黑龙江省哈尔滨市2017年高考数学四模试卷 理含解析

1、2017年黑龙江省哈尔滨市高考数学四模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 22x30，xZ，集合B=x|x0，则集合（?1已知集合A=x|xA）B的子集个数Z为（ ） A3 B4 C7 D8 z=已知复数） 2，则z=（ A i D i B C 满足不等式组，则x2yy的最大值为（ ） 3若实数x，A1 B2 C0 D4 =，则f（27）+f（logf（x）3）的值为（ ） 设函数44A6 B9 C10 D12 5等差数列a的公差为2，若a，a，a成等比数列，设S是数列a的前n项和，则S1082nnn4的值为（ ）

2、 A110 B90 C55 D45 =1（a0，b已知双曲线6C：0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距 ，双曲线的方程为（ ） 离为 AB CD 若函数则函数f（x）的图象关于（ ）7 A原点轴对称 Bx轴对称 Cy轴对称 Dy=x对 ） 值为（S，则输出的n=5执行如图所示的程序框图，若输入8 D B CA |，|）x+（0xR，9已知函数f（x）=sin（?）的最小正周期为4，且对 （）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（ ） f有f（x） =函数f（x）在区间，上递减； 的图象向左平移得到f（=sinx）的图象；（把gx） x+函数f（）是偶函数A B C D 10已知甲

3、，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ） B CAD11已知菱形ABCD中，DAB=60，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得AOC=90，则折得的几何体的外接球的表面积为（ ） D7 A15 BC 2f（xx（）=x）的单调情0fx12已知函数f（）在定义域R内是增函数，且（x），则g况一定是（ ） 上递增R在D 上递减R在C ）上递减0在（，B ）上递增0在（，A 二、填空题

4、：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在机读卡上相应的位置 的展开式中，常数项为20，则实数a13的值为 ）?的值为 ，则（14 设且（满足+） 15已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 2=3，若弦BAB满足的中=2px（p0）上的两点A：16已知以F为焦点的抛物线Cy， ，则抛物线的方程为点到准线的距离为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 的面积为，已知ABC且acAa，b，c所对的角分别为，B，C，中，17在ABC设边 b=3， c的值；（）求a， C）的值（B（）求sin元产品质量为一等品1000某厂每日生产一种大型

5、产品2件，每件产品的投入成本为18每件二等品的出厂价元，每件一等品的出厂价为50000.5，二等品的概率为0.4，的概率为件产品还元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1为4000 元的损失1000会带来 件产品都为一等品的概率；天中，恰有两天生产的23（）求在连续生产的件也为一等品的概11件为一等品，求另件中有已知该厂某日生产的这种大型产品（）2 率； （元）的分布列和期望（）求该厂每日生产这种产品所获利润19如图所示，三棱柱ABCABC的底面是边长为2正三角形，D是AC的中点，且AA111111平面ABC，AA=3 1（）求证：AB平面BDC； 11（）求二面角DB

6、CC的余弦值 11 ）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过点P（，20椭圆C1：过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（4，0） （）求椭圆C的方程； 3，求直线MN面积为（）若AMN的方程 21已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x1 （）求a的值及f（x）的单调区间； （）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x，y），B（x，y）是曲线C上不同的两2112 =；曲线C在点M处的切线平行x（C上存在点Mx，y），使得点，如果在曲线000于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线” 请考生在22、23两题中任选一题作答，如

7、果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线（t为参数）22，以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极 坐标系，曲线 （）写出曲线C的普通方程，曲线C 的直角坐标方程；21 ，求的值 A，B交于两个不同的点，（10），且曲线C与曲线C（）若M21 4-5：不等式选讲选修 =|3x2|+|x2|）设23f（x ）x8；（）解不等式f（2m+2）?|x|恒成立，求实数）（，有（）对任意的非零实数xfxmm的取值范围 2017年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合

8、题目要求的 22x30，xZ，集合B=x|x01已知集合A=x|x，则集合（?A）B的子集个数Z为（ ） A3 B4 C7 D8 【考点】1E：交集及其运算 【分析】运用二次不等式的解法和补集的定义，化简集合?A，再由交集的定义和集合子集Zn ，即可得到所求个元素的集合的子集为2）的个数（n2 Z，03，x【解答】解：集合A=x|x2x2 ，2，31xZ=，0，1xA=x|x?02x3，xZ=x|13，Z ，2，3?0，则集合（A）B=1，集合B=x|xZ3 =8，B可得集合（?A）的子集个数为2Z 故选：D ） ，则z=（ 2已知复数z= i CDA i B【考点】A7：复数代数形式的混合运

9、算 =即可得出【分析】计算=，可得= =， = 【解答】解： = =z=故选：C 满足不等式组，则x2y的最大值为（ ）3若实数x，y A1 B2 C0 D4 【考点】7C：简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 y=， z=x2y得【解答】解：由作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： y=， 平移直线 y=由图象可知当直线z最大， ，过点A时，直线的截距最小，此时y= ，得 由（，即A4，0）代入目标函数z=x2y，得z=4， 目标函数z=x2y的最大值是4 故选：D =，则f（27）+f（log3）的值为（ （4设函数fx） ） 4A

10、6 B9 C10 D12 【考点】3T：函数的值 【分析】根据分段函数的表达式分别代入进行求解即可 ，）（解：【解答】f27=log=27=9 =3+，）+= f（log34 +3+=6），= f（27）+f（log3则4故选：A 5等差数列a的公差为2，若a，a，a成等比数列，设S是数列a的前n项和，则S1028nn4n的值为（ ） A110 B90 C55 D45 【考点】85：等差数列的前n项和 【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出S 10【解答】解：等差数列a的公差为2，a，a，a成等比数列， 84n2 ， 2（a+32）=（a+2）（a+72），

11、111解得a=2， 1设S是数列a的前n项和， nn 2+=110 =10S则=10a+110 A故选： ，且右焦点到一条渐近线的距0）的离心率为2已知双曲线C：（=1a0，b6 ，双曲线的方程为（ 离为） DC A B 【考点】KC：双曲线的简单性质 e=2，即c=2a，又由双曲线的性质可得【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得 222222的值代入双曲线方程即可得答案 acb=，结合、=a+bb，计算可得a的值，将 ：C解：根据题意，双曲线【解答】 ，2）的离心率为0b，0a（=1 e=2，即c=2a则， b=，则有 又由右焦点到一条渐近线的距离为22222+3，=a，即又由c4a=a

12、 +b2=1， 则有a 2=1则双曲线的方程为：x； 故选：B 若函数则函数f（x）的图象关于（7 ） 对Dy=x Cy轴对称 A原点轴对称 Bx轴对称 ：函数的图象【考点】3O ）的奇偶性，即可得出结论（x【分析】判断f R，（解：fx）的定义域为【解答】 1）=x?xf（）=x（ ，x=）x?=f（xf（）=x? x）是偶函数，f（ 轴对称，x）的图象关于yf（ C故选： ） 值为（S，则输出的n=5执行如图所示的程序框图，若输入8 CAD B【考点】EF：程序框图 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化

13、情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=5，S=1，i=1 执行循环体，S=6，i=2 S=，i=3 i5，执行循环体，不满足条件不满足条件i5，执行循环体，S=4，i=4 S=，5，执行循环体，i=5 不满足条件i S=，5，执行循环体，i=6 不满足条件i 的值为S5，退出循环，输出 满足条件i故选：C ）的最小正周期为4，且对|?xR，|x+）已知函数9f（x=sin（）（0， ）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（ ） fxf有（）（ = 上递减；，）在区间x（f函数 的图象向左平移得到f（=sinx）的图象；把g（x） x+函数f（）是偶函数A B C D 【

14、考点】2K：命题的真假判断与应用 【分析】根据题意，求出函数f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可 【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为4， =； ，T=4 （f（fx）又对?xR，有）成立， x=时，函数f（x）取得最大值， =+2k，kZ， + +2k，解得k=Z， =，正确； 又|， x+（x）=sin）， f 时， x， ，当x ，函数f（x）不是单调递减函数，错误； x+ 的图象向左平移）=sin 把gy=sin（=sinx+）（xx+）的图象，得即为f（x）的图象，正确； x+）（x+），它不是偶函数，错误+=sin（函数f x+）=sin（综上，

15、正确的命题是 故选：A 10已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ） D C B A【考点】CF：几何概型 【分析】设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y，那么就会有0x60，0y60，|xy|如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率 【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y 那么就会有： 0x60， 0y60， |xy|30，就是等待事件，否则不用

16、等待了画出来坐标轴如下图 两条斜直线间的面积是等待， 外面的两个三角形面积是不等待， p=； 至少有一辆车需要等待装货物的概率 故选：D 11已知菱形ABCD中，DAB=60，AB=3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得AOC=90，则折得的几何体的外接球的表面积为（ ） D7 C B15A 【考点】LG：球的体积和表面积 利用几何体求出外接球的半径，然后求解几何体的表面积即可【分析】 的外接圆的半径为： 三角形ABDABCD中，DAB=60，AB=3，【解答】解：菱形 ，对角线AC与BD的交点为O=，把菱形，内切圆的半径为：ABCD沿对角线BD折起，使得AOC=

17、90， =则折得的几何体的外接球的半径为： 4=15外接球的表面积为： 故选：A 2f（xx）=x）的单调情（x）0，则g（x12已知函数f（）在定义域R内是增函数，且f况一定是（ ） A在（，0）上递增 B在（，0）上递减 C在R上递减 D在R上递增 【考点】3E：函数单调性的判断与证明 【分析】根据函数f（x）在定义域R内是增函数则f（x）0在定义域R上恒成立，然后求出导函数g（x），讨论x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间 【解答】解：函数f（x）在定义域R内是增函数 f（x）0在定义域R上恒成立 2 ）（x（x）=xfg2 x+x）f（）g（x）=2xf（x20 （x）gf（x

18、）0所以，）x0时，而f（x0，则2xf（x）0x当2 ）在（，0=x）上递增f（xx即g（）2 g（x）的符号不确定，从而单调性不确定（）0，xfx）0，则2xfx当0时，（x 故选A 20分将答案填在机读卡上相应的位置二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 a的值为1 1320的展开式中，常数项为，则实数 【考点】DB：二项式系数的性质 【分析】利用通项公式即可得出 r62r 【解答】解：x的通项公式为：T=a=r+1令62r=0，或62r=1， r=（舍去） 解得r=3， 3=20，解得a=1a 故答案为：1 ）?的值为 ）5 ，则（14设满足 且（+ 【考点】9R：平面向量数量积的

19、运算 【分析】根据向量的数量积和向量模的计算即可 解：，【解答】 |=2 | ）（+， =0，（+）?= ，4即?= ）?1=?5，=4（ 5故答案为： 15 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【考点】L!：由三视图求面积、体积 【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计算公式，可得答案 解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，【解答】底面面积S=48=32， 高h=4， =，故体积 V= 故答案为： 2=3满足，若弦，BAB的中（16已知以F为焦点的抛物线C：y=2pxp0）上的两点A 2 =8x 点到准线的距离为，

20、则抛物线的方程为 y 【考点】K8：抛物线的简单性质 【分析】设直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k =，即可求得dd=x+的的值，根据中点坐标公式求得M的横坐标，则M到准线的距离 值，求得抛物线方程 2 ）的焦点F，（，【解答】解：抛物线C：y0=2px ）y=k（x，由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程 ，x，y），（xy），AB的中点M（y设A（x，），B2112 =3x，y），=）（x，y，由，=（2121 ），则3x+x=3（x=2p， 则x1221 222px+=0，k +2，整理得：k）x（ =， ，xx由韦达定理可知：x+

21、x=2112 =， ，由解得：xx=212 ，代入，解得：k=3 =， ，=M则x=到准线的距离d=x+ ，解得：p=4，= 2 =8xy抛物线的方程为2 =8x故答案为：y 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算小题，共70三、解答题：本大题共5 步骤 ，已知ABC的面积为，且ac，中，设边ab，c所对的角分别为A，B，C17在ABC ，b=3 ，c的值；（）求a C）的值sin（）求（B HT：三角形中的几何计算【考点】 ，=cosAsinB+sin（A+B）【分析】（1，得）由sinAcosB ，又=即ssinB=ac=6由余弦定理得：，ABC，由解得a，c =sinBcosC）C

22、B（cosC=sin即可得sinC=则，（）由余弦定理得 cosBsinC的值 ，得A+B（由）=cosAsinB+sinsinAcosB（）【解答】解： ，sinB=，即2sinAcosB=sinA0 由余弦定理得： ? =又s，ac=6ABC 由解得c=2 aa=3c， （）由余弦定理得sinC=cosC=，则 cosBsinC=sinBcosC）B（sinC 元产品质量为一等品2某厂每日生产一种大型产品181000件，每件产品的投入成本为每件二等品的出厂价元，5000每件一等品的出厂价为，0.4二等品的概率为，0.5的概率为件产品还元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，

23、每生产1为4000 1000元的损失会带来 2件产品都为一等品的概率；（）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的件也为一等品的概1（）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另 率； （元）的分布列和期望（）求该厂每日生产这种产品所获利润 ：离散型随机变量及其分布列【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG ）利用相互独立事件的概率公式计算；【分析】（I ）使用条件概率公式计算；（II ）列出（III所有可能的取值及对应的概率，再计算数学期望2 =0.25，（A）=0.5【解答】解：（I）设一天生产的2件产品都为一等品为事件A，则P0.750.25件产品都为一等品的概率P=0.

24、25在连续生产的3天中，恰有两天生产的2 = C，件产品中，有一件是一等品为事件B，另一件是一等品为事件 （II）设一天中生产的2 2=0.75，=0.5B）0.5+0.50.42+0.50.1A则P（BC）=P（）=0.25，P（）PC|B1该厂某日生产的这种大型产品2件中有件为一等品，另1件也为一等品的概率为（ = ，6000，2000，1000，4000）（III的可能取值为8000，7000 的分布列为： 8000 7000 6000 2000 1000 4000 P +（4000）=6000 E（+2000）=8000+1000+7000+6000 19如图所示，三棱柱ABCABC的

25、底面是边长为2正三角形，D是AC的中点，且AA111111平面ABC，AA=3 1（）求证：AB平面BDC； 11（）求二面角DBCC 的余弦值11 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定 【分析】（1）连结BC，BC，交于点O，连结OD，则ODAB，由此能证明AB平面BDC 11111（2）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角11111坐标系，利用向量法能求出二面角DBCC的余弦值 11【解答】证明：（1）连结BC，BC，交于点O，连结OD， 11三棱柱ABCABC的底面是边长为2正三角形，D是AC的中点， 11111ODAB

26、， 1AB?平面BDC，OD?平面BDC， 111AB平面BDC 11（2）三棱柱ABCABC的底面是边长为2正三角形，D是AC的中点，且AA平面ABC，111111AA=3 1以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐11111标系， ，0），C（1，0，3），C（）（0，0，0，B（01，0，0）， 则D11 ，=（0=（1，3），0，3），=（1，03） 的法向量=（x，y，zB设平面DC）， 1 ，得=（3，0，取z=1，1）， 则 的法向量=（a，b，c）B设平面CC， 11 （）， 则，取b=1，得=设二面角DBCC ，的平面角为11 = 则c

27、os= 的余弦值为C 二面角DBC11 ）且离心率为，1F过点P为椭圆的右焦点，（20椭圆C，：过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（4，0） （）求椭圆C的方程； 3，求直线MN的方程（）若AMN面积为 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系 22222，cb，联立解得： =1，a（【分析】1 =）由题意可得：，又a可=b+c， 得椭圆C的方程 S=1x）（2）F2，0若MN轴，把x=2代入椭圆方程可得：，解得 +y则AMN 3，舍去若MN与x轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线MN的方程为：my=x2把x=my+2 22利用S可得|yy|=2=0）代入椭圆方程可得：（m+3y+4my21 =

28、3即可得出= AMN 222）由题意可得：1（解：【解答】 ，+c=ba，又 =， =122 c=2=6，b=2，联立解得：a 的方程为：椭圆C ，0）（2）F2 x轴，把x=2y=代入椭圆方程可得： +=1，解得若MN 3，舍去= =2则SAMN若MN与x轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线MN的方程为：my=x2 22 y+4my2=0把x=my+2代入椭圆方程可得：（m+3） ?y，y+y=，y2112 =|=|yy 21 =3，解得m=S则1=3 AMN直线MN的方程为：y=（x2） 21已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x1 （）求a的值及f（x）的单调区间

29、； （）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x，y），B（x，y）是曲线C上不同的两2112 =；曲线C在点M）x，y，使得x处的切线平行C点，如果在曲线上存在点M（000于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线” 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】（）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1处的切线方程，结合已知切线方程求得a值，进一步求得函数的单调区间； （）假设函数f（x）存在“中值相依切线”设A（x，y），B（x，y）是曲线y=f（x）2112 由题意）k求出lnx=x，lnx=xy，则x0上的不同两点，且xy

30、f（及AB22211121 =列等式可得=1+ln， 令（t1）理得换：，元，则整 =（t1），利用导数求得（t）g（t）的最令g小值小于1ln2，说明计算错误，函数f（x）不存在“中值相依切线” =lnx+x） ）=（x+alnx，得f（【解答】解：（）由f（x） ）=0，）=1+a，又f（1f（1 a）x11+a）（x1）=（1+a处的切线方程为）函数f（x=（x+a）lnx在x=1y=（ a=01+a=1，得 ，f（x）=lnx+1=xlnx则f（x） =lnx+1=0，得x=由f（x） ）0，当0x时，f（x当x时，f（x） xf（上单调递减，在）在上单调递增；（）假设函数f（x）存在“中值相依切线” 设A（x，y），B（x，y）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0xx， 212121则y=xlnx，y=xlnx 212112 由f（x）=xlnx的导数为f（x）=1+lnx， =， 可得1+ln= ，整理得： ，则 t1）令（ =（t1）令g（t），