泰勒公式证明及应用教材

1、泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系 辽宁锦州121000中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种左理、公式，并且都证实了它 们的正确性，应用这些泄理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析 中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强 有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系 统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒左理及其几种表示形式的泰勒公式，在后而的应用中 会应用到。其次，就是本文的重点一一泰勒公式的应用，介绍了九个方而，主要包括：研究级数 和广义积分的敛散性、利用

2、泰勒公式求极限、近似计算和误差估讣、确左和比较无穷小的阶、证 明不等式等等，通过许多的例题分析，体现岀了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。Taylors formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University, Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied a

3、ll kinds of theorem and formula, proved their correctness. and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them. Taylors formula is a important formula in mathematical analysis .It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis In addition, i

4、t is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introduction to Taylors formula emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary Firstly, tliis article introduces the Taylor theorem and some Taylor formul

5、a of different expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article - die application of Taylors formula Here nine aspects arc introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper mtegraL using the Taylor s forimila to calculate limit, the

6、 approxmiate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylors formula in solving mathematics questions are well illustrated.

7、Key Words: Taylors formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.刖吕对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函 数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次 加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来 近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容一一泰勒 公式，并重点研究它的广泛应用。、泰勒公式若函数.f(x)为刃次多项式/(x) = aQ +勺(兀一尤0)+ 02(兀一)2 + + G”(x %)(1)逐次求它在x =

8、处的各阶导数，得/(X。)=兔，广(X。) = 5，厂(兀0 ) = 2!,严)Go ) = nan因而(1)式可写作.f(x) = .f(Xo)+.f(Xo)(x Xo) + 4(X7o+ +(兀一兀0)2!n由此可见，多项式/(X)的各项系数由其各阶导数值唯一确定，例如 为了把多项式/(x) = x3-4x2+2表示成以(X-2)为幕次的多项式，先要 计算/在x = 2处的各阶导数。/=-6,广(2) = 7 八 2) = 4 J 气2) = 6,厂”=0, n 4)代入(2)式得到y(x) = f(2)+f(2)(x-2) +- 2)2 +- 2)3= -6-4(x-2)+ 2(x-2)

9、2+(x-2)3对于一般函数/来说，若存在直到/7阶的导数，则按式右端也能相应地写出一个多项式。把这个多项式记作pn(X),那么.f(x)与P“(x)之间有些什么关系，正是下面泰勒(Taylor)定理所要回答的问题。 定理1N1 (Taylor定理)若函数/满足如下条件：在开区间,b)上函数/存在料阶连续导数；(ii)在闭区间“,b内存在/的斤+1阶导数，则对任何xe(a,b)f至少存在一点e (a,b)，使得= f（a）+ 八* 7 + 屮（兀-+ + 器（x -以+ t+j （n + 1）!式称为函数/(x)在点x = Q处的斤阶泰勒公式，Pn(X)= /(兀0 )+ 广(不)G - %)

10、+丄(X X。) + + -(% -兀)称为 H2!n次泰勒多项式，gJ二 d严称为/在兀=。处的泰勒公式余 (/? + !)!项。(一)、带拉格朗R (Lagrange)型余项的泰勒公式当n = 0时，定理1就是拉格朗H定理,因此，把称为朴阶泰勒公式的拉格朗FI余项，(3)式称为带拉格朗F1余项的泰勒公 式，也称为有限增量的泰勒公式，它研究函数在较大范围内的性质，特别地，泰勒公式在心=0时，称为带拉格朗日余项的马克劳林(Maclaurin)公式，也就是fW = /(0) + 广(O)X + +対 + R“(X)IV.其中，R (x) = 2対+1, 0xb(/? + !)!注记 与拉格朗日中

11、值定理那里的讨论类似，如果令& =,那x-a么歹= “ + 0(x-d) Ov&vl,于是拉格朗Fl型余项可以写成Rr(X)=广旳3 + 0(兀-“)(/? + !)!(0 9 1)Rn(X)=1(/? + !)!(0 1)(二) 、带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式由于拉格朗日余项形式比较复杂，我们考虑用更简单的形式表示， 若函数.f在点。可导，则由有限增量公式有：./(X)= f(a) + f (a)(x - a) + o(x - a)(6)这说明在点d附近，函数/可用一次多项式近似表示，其误差为关于 (x-a)的高阶无穷小量。又由泰勒定理1看到，若/的s + l)阶导数广“初为“小

12、上有界函数, 则由式有R(x) = /(X一犷=O -)”)，(x T ),即在点a附5 + 1)!近用.f的斤阶泰勒多项式几(x)近似表示时，其误差为关于(兀-的高阶 无穷小量，从而n越大近似的程度越高。下面定理将给出定理1较弱条件下，函数/在点。附近能用多项式 几(X)来逼近的结论。定理2若函数.f在点a的某邻域内具有n -1阶导数，且广) 存在，则f (-) = /() + fcix - u) + - (x - u)2 H1- - x-a)n +o(x-a)2!n其中xeU (t/)(7)称Rn(x) = o(x-a)n)为泰勒公式的皮亚诺余项，式称为带皮 亚诺型余项的泰勒公式，因为(7

13、)式是无穷小增量公式的推广，所以也称 带小。余项的泰勒公式。特别地，当“ =0时，我们称相应的表达式为 带皮亚诺余项的马克劳林公式或者带小。余项的马克劳林公式。(三) 、带积分型余项的泰勒公式利用分部积分法也能导岀泰勒公式的余项的一种表示一一余项的积 分表示。定理3设函数/在区间/有斤+ 1阶连续导数，a.xel,贝IJf(x) = f(a) + -(x-a) + -+ .匸(兀 _ ay + 仁_心 f* (1 _ 0“ f(“+I)(a + t(x - a)clt (8) 7?!n Jo换句话说，在这种情况下，泰勒公式的余项表示为Rn (兀)=( A - C (1 一 0” 广却 + 心-

14、讪(9)(8)式称为带积分型余项的泰勒公式，(9)式称为积分形式的余项。特别地，当4 = 0时，我们称之为带积分余项的马克劳林公式：.f (x) = .f (0) + 罟 x + + x + 害一 f)严+ (0) 力(四) 、带柯西型余项的泰勒公式在定理3中，对余项nR“ (%) = 一v一 .(： (1 - 0广i + t(x 一 a)/用积分中值定理可得Rn M =fM (a + 0(x - a)(x - a)n+i, (0 v 0 v 1)n这种形式的余项称为柯西型余项，我们得到了带柯西型余项的泰勒公式:y(x) = y(a) + 罟(x - a) + + 芒严(x - a)1!n+(

15、1 匚&)_ f(“+I)(么 + &(兀 一 a)(兀 一)“+】,(0 0)的敛散性。1、级数的敛散性X判断正项级数工 /r=!分析 我们先从一个特殊的问题说起：判断正项级数(1 vr1e -1+丄k n)2的敛散性。0CE?=1(1、1+-卜料丿J注意到数列严格递增趋于而数列1+-k n）严格递减、+1趋于一因此有n+10丄V /丄（応N） tr料一由比较判别法可知f n=l2收敛。28这一方法是否具有普遍性？不妨再考虑” =1的情况，此时若仍采用上述“放大”方法，就有0e- 1 + -n 1+丄k n丿 11ez一 一， n e N nn* 1但工丄是发散的，故得不出结果，若将 “缩小

16、”，同样也得不岀结果, 看来，即使当 时上述方法也己碰到很大困难，更不用说是对于0 的一般情况了。解决这一问题的一个有效工具是利用带Peano余项的泰勒公式：先 将通项色适当展开，再用等介量法或其他方法判敛，值得指出的是，初 学者往往会疏忽或是不习惯使用泰勒公式，但事实上，在级数的判敛问题中，泰勒公式是经常用到的。回到例1中，考虑仁11-1-+ o 1时收敛, n泰勒公式在判断任意项级数敛散时同样有十分重要的作用,我们不 妨看下而的例子。例2判断下列级数的敛散性（0）：役 fin 1 +n=l(-l)n（一 1）心分析 这两个级数的项均正负交替出现，但前一个级数的通项不具有（-的规范形式，后一

17、个的通项形式虽具有，但仏不具 =1有单调性，故两者都可考虑用泰勒公式。敛。当0 1时,X00xE均与均为绝对收敛，故乞乞也绝对收敛。/1=1?i=ln=l考虑(一1)心(-l)in + (-1)* n(-旷np(-1严np其余分析讨论类似于上一题。2. 广义积分的敛散性例3问：广义积分W收敛吗?J() sin x-xe xsin x解 sin X-xx-x x-xy +?(x4) j3!丿1 - x2 +o(x)6X3 + o(xA)6 7I 1，一一厂 +x-xy + o(x4)3! f)1- X2 + o(x3)6 x + o(x)60-t2 + + o(f) dt=limXTO汩+心）X

18、5+ 3)o解 直接由ln( 1 + x)的泰勒公式得fW = x2x x2 +-x3 + (_1) -xn2 + o(x2)23n-21 iv2-3=疋 一 一Z1 + + x + o(xn), (x T 0)2 n 2比较疋的系数得：3 =止，所以們(0)5止。 n n-2n-2例7设/(x)在原点的邻域内二阶可导，且lim(沁+ 3| = 0,XT。 XJC 丿求/(0),广(0),厂(0),并计算极限1142 +学。ATOlX f 丿解o=i4竺宾+卑皿X3 X= limXTOX竽+2/+八*八呜+心=吧土 (3 + /(0)x + fO)x2 +1 2-|V+ o(x3)因而有 3

19、+ /(0) = 0,.厂(0) = 0,丄尹*0 即 f(0) = 3,广(0) = 0,厂(0) = 9而噪&+乎卜吧井+)+广3+护g+如)= lim 3 3 +vn 二+ o(/)=-(四)、近似计算及误差估计1、函数值的近似计算例8求sin 10。的近似值。解 换算成弧度，x = 10 = 0745330.2,如果用一阶泰勒公 式求sin 10 的近似值，即sin x = sin 10。= sin(0.174533) x = 0.174533(i误差估计为：R(x)|=sin 歹 + 二.(074533)2 0)心+ -(心)，+ ,其误差为F面用三阶泰勒公式计算sin 10,有0.

20、174533)4 (0.2)4 vl(T5。误差估计为恥)七如果题目要求计算误差不超过10,应当先估计余项心(X)的上界1sill/2 + 1卄1X+71 x 15 + 1)! 2丿取n为何值时，能使误差|心(对|10?为此，应当利用(10)解不等式|KQ)|vlO,即此(0.174533)1 (0.174533)/?+, 106 0但是在一般情况下，解这种不等式比较麻烦，不如取适当的n的值试验一下，例如取斤=5时，|/?,(0.174533)|(0.174533)6 u4xl()Y这个精度已超过了要求，于是得到一个关于sin 10的误差小于IO6的1120(0.174533)近似值为：sin

21、 10 = sin( 0.174533) 0.174533-(0.174533) +6u 0.173647对于任意函数/(x),如果/在点儿有1到斤阶的导数，则就可以写 出/在点X。的/7阶泰勒多项式(2),当兀距兀不远时，就可以用该函数的 泰勒多项式的值作为.f(x)的近似值，当确定之后，泰勒多项式的阶数 越高，这个近似值的精度越高。例9计算数的近似值，使其误差不超过10,并证明数是无理 数。解宀出+寺+為，其中歹介于。与兀之间,1 1 6当E时，日+ 1 +习+总+聞,0驚1由于心(1)=&3(77 + 1)!(A? + 1)!3w当“9时,(1)-10-,于是如+叫+ ”+詁2.7182

22、815由 e-1 + 1+丄+丄I 2!/?!上式两端乘以川，得:(/? + !)!nle - /?!+/?!-/?(/? 一 1)3 + +1=假设W是有理数，设2匕,(其中为整数)，当心q时，山为整 q数，所以左端为整数，由于0,dx叫 26川丿（丄13丄115丄116丄丄1132 56 7nl2n + 儿（11111 t 111513 10 422/? + 13 10 42 35如上函数ydx,这些无法用通常积分求得积分值的函 X数，我们将被积函数展开成泰勒级数，只须对各项式进行积分，并且可使积分值达到很高的近似精度。（五）、用泰勒多项式逼近函数例12在0,1上用二次项式逼近函数，=、帀

23、，并估计误差。解 由于JT =（1 + X）3 =1+-+/?2w2 8(1+A所以，当01时，误差估计为：3 11v =飞 3!16（六）、用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数的极限问题转化为类似多项式或有理公式的极限问题，下面用例子说明。例13求limx-x2 log-Voc X)r 1)11X0解 lim I -一x ex -1A-H)= lim.vOR _x、*T)丿28由泰勒公式宀3+亍如），宀+如于是:limXTO(1 _ 1 ) J_er-b=limA-01 + X + +) 1 X2!x(

24、x + o(x)X/ 2 、斗+。(，)=limA-()2X2 +o(x2)k/用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。我们知道：当XTO时，sinx九/gxX等。这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们己熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。例15求lim工to( sin2 x77解 原式=lim 匸巴仝 z jr sin _ x若用罗比塔法则定相当繁琐的，下面用泰勒公式方法与等价无穷小方法相结合来考虑。.21 cos2x 1 1宀sin r = - cos 2x22 2由泰勒公式迹2“1-罟+竽+如）于是：亦“

25、匕52!4!将（11）式中分子上的sin臥用上式代，而分母的sin/用代，这样limTTO=lim .ITOX2-y-(X5)=lim .ITO%4例】6枕怜兀33解由泰勒公式tgx = x + : + o(x), sin x = x - + 0)+ /(x) +石厂(x) +厂气兀+加)，2:n0 0(h) 1,证明：lim &(/?) =丄。dn +1分析 仍是要找岀&)的表达式，为此，可将/Uo+/?)按两种不同 方式在点心处展开为泰勒公式，带 + 1阶Peano余项的泰勒公式和带n阶 Lagrange余项的泰勒公式，再对两者进行分析比较。证 在点兀处分别展成带Peano余项和带Lagr

26、ange余项的泰勒公式，有：/(%+/o=/(xo)+/7-r(xo)+-+)+- f 网()+。(/严 |) n(n + 1)!5 T 0)/严hn+厂刊(“)+ 严Uo+加的)(72-1)!tV.(0 0(h) 1)将两式比较可得h严)(X。+ heg = fn(x0) + /(1) lim 0(h)= n +1ton + (七) 、明含高阶导函数的中值这命题类题型的特点是己知函数可导的阶数较高(常是二阶或二阶 以上)，同时还给出若干个己知点的函数值或导数值，常选已知函数值或 一阶导数值为0的点作为展开点(这样可使一阶导数项消失)，然后再将 已知函数值的各个点的坐标代入展开式，进行运算，最

27、后利用介值定理 或零点定理证之。例 18 在 k，b上 n 次可微，且 /() = 0, /ft) (b) = 0,k= 0,1,2, - - -, n -1; 证明：至少存在一点歹EC),使厂 = 0。证由于fM = / (仍 +b) + + Ly(X - b) + 厶F(X - by(72-1)!/?!且由题意知 f(kb) = 0,(k = 0,1,2,所以 /(x) = - (C)(x-by ,n取有o = f3=：f_gy 因此有严帖)=0,*(“上)。n例19设.f(x)在上有二阶连续导数，f(0) = 0, 写出带拉格朗日余项的一阶马克劳林公式。 证明在-心上至少存在一点，使得八

28、厂=。解对有./3 = /(0) +广(0)兀+卜2广),歹在0与兀之间对题中的等式积分有 fZx = f (0)皿 + 打：，+ 广X改写成/(对心=刍 x2fdx(13)a a2a a由连续函数的性质，令M =nxfx) = fl(xi),xlra,a-曲m = max /(x) = /(x2),x2 e -a,a现估计仃3)式右边得-=凱皿 討厂葩M券的=岁“心M即 r(X2) = /774r fZx M=厂 3 ) a 现由连续函数中间值定理得：旳4心,使厂()弓仃(艸款丿心话皿(八) 、应用泰勒公式进行某些定理的证明定理4 (极值的第二充分条件)：若是.f(x)的驻点(即广() =

29、0),且广o）存在，厂（）工o,则当r（xo）o时，/（心）为极小值。（迁）当r（xo）o时，/（心）为极大值。证由带皮亚诺余项的泰勒公式知：/（兀）=/00）+ 广（旺）（*一兀）+ 4（兀一兀0） +o（x Xo），（xTXo）于是/(对-/(x0) =(X-x0)2 + o(x-Xo)2)当X充分接近X。时，上式左边的符号由右端的第一项弓（x “）2决定，于是当.厂（心）0 时，.f（x） ./Vo）O,即 f（x）f（x0）f 所以 f（xQ）为极小值。(ii)当 f(x0)0时，f(x)-f(x0)0,即 f(x)f(xQ)t 所以/(%) 为极大值。定理5 （极值的第三充分条件）：

30、设函数/）在含点a的某个小区间 内有料阶连续导数,而且广）=广）=.=严） = 0,严）工0,则 当刃为偶数且f）（a）v0时，/）在点a有极大值f（a）,当斤为偶数且 严）0时，.f（x）在点a有极小值f（a） o （ii）当刃为奇数时,f（x）在点 。取不到极（大或小）值。证根据泰勒公式，有/(X)= f () + 罟(X - “) +- (x-a)2+-+ :再)(x -a)- +(a, x)=fW +f(”)a + 0x -a) (0 V 0 (x)在点d连续，即巴”叫d + 0(Xi)二广)3),所以fui)a + 0xa) = f(,t) (a) + a(a, x) y 且 lim

31、 a仏兀)=0因lit,=严) + 诚/,创匸m于是，当斤为偶数且兀充分接近。时，/(力-/与广)()同符号(因 为上式右端的符号取决于严”(“)，所以，当fna) 0时，/(x) 0时，f(x) .f(d),即f (“)是极小值；而 当n为奇数时，由于上式右端随xd和xva而改变符号，所以/(“)不是 极值。(九) 、用泰勒公式证明不等式不等式是数学分析的重要内容之一，它涉及的问题很多，应用也十 分广泛，历来受到重视，不等式的分析证明方法也多种多样，很具有灵 活性，有些还有相当的难度，因此初学者往往感到困难，其中泰勒公式 是证明不等式的一种很重要的方法。1、估计泰勒公式余项法若已知带拉格朗日

32、余项的泰勒公式f(x) = f (x0) + 广( )(x - X。)+ + -召 O - X。) + Rn (x)IV.r(w+l) zx其中心(%)二 一是拉格朗日型余项，估计Rn(%),可得相应(n + 1)!的不等式。例 20 求证：ex l + x + 0), l + x + x2(x0) o2 2证由泰勒公式ex = + x + x2 + 丄沁 x,(Ov&vl)2!3!gi； pi.v12103刃以，e (l + x + x ) = e x26 0,(x0)评注 不用泰勒公式，令(l + x + *J也可，通过求导、判断单调性来证明两个不等式，但不如用泰勒公式简便，通过估计泰勒

33、公式的余项求法来证明不等式是利用泰勒公式证明不等式的一种重要情 形。2、由函数与二阶导数估计一阶导数法例 21 设/在0,1上有二阶导数，f(x)a,fx)b9zA求证：Vce(O,l),使|/*(c)|2t/ + -o证明本题的条件与结论之间的联系是要从函数和二阶导数的估计 导出一阶函数的估计，能将函数及其一阶导数、二阶导数联系在一起的 唯有泰勒公式，要估计|广(c)|,自然考虑对Vx e 0,1在c点展成泰勒公式。f(x) = /(c) +一 c) + - (x-c)2(Vxe0,l,共中歹在c与兀之间) 考虑到区间0,1,分别取x为区间的端点，当兀=0,1时，分别得/(0) = /(c) + ,/-(c)(-c) +, (00c)乙/(I