数字信号处理程佩青第一章离散时间信号与系统新汇编

1、2返回本章3 x nT简化 x nn是整数，不是整数，不是整数时没有是整数时没有定义，不能认定义，不能认为零。为零。离散时间信号在离散时间信号在nT点点上的值，也就是序列的上的值，也就是序列的第第n个采样。个采样。4x nT序列的表示方式序列的表示方式:为了方便为了方便 x n公式表示法公式表示法：图形表示法图形表示法：离散时间信号的图形表示返回本节5主要包括主要包括卷积和卷积和移位移位翻褶翻褶和和积积累加累加差分差分6移位移位：3m 1( )()y nx nm2( )()ynx nm整个序列移动)(nx7翻褶翻褶：设某一个序列 x(n) ，则x (-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)

2、加以翻褶。8和：z(n)=x(n)+y(n)注意注意：时刻对齐：时刻对齐9累加：累加：设某个序列x(n)，则序列x(n)的累加序列y(n)定义为： nky nx k含义：含义：y(n)在n0上的值等于序列x(n)在n0处的值以及n0 以前的所有n上的值之和。 11220nx n1n 1n 例：例：10 111220knky n 1n 1n 累加累加累加后累加后的图形的图形累加累加11差分：差分：设某个序列x(n)，则序列x(n)的差分定义为： 1x nx nx n 1x nx nx n前向差分前向差分：后向差分后向差分： 1x nx n 1x nx n 11220nx n1n 1n 例：例：1

3、2 10111 11 11 12 22 24 2nnnx nx nx n 10111 11 11 12 22 22 2nnnx nx nx n 1n1n 1n 2n2n 2n 前向差分前向差分后向差分后向差分13前向差前向差分图形分图形后向差后向差分图形分图形14卷积和：卷积和：设两个序列为x(n)，h(n)，则序列x(n)和序列h(n) 的卷积和定义为： my nx m h nmx nh n卷积和是求离散线性时不变系统输出响应卷积和是求离散线性时不变系统输出响应(零状态响应零状态响应)的的主要方法。主要方法。卷积和的运算在图形表示上可分为四步：卷积和的运算在图形表示上可分为四步： 翻褶、移位

4、、相乘、相加翻褶、移位、相乘、相加15翻褶翻褶移位移位相乘相乘相加相加先在原变量坐标先在原变量坐标m上作出上作出x(m)和和h(m)，将，将h(m)以以m=0为对称轴翻褶成为对称轴翻褶成h(-m)。将将h(-m)移位移位n得到得到h(n-m)；n为为正正整数时，整数时，右右移移n位；位；n为为负负整数时，整数时，左左移移n位。位。将将x(m)和和h(n-m)的相同的相同m值的对应点值相乘。值的对应点值相乘。把以上所有相同点的乘积值叠加起来，得到把以上所有相同点的乘积值叠加起来，得到y(n)。16第一步第一步翻褶翻褶例：例： 10h n 120nx nn其他 13nn其他 02n17第二步第二步

5、移位移位第三、四步第三、四步相乘、相加相乘、相加18 31my nx nh nx m h n m一般对两个序列的卷积进行求解时，往往需要分成几个一般对两个序列的卷积进行求解时，往往需要分成几个区域来考虑。仍依上面的例子为例来进行一下说明：区域来考虑。仍依上面的例子为例来进行一下说明：！之所以要分段求解，！之所以要分段求解，是因为不同时间段上是因为不同时间段上求和范围不同求和范围不同19分段考虑：分段考虑：（1）n1时，时， x(m)和和h(n-m)相乘时处处为零，故相乘时处处为零，故 y(n)=0 n1（2） 时，时，x(m)和和h(n-m)有交叠相乘的非零项是有交叠相乘的非零项是从从m=1到

6、到m=n,12n 1111 1122 2nnmmy nx m h n mmn 12n20（3） 时，时， x(m)和和h(n-m)有交叠相乘的非零项的有交叠相乘的非零项的m下限下限的范围是变化的，的范围是变化的，n=3、4、5分别对应分别对应m的下限为的下限为m1、2、3；m的上限为的上限为3。 325442myx mhm 353532yxh（4） 时，时， x(m)和和h(n-m)没有非零的交叠部分，故没有非零的交叠部分，故 0y n 6n 35n 31333myx m hm21 y nx nh nh nx n卷积和与两序列的先后顺序无关。返回本节22单位抽样序列单位抽样序列101( )()

7、000nnknnknnk( )()kp nnk如何表达注意与连续时间信号与系统中单位冲激函数 的区别 t23单位冲激信号（单位冲激信号（Drac 函数）函数）)()()(xdtttx( )1( )0,0t dttt24( )()kp nnk脉冲串： 或写为 = , 1 , 1 , 1 , 将 用 来替换snTn( )p n冲激串：()( )sx nTx n离散序列( )()skp ttkT()( ) ( )( )()ssnx nTx t p tx ttnT25单位抽样序列移位加权和的形式单位抽样序列移位加权和的形式。 0 x nx mn m用单位抽样序列表示任意序列：用单位抽样序列表示任意序列

8、： mx nx mnm两种表述两种表述方式方式 和和 的卷积和。的卷积和。xnnmnmn26单位阶跃序列单位阶跃序列 10u n0n 0n 注意与连续时注意与连续时间信号与系统间信号与系统中单位冲激函中单位冲激函数数 的区别的区别 u t27单位抽样序列与单位阶跃序列之间的关系：单位抽样序列与单位阶跃序列之间的关系： 1nu nu n 0mmku nu mn mn mk后向差分后向差分累加累加令令n-m=k28矩形序列矩形序列 10NRn01nNn其他 29矩形序列与单位抽样序列及单位阶跃序列之间的关系：矩形序列与单位抽样序列及单位阶跃序列之间的关系： NRnu nu nN 10NNNmmRn

9、Rmn mn m30实指数序列实指数序列 nx na u n1a a实数序列收敛1a 序列发散3101020304050607000.20.40.60.8101020304050607000.20.40.60.81指数信号指数信号 ( ),( )x tx n32复指数序列复指数序列 0ajnx ne 0jnx ne0或或是数字域频率是数字域频率33正弦型序列正弦型序列 0cosx nAnA是幅度是幅度0是数字域频率是数字域频率是起始相位是起始相位返回本节3400( )sin(2)sin()x tAf tAt 正弦型序列正弦型序列( : Hz; 0 : rad/s; : 抽样频率, Hz )0f

10、sf( )( )|sin(2/)st nTsx nx tAfnf定义：002/()sffrad0( )sin()x nAn数字频率数字频率35010203040506070-1-0.500.51010203040506070-1-0.500.51 ( )x t( )x n36 如果对于所有如果对于所有n，存在一个最小的正整数，存在一个最小的正整数N，满足：，满足： x nx nN则称则称x(n)为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N。u序列的周期性序列的周期性下面讨论正弦型序列的周期性：下面讨论正弦型序列的周期性：37 0sinx nAn000sinsinx nNAnNAnN如果如果02N

11、k且且正弦序列为周期性序列，其周期满足正弦序列为周期性序列，其周期满足k为整数时为整数时xnxnN02 kNN，k为整数。为整数。3802分情况讨论：分情况讨论：（1）当）当 为整数时，则当为整数时，则当 时时 ， 为最小正整数，为最小正整数，正弦序列的周期为正弦序列的周期为 。0202QP，为最小正整数，为最小正整数1k 02（2）当）当 不是整数，而是有理数时，设不是整数，而是有理数时，设 ，其中，其中Q、P为互素的整数，要使得为互素的整数，要使得 是最小正整数，只有使是最小正整数，只有使QNkPkPNQ， 即时（3）当当 为无理数时，任何为无理数时，任何k均不能使均不能使N 为正整数，正

12、弦序列不为正整数，正弦序列不是周期的。是周期的。02N02390( )sin()x nn02/02/200 200N )1.0sin()(nnx02/20 无周期20N( )sin(0.01)x nn40u序列的能量序列的能量 定义：序列的能量是序列各抽样值的平方和。定义：序列的能量是序列各抽样值的平方和。 2nEx n返回本节41返回本章42 y nT x n离散时间系统：离散时间系统：离散系统在数学上定义为将输入序列离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为：

13、换成另一个序列的系统，记为：43连续系统的描述：连续系统的描述：微分方程微分方程, 卷积，转移函数（卷积，转移函数（Laplace变换）变换）, 频率响应（频率响应（Fourier 变换）变换）离散系统的描述：离散系统的描述：差分方程差分方程, 卷积，转移函数（卷积，转移函数（Z 变换）变换）, 频率响应（频率响应（DTFT, DFT）本课程讨论的本课程讨论的“线性移不变系统线性移不变系统”是离散时间系统。是离散时间系统。返回本节44线性移不变系统：线性移不变系统：是指具有线性和移不变特性的是指具有线性和移不变特性的系统。系统。这里包含了两个性质：可加性和比例性（齐次性）这里包含了两个性质：可

14、加性和比例性（齐次性）1122( )( )( )( )T x ny nT x ny n1122 ( )( )( )( )T x ny nT x ny n nynynxnxT2121)()(45含意：该系统满足迭加原理46)()()()(knyknxTnynxT47离散系统的移不变特性离散系统的移不变特性含意：含意： 移不变性质保证对给定的输入，系移不变性质保证对给定的输入，系 统的输出和输入施加的时间无关。统的输出和输入施加的时间无关。48线性移不变系统模型线性移不变系统模型返回本节49线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表示线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表示（1 1）单位抽样响应：）单

15、位抽样响应：是指输入为单位抽样序列时，是指输入为单位抽样序列时，系统的输出。一般用系统的输出。一般用h(n)来表示。即：来表示。即： h nTn知道知道h(n)，就可以求出系统的输出。，就可以求出系统的输出。50（2）线性移不变系统的表示：）线性移不变系统的表示：设输入为设输入为x(n),输出为输出为y(n),系统的输出系统的输出y(n)可以表示成输可以表示成输入入x(n)与单位抽样响应与单位抽样响应h(n)的卷积和的形式。即：的卷积和的形式。即： y nx nh n下面我们来推导一下这个公式：下面我们来推导一下这个公式：非常重要的非常重要的公式公式51我们知道序列我们知道序列x(n)可以用单

16、位抽样序列来表示：可以用单位抽样序列来表示： mx nx mnm系统的输出系统的输出y(n) 为：为： mmmy nTx mnmx m Tnmx m h nmx nh n叠加性叠加性 线性线性移不变性移不变性返回本节52ynxnhnhnxn 12121221x nhnhnx nhnh nx nhnhnx nhnhn53h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)=h1(n) *h2(n)x(n)y(n)= 这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应线性移不变系统，其单位抽

17、样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关。联次序无关。54 1212x nh nh nx nh nx nh nh1(n) +h2(n)x(n)y(n)x(n)y(n)h1(n)h2(n)+=返回本节这就是说两个线性移不变系统的并联等式右端这就是说两个线性移不变系统的并联等式右端)等等效于一个系统，此系统的单位抽样响应等于两系统效于一个系统，此系统的单位抽样响应等于两系统各自的单位抽样响应之和各自的单位抽样响应之和(等式左端等式左端)。55一个线性移不变系统是稳定系统的充分必要条件是：一个线性移不变系

18、统是稳定系统的充分必要条件是： nh nP 输入有界输入有界输出也有界输出也有界56( )( ) ()( )()( )kkky nh k x nkh kx nkMh k 其中假设其中假设x(n)M。因为：因为：57( ) ( ), (), ()0,0y nf x nx nky nmkm),2(),1()( nxnxfny非因果系统非因果系统因果系统因果系统含意：一个实际的物理系统，其当前时刻的输出只能含意：一个实际的物理系统，其当前时刻的输出只能和当前时刻的输入、过去时刻的输入与输出有关，而和当前时刻的输入、过去时刻的输入与输出有关，而不能和将来时刻的输入与输出有关。不能和将来时刻的输入与输出

19、有关。5859例例1:( )( )y nnx n11122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )y nT x nnx ny nT x nnx nletx nx nx n如何判断：线性？移不变？ 因果？稳定？线性！121212( ) ( )( )( )( )( )( )( )y nT x nnx nx nnx nnx ny ny n则60所以： 系统对 的输出是( )x n( )nx n对 的输出是()x nk()nx nk 而：由于：( )( ) ( )y nnx nT x n()() ()y nknk x nk所以：() ()y nkT x nk本系统不具备移不变性！6

20、1( )( )y nnx n另外，系统是因果的，但不是稳定的( )(1)( )y nay nx n例2：本系统是线性系统、非移不变系统、因果系统，如果 则该系统是稳定的。1a (0)0y边界条件6211122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )T x ny nAx nBT x ny nAx nBx nx nx n121212 ( )( )( )( )( )( )( )T x nAx nx nBA x nA x nBy ny n( )( )y nAx nB例3：所以本系统是非线性系统63例例4：系统：系统)()()()() 1()(2nxnynxnynxny线性、移不变性

21、、因果性、稳定性是对系线性、移不变性、因果性、稳定性是对系统的基本要求。希望能掌握判断的方法。统的基本要求。希望能掌握判断的方法。非线性系统的研究不在本课的范围。非线性系统的研究不在本课的范围。返回本节64返回本章6500NMkmkma y nkb x nm（1）常系数线性差分方程）常系数线性差分方程用来表示离散时间线性用来表示离散时间线性移不变系统的输入输出关系。常用以下形式表示：移不变系统的输入输出关系。常用以下形式表示：常系数：常系数：ak，bm是常数。是常数。阶数：阶数：未知序列未知序列y(n)的变量序号的最高值和最低值之的变量序号的最高值和最低值之差。差。线性：线性：y(n-k)，x

22、(n-m)各项都只有一次幂，且不存在各项都只有一次幂，且不存在相乘项。相乘项。66（2）求解方法）求解方法 序列域（离散时域）求解法：序列域（离散时域）求解法：a.迭代法；迭代法；b.时域经典解法；时域经典解法；c.卷积和计算法。卷积和计算法。 变换域求解法：变换域求解法：z变换法。变换法。67 差分方程在给定输入和给定边界差分方程在给定输入和给定边界(起始起始)条件下，条件下，可用迭代的办法求系统的响应。如果输入是可用迭代的办法求系统的响应。如果输入是 这一特定情况，响应就是单位抽样响应这一特定情况，响应就是单位抽样响应h(n)。 n例：例： ，假设该系统是因果系统，假设该系统是因果系统，试

23、求其单位抽样响应。试求其单位抽样响应。 0,0y nh nn 1y nay nx n x nn解：设解：设 ，对于因果系统，必有，对于因果系统，必有 1y nh nah nn 68 1000hahaa 100nnh nah naa 222100hahaa 依次迭代求得依次迭代求得所以系统的单位抽样响应为所以系统的单位抽样响应为 0nah n00nn若若|a|1，则系统是稳，则系统是稳定的。定的。70返回本章71返回本章72 axt73连续信号的抽样返回本节740 Tt Tt冲激函数序列冲激函数序列 为：为： TmttmT75 axt理想抽样输出理想抽样输出 为：为： aaTamamxtxttxttmTxmTtmT76T77连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样返回本节7879设信号设信号xa(t)为限带信号，最高频率为为限带信号，最高频率为 aaTxtxtt FFFaaTTaaXjxtjtXjxt 12aaTXjXjj 式中各项式中各项的傅里叶的傅里叶变换变换傅里叶变换 jaaaXjFxtxt edt h80由于由于 是周期函数，所以可以表示成傅里叶级数，有是周期函数，所以可以表示成