第四章统计量与抽样分布

1、第四章 统计量与抽样分布4.1 总体和样本的统计分布p1.总体分布和样本性质 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为x . 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 x 的某个取值.用 表示.ix样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 x 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.),(21nxxx),(21nxxx用 表示, n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合. 若总体 x 的样本 满足:),(21nxxx一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不

2、放回抽样代替.nxxx,21(1) 与x 有相同的分布nxxx,21(2) 相互独立),(21nxxx则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本设总体 x 的分布函数为f (x),则样本niinxfxxxf121)(),(总若总体x 的密 d.f.为 f( x),则样本niinxfxxxf121)(),(总的联合 d.f.为),(21nxxx的联合分布函数为例如例如 设某批产品共有n 个,其中的次品数为m, 其次品率为 nmp/若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它.所取的产品不是次品所取的产品是次品, 0, 1xx 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示方法:1 , 0,)1 (),

3、(1xpppxfxx从这批产品中任取一个产品,用随机变量x来描述它是否是次品:设有放回地抽取一个容量为 n 的样本),(21nxxx),(21nxxx的联合分布为niiniixnxniinppxfxxxf11)1 ()(),(121总),(21nxxx其样本值为, 2 , 1, 1 , 0),(21nixxxxin样本空间为设 是取自总体x 的一个样本, ),(21nxxx),(21nrrrg),(21nxxxg为一实值连续函数,且不含有未知参数,),(21nxxxg则称随机变量为统计量统计量.),(21nxxx若是一个样本值,称),(21nxxxg的一个样本值为统计量定义定义4.2 统计量统

4、计量例例 是未知参数, 22, ),(nx若 , 已知,则为统计量是一样本,),(21nxxxniiniixxnsxnx122111,1是统计量, 其中),(2nxi则但niix1221不是统计量.常用的统计量常用的统计量niixnx11) 1 (为样本均值样本均值niixxns12211)2(为样本方差样本方差niixxns1211为样本标准差样本标准差),(21nxxx设是来自总体 x 的容量为 n 的样本,称统计量nikikxna11) 3 (为样本的k 阶原点矩原点矩nikikxxnb11) 4(为样本的k 阶中心矩中心矩例如21222111nniisxxnsnnbxa顺序统计量顺序统

5、计量设),(21nxxx为样本,),(21nxxx为样本值,且*2*1nxxx当),(21nxxx取值为),(21nxxx时,定义 r.v.nkxxkk, 2 , 1,*)(则称统计量)()2()1(,nxxx为顺序统计量顺序统计量.其中,max,min1)(1)1(knknknkxxxx称)1()(xxdnn为极差极差11()()nkkiie ae xn() (1,2,)kke xk11() (1,2,)nkkie xkn12 , , nxxx12 , kkknxxxkx11, nkikkipaxnn 1212(,)(,), kkpg a aagn 1,2,k12,nx xx)(xfxkgx

6、12,nxxxx222(), (), ()e xd xe sn11()()niie xexn11()niie xn11()()niid xdxn211()niid xn2n2 (1)ns2(),()e xd x21()()niixx21()niixx2211()2()()()nniiiixxxnx221()()niixn x2221()2 ()()niixn xn x2221 (1) ()()()niine se xne x221ninn2(1)n22 ()e s11niixxn2211()1niisxxn12,nx xx12,nx xx12,nx xx12,nx xx4.3 抽样分布12,n

7、x xx12(,)ng x xx2,t,f0 , 0 0,)2/(21)(2/12/2/yyeynyfynn222212nxxx3 2 1 o6 5 49 8 721 11 0151 41 3101 . 002 . 003 . 004 . 0y)(yf1n2 n4n6n11n2) 1 , 0 ( nx12,nx xx2222.( )nn210( ) (0)xz zxe dxz22221212 ()nn22221122(),(),nn2212,22221212()kknnn22() ,1,2, ,iinik22212,k222212nyyy122212nxxx122212nxxx222212ny

8、yy22( ),n22(), ()2en dn12r.v ,nxxxn) 1 , 0(n222212nxxx221()()niixee21()niie x1()niid x11nin21()nd x42211 () () n e xe x2421(1)2xnxedxnn2) 13(221()()niidd x2()( )fxf x( )0 (0)fxx( )0 (0)fxx ( 0,1)n/xty nt,x y2(0,1), ( ),xnyntt.( )tt nnt 2(1)/2(1)/2( )1+, ( /2)nnxf xxnn n lim( )0 xf xo1x( )fx234512345

9、)2( t)9( t)1 ,0(nlim( )0 xf x22xe()n ()n 1222 (1)lim ( )2xnfexxn( )(0,1) (45)t nnn12/nufnvf ,u v2212( ), (),unvnff12.( ,)ff n n12( ,)n nf ( )f x112121212/2/21212212()/2,0(/2)(/2)()nnnnnnnxnnx n nn xn0 , 0 x ( )fxo0 . 1x0 . 2)4,10(f)50,10( ff 12(,),ff n n211(,)f nnff 2.抽样分布定理2( ,)xn 12, ,nx xx2, 2, 1

10、2(,)ng xxx? ?12(,)ng xxx),(2nx12,nxxx2( ,)xnn121()nxxxxn2( ,)n 12 ,nxxx2() , ()e xd xn2 ( ,)xnn),(2nx12,nxxx2,x s222(1)(1)nsn2,x s2221 (1)()()niinsxn x2 2 2 221/niixxn22221(1) /niinsxxn2 ( ,)xnn(0,1)/xnn2 /xn2(1) (0,1)ixn21 niix2( )n2( )n2(1)2(1)n),(2nx12,nxxx2,x s) 1(/ntnsx) 1 , 0 (/nnxy 2222(1), (

11、1)nsn y2t2/ys n22/(1)/1xnnsn/xsn (1)t n222(1) (1)nsn2222(1)(1) 1, 2(1)nsnsendn42222 (),()1e sd sn2s22s2) 1 , 0 (/nnx) 1(/ntnsx,211(,)xn 112,nxxx222(,)yn 212,ny yy2212,.x y ss2221,ss211121222222(1)(1)(1)(1)nsnnsn22112222/ss12(1 ,1)f nn2211122222/(1,1)/sf nns22112222122212(1)(1)(1), (1)nsnsnn21(,)xn 1

12、12,nxxx22(,)yn 212,ny yy2212,.x y ss121212()() (2)11xyt nnsnn2211222212(1)(1), 2nsnssssnn.221212 (,), (,)xnynnn , x y221221 (,)xynnn12()() (0,1) xyn2111 nn221122221222(1)(1)(1), (1)nsnsnn2212,ss2222112212212222(1)(1)(2)(2)nsnsnnsnnf12()() xy1211nn 12 (2)t nn212122(2)/(2)nnsnn 1212()()11xysnnoxy)(xfy ffdxxffxp)( f)(xf( ),xf x 01,f(0,1)nzfdxxffxp)( f)(xf( ),xf x 01,f(0,1)nzoz05. 0z645. 1265. 164. 195. 0z05. 0z645. 1025. 0z96. 11z1zzfdxxffxp)( f)(xf( ),xf x 01,f ( )t n ( )tno( )tn1( )tn1( )( )tntn )6(05. 0t9432. 1)12(90. 0t3562. 1)12(1 . 0t)55(05. 0t645. 105. 0 z