2(3) 2Y 3A 3B,Y=|

8、 A B-567211-321 -1561226 12 124、 AB23 22、A 3B 2C=0,即：左边=x 0uv32x3u603v 4x 3u 63v 400320 y83xy0242xy9 2y24 2x9 y00，这时,x 12,y9,u6,V43。123473250961503、（ 1）AB 312582947(2)3 AB87141 .23169294787141105 122031021320105 1220 6ABC031100200230324 24a11x12a11x1a12x22a22x2a11a12a13x1a11x1a12 x2a13x3x1a12a22a23x

9、2a12x1a22 x2a23 x3x2a13a23a33x3a13x1a23 x2a33x3x3a13x3x1a12x1a22 x2 a23x3 x2a13x1a23x2a33x3 x32a33 x3 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23 x2x3 .5、 ABC x1 x2 x36、从变量 x1、 x2、 x3 到变量 z1、7、各工厂的总收入和总利润为a11a21123320611z2、z的线性变换为10101123 1 .03111114451020411605561510144515242084.51.515256 .812611941，由AZB得12a11a1243，即21

10、a21a2283a12利用a21a22利用a11 2a212a11 a21a11 2a21 a12 2a222a11 a21 2a12 a22a12 2 a22 3a122 a12 a22 31,a22 3 ，这时 Z9、a11 a12a21 a2201由 AB BA 得0 0 a21 a22a21 a 22 0 0a11 a12 a11 a12 0 1a210a2200 a110 a21ab，故 a210,a11a22 ，这时 B，其中 a,b 为常数 .0a10、（1） A B A BA2 BA AB B2 ,故 AB BA;211、 2A B 2 004 5 0 10 110 6 0 0

11、 112） A B 2A2AB BA B2A2 2AB B2 ，故 AB BA.12 3 7 8 95430 2 1 ，00112378972864AB 00100111140099 .6612、（1）根据对称矩阵的性质：AT TATATAT A ，根据反对称矩阵的性质：A ATATAT TAT；根据可逆对称矩阵的性质：A1TAT13、（1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：AB BA T AB TBA T BT AT AT BTBAA B AB BA ；2）先证必要性，若AB 是反对称矩阵，则ABBA； AB 为反对称矩阵， A 为反对称矩阵， B 为对称矩阵，则AB T BT AT B A

12、BA AB ，即 A, B 可交换 .再证充分性，若ABBA，则AB为反对称矩阵。设 A为反对称矩阵,B 为对称矩阵，则AB T BT ATBAAB ，即 AB 为反对称矩阵 .14、M T NMMTNTM T NM .15、（1）AT3B2）ABTTBT AT451278.1816、 AA2AA17、用数学归纳法去证。2 时，A2AA当 n k 1 时，Ak 1成立 .则 n k 时， AkAk1A011故 n 为正整数时，An1018、用归纳法去证.当A3AAA19、20、21AA1时,则当nk时,Ak1Ak故n为正整数时,而 A100A98A2AkAk 1AAk1AnAnA96aat50

13、 1133112311A2Ak2A A2A22 A2A2等式成立;Ak1A3A249 A2 E50 A249E495050|a|b|，而 |ab|A at0, b|0 ,则A,B均可逆QA，而 lAa11a12321a22931153219 3215321311 312a123223113213223311932123115321I，321 2 ；331223129322532233122312932253223123, 322角，而lA39，故922、 A15183，A55252122558A1023、(1),其中A,A23，而 A11A10A224123225、A0A1212002500a

14、1，其中Al0038a1an，而A11A1000L01 an0A211a100L00A10MMMMM000L1an 101231001231001232210102 r32131025210r20253430010263010261nA|E12311anA1r223r22r331r3r2（矩阵行阶梯形）12（矩阵行最简137213721372%012326、 Ar2 2r1L 3r1021723233r210196080%r1227、 AC4C4C414c49C19c98C22049 3,这是矩阵A的标准形D.r2I3311r2I2r2；这是矩阵A的标准型28、在秩为的矩阵中,1阶子式、有r阶

15、子式，如有等于0的一阶子式、二阶子式29、 （1）r2r23r1r3 r1r1001其中，故1032r1r423073258218310322 901213r200007472 2103635r3 3r1r4 2r1024200121710320彳42630010201071，故R B3.122k3k33k31 k30、 Ar2r1r3k13 1 k21时，A2时，R当 k=1,k= 2 时,31、先证必要性再证充分性等价标准形，F1、2、10x3k3,R AEr01,2,33.即初等变换后3 3,A化为矩阵B，而初等变换不改变矩阵的秩，故F,B2,1由矩阵的等价标准形理论知,F ,由等价关系

16、的传递性知5 2, 3,11,13,4 .2 1,1,11, 4,32,1, 35,5,4m n矩阵A与B有A B.，则1122,2,5 .21111111112r2r1r3r10021r2r3再审c01110220/ 2002110111r1r22r3这时120312031204、BA|47110r2 4r1r3 21-10112r201123a401a201a00132r12r2r3S当R A 3时a1可由1,2 ,3线性表示.01这时，F1 2r3r2 r3阵行最简形，于是说明:5、 （1）记这时，12 G，F为矩阵行阶梯形,0G为矩这一题可用克莱姆法则求解A 1,从而IA2,3,B1

17、, 2,，因为向量组B不能由向量组A线性表示,所以r3这时6、（ 1）(2)(3)C2C1C3C1按第一行展开20,a 1.因为I 1因为I 1因为I 12r,r3r1r2r3r3r322r23j 3所以3线性相关.1212c100231C227a oc41147a o0 ,所以33线性相关2T2120 255，所以3线性(4)因为1,2，3是四维三个向量，所以1，2，3线性无关.0 10 2 L 1i 0 i 1 L 0 n，即 可由1, 2,L , n线性表示。若1,i则(5)因为2, 3是二维三个向量，所以2, 3线性相关.7、因为1432211432a10a 85r32r1231011

18、71 ,37 a 855 7a 10, a1，所以2 0,0,0 ,1,2,3，则3线性相关，但1不能由3线性表示.(2)12,，则存在k11,k21，使k1k2因为k1k2k1k22 k b1k2b20，但1, 2线性无关,b1, b2线性无关.2,20 b 0b2L ks sL ks s10、用反证法，设则a1bl1a2aibi i 1,2,L ,s，11、先证必要性。设21,1 ,b0,但这时线性相关,0.1 , 2,L ,0,4 ,b21 12,3则只有k1k20b ,b2线性无关,由相关定义知,假设I s，则可由有两种不同表示法,b22 L as bs2线性相关.有一组不全为零的数k

19、1 , k2 , L,ks,l使得则k1,k2,L ,ks不全为这与题设矛盾，由上式得2丄，a1 1最后的结果说明表示式是唯一的s线性表示.a2 2 Lassb22 Lbs1 ,2 ,L , s性无关，1, 2,L , n线性无关， 为任意n维向量，若2,L , n,线性相关，因向量的个数大于向量的维数，而i i 1,2,L,n，2,L , n线性无关,L , n线性表示(例9已证).再证充分性。任一向量 可由1, 2,L , n线性表示，则n维单位向量1, 2,L , n也可由1, 2,L , n线性表示,而向量组2,L , n与向量组1, 2,L , n等价，因为性无关，所以1 , 2 ,

20、Ln也线性无关12、 (1)因为 10,0,，所以3极大无关组为2，亦或2.131410211310310263241311000273314410263r2r41000233711440362r2r41%441%10B为矩阵A的行阶梯形,(1)由矩阵B可见,(2) R(3)由矩阵34F为矩阵2,3r2722 r21133r2朵1000010000101230A的行最简形3线性无关，这是所求的极大无关组;F 可见，记 Ff1,f2,f3,f4 ，则 f4 f13f3，即14、( 1 )两个向量1, 3不成比例，故3线性无关;11240312112021562 1321r4 4r11000031

21、21004殳10000111100221包含15、先从而32423的极大无关组为A,B等这说明向量组再证秩相B可由向量组 等。则r 1 ,2 ,L , m16、由17叨/ 23 518、（ 1）100001002、10021m 11m 11m 1A线性表示,由向量组2作为列构成矩阵A.2、 2232arccoSjp2102r34再3/ 2故向量组A,B13再-110000100A,B等价. ，且，故两个向量组可以互相线性表示,aiTcos.3738101021103 2r12,1000因而向量组等价01002 23520010561511104102，则12232 52, II IIJ1222

22、空 3, II I,2小2738 ；2，即19、因为 1,所以2已成正交，故1, b2再单位化:20、取 b1ba再单位化:e1b3b2，则b2斗b1,b121、(1) A不是正交矩阵,-bl3,b2 b2b2,b2e2b2I|b2因第一行元素平方之和(2)B是正交矩阵，因第i行i 1,2,3i 1,2,3; j 1,2,3; i j对应元素之和等于零.22、先证M为对称矩阵:Mt E 2xxt TEt 2再证M为正交矩阵:T2TM M M E 2xxE 2xxT 2xxT23、因A,B都是n阶正交矩阵，故AtA而 abt ab btatab bt atab3176ea123232baba I

23、12元素平方之和等于xtE 2xxT4xxTxxTe,btbTxt E 2xxtM1，第i行、第j行E E 2xxT2xxT E 2xxTE 4xxT 4xxT EB BTEB BtB E，故A,B为正交矩阵.习题四1、r2r32r12r11 2再-2X43，则2610X1，得同解方程组1 -2,1,0,0 T2、(1)通解为X1X24,X2,29,X3r233r15r12x2X3 01,0,0,1k 4,r1 r3r2 3r3X4X1X4,X23X4,X34X4基础解系为4,9,4,3 T2r3再2 / 再/ 4r2，取9,4,3X2X4X3-20故基础解系为,(k为任意实数)11 A311

24、1135289131723r4131r110001224577141448r3r4r22r210001200570014005%00r13X32X3X4X32x4X43 72,2TX k1 1 k2 2 k1,k2不同时为 0, XTX1,X2,X3,X4X1X23-272,1,0,21, 2,0,113、5x1XiX1 X2 2X3 x? 3x3 0X300，第一个方程与第二个方程对调，2 5ri乘第一个方程,得:(2)若已知Ax0的一个基础解系为1 , 2,L , n r，则Ax 0的通解形式为r3ri0,rn1rnr2LT按第n行展开按第1行展开-1000M0-1010M0010M001

25、 -1000M1000M00-1000M0000M10000M010，故 Ax0无非011L111n111L111101L111n101L111110L111n110L111MMMMMMICC2 LCnMMMMMM111L011n111L011111L101n111L101111L110n111L1101时,此方程组有非零解4、 D零解.5、( 1) Ax 0总有解(因R A).Ax0只有零解，就没有基础解系；Ax0有非零解，则存在基础解系;基础解系不唯一，基础解系S中含有S n k A n 个解向量.xk1 1k22 L kn r nr ,其中 k1 , k2 丄,knr为任意实数.1 、这

26、因为:ki由于2、3是Ax31k23线性无关，故Ax 0有非零解,0的基础解系,2k32kik20,k2k3n，则 IA12 ,23 ,31 也疋 Ax0，即 卩 Kk?1 k?ks20,k3ki0 ,从而得0 ,这是正确的结论.kik20的基础解系,k3k130 ,k30.6、先证必要性.若三个向量共面,aa12a13a21a22a23a31a32a330，知齐次线由共面的充要条件为IA性方程有非零解.再证充分性.若齐次线性方程组有非零解，则IA 0，即三个向量共面.7、设L , r为Ax 0的基础解系，由两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等,故等价的线性无关向量组可以为2,L , r，

27、贝U i i 1,2,L ,r 可由 j j 1,2,L ,r 线性表示，从而i也是Ax 0的解.又1,2,L , r线性无关，Ax0的任一解 可由1 , 2,L ,r线性表示，从而可由1 , 2 ,L ,r线性表示，这就说明L, r也是一个基础解系.2,L , n r为Ax 0的基础解系，又设1, 2,L , nr 为 Ax0的线性无关解，由第7题可知，只要证明这两个解向量等价即可因1 , 2 ,L , nr为基础解系，故i i 1,2,L ,n r 可由nr线性表示，即1 a111 a12 2L L L LLa1,n ran r,11 anr,2 2anr,n r nr因为1, 2,L ,

28、 nr线性无关，所以a11Ma1, nrM0，则 i i 1,2,L , nr 可由an r,1an r ,n r1, 2,L , nr线性表示，因而这两个向量组等价0n00a11R Ma1nM,Ra11Mam1amnam1euv1uuva11 , ai2 ,L , a1 n ,L , m10、记 Bf1 , f2,L , fnAx 0的解反之，若fiXi11、将通解改写为X2X3X4a1nM的amnenam1 , am2 ,L由AB 0anXa12X2La1 nXnL LL Lam1 X1am2X2Lamn Xex3X2Lei Xn组与方程组秩相等，则,amn1,2,L , n 是 Ax2k

29、1 2k23k1 4k2k1k2知数X3,X4，且对应的齐次线性方程组为式为其通解.12、因为4,n所以uve,e2,L，編可13 r2r322X20,2t2t13、线性表示.f1 , f2,L , fn0的解，则Af2X3 2X43x3 4x4X3X4X1X2Af 0 ,故 fi i 1,2,L ,nA f1, f2,L ,fn 0 AB，由此可知，所求方程组有两个自由未0.，要使RX 0X3X41,1,0T, 2因IA 0，且而可知R AX3X40, 1,0,1 T2X33x3A中某元素aki的代数余子式n 1 ，贝U Ax 0基础2X4，即4x4X1 2X3 2X40X2 3x3 4x4

30、0，所给表达A施以初等行变换，化为行阶梯形矩阵,Akl，则必有X1X21t2r1 001，此时与Ax0同解方程组故基础解系为A存在非零的n 1阶子式，从系中所含解向量的个数s为1101001X| 3x2 X3 x42131123112x1 2x2 X432 2 0 13201,即D53, D12x1 3x2 x3 3x462313631-3x, 4x2 X3 2x403412041214、(1)X1DD2,X2D21,X3D2D4,X4D43.12111321131223012231220Q3261353, D32363212, D42316301234023410D2159.5X4x2 7

31、3 1617323 52 25cC417326 r 亍 094125 234r3 “19 417204520574192A I b684005r2再f31 72冋解方程组为X4X21x39x39x12989则 X1,X2,X3,X4 丁1190 1 1T,0 ,9ki1 19,1,T討k2(40,29T（其中1210 12 221 215、x a I b121r2 r3 r r30 12 231 1221 122k1,k2为任意常数）.1r12当2. V21,1111111 0 01 1 b a c a16、Dabcc2ca b ac a按第一行展开 b a c a2 ab22 cGec2 . 2 2 2 2abacaT，其中k为任意常数.k2,1,1,0T2,1TX,X2,X3r2r31,2时,111方程组有唯一解所以方程组