北京市朝阳区06-07学年高三第一次统一考试(数学文)

1、2007.42006 2007学年度北京市朝阳区高三第一次统一考试数学试题（文科）（考试时间120分钟，满分150分）第I卷（选择题，共40 分）1 .设集合U = R,集合MA. M 一 N 二 M2=x| x 0, N = x | x冰，则下列关系中正确的是B. M u N 9 MC. (GM)N 二：D. QN) - M N2. 在 ABC 中，sin 2A = sin 2B 是 A = B 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件0、3. 已知a、b是两条不重合的直线，a B是两个不重合的平面，给出四个命题: a / b, b / a,贝U

2、a / a; a、 bua , a / B, b/ B,贝 U all 3；a成60 勺角; a与a成30。的角，a丄b，则b与 a丄a, bl a，贝U a丄b.其中正确命题的个数是C.4已知数列an的前n项为Si, S3 = 3 ,S6 = 27,C.贝毗等比数列的公比丄25.从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A . 210 种B . 186 种C. 180 种q等于丄23所学校支教，每校人要求这（90种6.已知函数f (x) - - - 4x-2,0，则f（X）的反函数是A. f (x) - - 4 - x2X 0,2 B.f

3、 J( x) - - 4 -x2x _2,0C. f (x) = . 4 - x2 x0,2x _2,07.已知椭圆的焦点是 F1、F2, P是椭圆上的一个动点，过点 F2向/ F1PF2的外角平分线作 垂线，垂足为M ,则点M的轨迹是（）A .圆B .椭圆C.直线D .双曲线的一支&已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m-n个；若存储器中原有数据为 m个,则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m+ n个.现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都

4、存入个数相同且个数不小于2的数据；第二次运算：从 A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从 C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器中的数据个数是()A . 8B . 7C. 6D. 5第H卷(非选择题，共110分)二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上9.某市三所学校共有高中学生8000人，其中 A校2520人；B校3280人；C校2200人.现在采用分层抽样方法从所有学生中抽取200人进行心理测试上述三所学校分别应该抽取人.10

5、若(1 ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是.11. 圆x2 + y2 + 4x 2y + 4 = 0上的点到直线x y 1 = 0的最大距离与最小距离的差为 .12. 已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是.5，切点到二面角棱的距离是1,则球的表面积是 ，球的体积是 .13. 已知向量 a =(2,3), |b|=2J3，且 a / b，则 |a| = , b 的坐标是.x+1| (xc1),14. 已知函数 f(X)=且不等式f(X)K1的解集.j-x+3 (xK1),三、 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

6、15. (本小题满分13分)已知向量 a = (cos x, sin x), b = (-cosx,cosx)，函数 f (x) = 2a b 1.(I )求函数f(x)的最小正周期；(n )当x 0,2二时，求f(x)的单调减区间.16. (本小题满分13分)甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4,每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出.(I)求甲队以二比一获胜的概率；(n)求乙队获胜的概率；17. (本小题满分13分)如图，棱长为1的正四面体 ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，0是点A 在平面BCD内的射

7、影.(I )求直线EF与直线BC所成角的大小;(n)求点0到平面ACD的距离；(川)求二面角E BE F的大小.18. (本小题满分13分)已知函数f (x)二x3 ax2 bx - c在x = 1处有极值，f (x)在x = 2处的切线I不JT屯F ?过第四象限且倾斜角为-，坐标原点到切线I的距离为二.42(I)求a、b、c的值;3(n)求函数-f(x)在区间-q上的最大值和最小值19. (本小题满分14分)S111已知数列an的前n项为和Sn,点(n,)在直线y x上.数列bn满足n22153.bn 2 -2bn 1 bn =0（n N*），且b3 -11，前 9 项和为(I )求数列an

8、、bn的通项公式;（n）设 Cn -（2an 11）（2bn -1），数列Cn的前n和为kTn,求使不等式Tn对一57切n N都成立的最大正整数 k的值.20. (本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点 O,右焦点为F (c, 0) , P是双曲线右支上一点,的面积为2(I )若点P的坐标为(2,、3)，求此双曲线的离心率；. 6 2 (n )若OF FP =(1)c2，当|OP |取得最小值时，求此双曲线的方程I )因为 f (x) =2a b 1参考答案、选择题1.D 2.B 3.D4.A 5. C 6.B7. A8.、填空题32 :9.63, 82,5510.211 . 2 12.16

9、n313.3,(-4,-6)或(4, 6)14.：,-2 L.0,2三、解答题15.解：(D= 2(cosx,sin x) (-cosx,cosx) 12=2(-cos x sin xcosx) 12=1 - 2 cos x 2sin xcosx =sin 2xcos2x= 2 sin(2x)4所以f(x)的最小正周期是 T = :.二二3 二(n )依条件得2k2x2k(k三Z). 9分2 423 応7 jt解得 kx _ k(k Z). 分8 83 -7二 11二15二又 x 0,2 二,所以 x ,x.888 83 - 7 i11 - 15即当x0,2二时，f(x)的单调减区间是一，,.

10、 13分888816解：(I )甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为P1 =C0.0.：0.6=0.2 8j86 分(n)乙队以2： 0获胜的概率为 P2、0.4 0.4 = 0.16；乙队以2: 1获胜的概率为P2“ = C；0.4 0.6 0.4 =0.1922 1乙队获胜的概率为P2 -0.4C2 0.4 0.6 0.4 = 0.16 0.192=0.352 8分(川)若三场两胜，则甲获胜的概率巳=0.62 +C；況0.6x0.4x0.6=0.36+0.288 = 0.648或 P3 =1 -P2 =1 -0.352 = 0.648;若五场三胜，则甲获胜的概率P/

11、=0.63 C； 0.62 0.4 0.6 C40.62 0.42 0.6= 0.2160.25920.20736 =0.68256. P3 F3 ,采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大 分317.方法一：(I )因为E、F分别是棱 AD、CD的中点， 所以 EF / AC.所以/ BCA是EF与BC所成角2分正四面体 ABCD , ABC为正三角形，所以 / BCA = 60 .3分即EF与BC所成角的大小是60(n )解法1:如图，连结AO , AF, 因为F是CD的中点，且厶ACD , BCD均为正三角形，所以BF丄CD , AF丄CD.因为 BFn AF = F ,所以CD丄面AFB.

12、4分因为CD二在ACD ,所以面AFB丄面ACD. 5分因为ABCD是正四面体，且 0是点A在面BCD内的射影,所以点0必在正三角形 BCD的中线BF上，在面ABF中，过 0做0G丄AF，垂足为 G,所以0G丄在ACD.即0G的长为点0到面ACD的距离.因为正四面体ABCD的棱长为1,在厶ABF中，容易求出 AF = BF=0F , A0 =6因为 A0F 0GF ,故由相似比易求出0G =.69所以点0到平面ACD的距离是邑9 解法2:如图，连结A0 , C0,所以点0到平面ACD的距离就是三棱锥0 ACD底面ACD上的咼h.D0 ,J3与解法1同理容易求出 0F=, A0 =6所以VA C

13、0D =丄空J332仝1H 636因为V 0 ACD = Va C0D ,所以2 = V。ACD = 1 h (- 1).636322分（川）连结0D，设0D的中点为 K，连EK , 贝U EK / A0.因为A0丄面BCD, 所以EK丄面BCD. 在平在BCD内过点K作KN / CD,KN 交BF 于M,交BC于N,因为 所以 连结 所以BF 丄 CD, KN 丄 BF. EM,EM 丄 BF.D所以/ NME是所求二面角的平面角10分因为EK =1CH =21 11MK = ED = AD =-2 44所以 tan. EMK =-FK =2-6 .MK 3所以 tan. NME =tan(

14、二 -.EMK) - - - .3所以所求二面角的大小为丄2恵二-arcta n 3方法二：如图，以点 A在面BCD的射影0为坐标原点,有向直线 OA为z轴，有向直线 BF为y轴，x轴为过点O与DC平行的有向直线. 因为正四面体ABCD的棱长为1, 所以可以求出各点的坐标依次为：(0,0,0), a（0,0，二），B（0,-,0）3丄仝。）2 61罷J6E(,，-4 126F( 0,0)C(I)因为EF1 57,得 kw 所以 K181420.解：(I )设所求的双曲线的方程为2x2a2与=1(a - 0,b 0),b2由 1|OF |. 3 - ,2 1分2 22222八.b c - a 2 -a . 2分由点P(2, ,3)在双曲线上，.:一 3 2 =1,解得a2 ,5分a 2 a 离心率e2. 6分a2 2(n )设所求的双曲线的方程为xy2 -2 =1(a0,b 0), P(xi, yi)，ab则 FP =(Xi -c, yi). 分 7 OFP 的面积为- |OF |y