3_4大跨屋盖结构-空间杆系有限元法

1、空间杆系有限元法也称空间杆系有限元法也称空间桁架位移法。空间桁架位移法。空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等工况均可计算。工况均可计算。能考虑网架与下部支承结构的共同工作能考虑网架与下部支承结构的共同工作 。计算程序见下表。计算程序见下表。3.43.4空间杆系有限元法空间杆系有限元法 网架杆件网架杆件节点位移节点位移单元刚度矩阵单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度矩阵总刚度方程总刚度方程节点位移值

2、节点位移值杆件内力杆件内力单元内力与节点位移间关系单元内力与节点位移间关系引入边界条件引入边界条件节点平衡及变形协调条件节点平衡及变形协调条件基本单元基本未知量3.4.13.4.1网架计算基本假定网架计算基本假定 网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力；网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力；结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很小，符合小变形理论。小，符合小变形理论。 奥运会场馆奥运会场馆鸟巢鸟巢3.4.23.4.2单元刚度矩阵单元刚度矩阵 一等截面空间桁架杆件一等截面空间桁架杆件ijij如图所示，设局部直角坐标如图所示，设局部直角坐标系为系

3、为 ， 轴与轴与ijij杆平行。杆平行。zyxx图图3.24 ij3.24 ij杆的杆端轴力和位移杆的杆端轴力和位移局部直角局部直角坐标下坐标下杆端力向量为：杆端力向量为：杆端位移向量为：杆端位移向量为：杆端力和位移的关系可写为杆端力和位移的关系可写为结构分析中为方便杆结构分析中为方便杆端力和位移的叠加，端力和位移的叠加，应采用统一坐标系，应采用统一坐标系，即结构整体坐标即结构整体坐标xyzxyz。这样需对局部坐标系这样需对局部坐标系下的单元刚度矩阵进下的单元刚度矩阵进行坐标转换。行坐标转换。 图图3.25 3.25 杆件在整体坐标中杆件在整体坐标中整体坐标整体坐标坐标转换坐标转换设杆件设杆件

4、ij ij （即（即 轴）与整体坐标轴）与整体坐标x x，y y，z z轴夹轴夹角的余弦分别为角的余弦分别为l l，m m，n n。由图。由图2525所示的几何关所示的几何关系可以得出系可以得出式中式中lijlijijij杆的长度杆的长度 奥运会场所奥运会场所令令 分别表示杆件分别表示杆件ijij在整在整体坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩体坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。阵。在整体坐标系中在整体坐标系中ijij杆节点力和节点位移间的关杆节点力和节点位移间的关系力为：系力为：两坐标系之间的转换关系为两坐标系之间的转换关系为式中式中TT坐标转换矩阵坐标转换矩阵坐标轴的旋转变换和几何

5、关系可导出：坐标轴的旋转变换和几何关系可导出：并注意到并注意到TT-1-1=T=TT T，得到整体坐标下，得到整体坐标下ijij杆节点杆节点力和位移的关系为：力和位移的关系为： 得到杆件得到杆件ijij在整体坐标系中的单刚矩阵在整体坐标系中的单刚矩阵 ：3.4.33.4.3结构总刚度矩阵及总刚度方程结构总刚度矩阵及总刚度方程 建立了杆件建立了杆件单元刚度矩阵单元刚度矩阵之后，即可按照变形之后，即可按照变形协调及节点内外力平衡条件建立结构的协调及节点内外力平衡条件建立结构的总刚度总刚度矩阵矩阵及相应的总刚度方程。及相应的总刚度方程。 对对公式公式变换为：变换为：FFi i ，FFj j分别为杆件

6、分别为杆件ijij在整体坐标系下在整体坐标系下i i，j j点的杆端力列阵；点的杆端力列阵； i i ，j j分别为杆件分别为杆件ijij在整体坐标系在整体坐标系下下i i，j j点的位移列阵；点的位移列阵； KKijij ，KKjjjj分别为杆件分别为杆件ijij在在i i端，端，j j端发端发生单位位移时，在生单位位移时，在i i端，端，j j端产生的内力；端产生的内力； KKijij ，KKjjjj分别为杆件分别为杆件ijij在在j j端，端，i i端发端发生单位位移时，在生单位位移时，在i i端，端，j j端产生的内力。端产生的内力。 以图以图2626所示的空间桁所示的空间桁架节点架节

7、点 3 3 为例，说为例，说明总刚矩阵及总刚方明总刚矩阵及总刚方程的建立。该桁架共程的建立。该桁架共有有9 9个单元，个单元，5 5个节点，个节点，单元及节点编号如图单元及节点编号如图示。相交于节点示。相交于节点3 3的的杆件有杆件有。图图3.26 3.26 单元及节点编号单元及节点编号变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相等等 ，即：，即：内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力之和等于该节点上的外荷载，即：之和等于该节点上的外荷载，即：连于节点连于节点3 3的杆端力与各节点位移关系为的杆端力与各节点位移关系为

8、：整理得：整理得：上式就是节点上式就是节点3 3得内外力平衡方程，对网架中得得内外力平衡方程，对网架中得所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为结构踪刚度方程，表达式为：结构踪刚度方程，表达式为：对于本例，总刚度矩阵中的第对于本例，总刚度矩阵中的第7 7行至第行至第9 9行的元行的元素表示如下：素表示如下：u总刚矩阵具有下列特点：总刚矩阵具有下列特点：矩阵具有对称性矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出，计算时不必将所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。只列出上三角或下三角即可。矩阵具有稀疏性矩阵具有稀疏性。网架结构每一节点所连杆件数量有限，总刚矩网

9、架结构每一节点所连杆件数量有限，总刚矩阵中除主对角及其附近元素为非零元素外，其阵中除主对角及其附近元素为非零元素外，其余均为零元素。余均为零元素。非零元素集中在主对角线两旁的带状区域内，非零元素集中在主对角线两旁的带状区域内，计算机存贮时，按一维变带宽存放，可有效节计算机存贮时，按一维变带宽存放，可有效节省计算机容量，带宽大小与网架节点编号有关，省计算机容量，带宽大小与网架节点编号有关，进行网架节点编号时，应尽可能使各相关节点进行网架节点编号时，应尽可能使各相关节点号差值缩小。号差值缩小。3.4.43.4.4总刚矩阵中边界条件的处理方法总刚矩阵中边界条件的处理方法 未引入边界条件前，总刚矩阵未

10、引入边界条件前，总刚矩阵KK是奇异的，不是奇异的，不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移后，总刚矩阵为正定矩阵。后，总刚矩阵为正定矩阵。 位移为零位移为零 弹性约束弹性约束 指定位移指定位移 处理方法处理方法3.4.53.4.5网架的边界条件及对称性利用网架的边界条件及对称性利用 u(1)(1)对称性利用对称性利用当网架结构当网架结构( (包括支座包括支座) )和外荷载有和外荷载有n n个对称面时，个对称面时，可利用对称条件只分析网架的可利用对称条件只分析网架的1 12n2n。计算时，对称面内各杆件的截面积应取原截面计算时，对称面内各杆件的截面积应取

11、原截面面积的一半，面积的一半，n n个对称面交线上的中心竖杆，其个对称面交线上的中心竖杆，其截面面积应取原截面面积的截面面积应取原截面面积的1 12n2n。对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位移为零，计算时应在相应方向予以约束。移为零，计算时应在相应方向予以约束。与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为一个节点，并在三个方向予以约束。一个节点，并在三个方向予以约束。交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点

12、，位于对称面时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予以约束。以约束。在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对称位移应取为零。称位移应取为零。u(2)(2)边界条件边界条件有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及变形产生较大影响。变形产生较大影响。网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关，网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关，也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结单向可侧移和双向可侧移的铰

13、接支座，支承结构构( (柱、梁等柱、梁等) )可以是刚性或弹性的。可以是刚性或弹性的。当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条件完全取决于支座构造。件完全取决于支座构造。无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线和法向都无位移。和法向都无位移。单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零，单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零，而边界法向为自由。而边界法向为自由。双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两个水平方向都为自由。个水平方向都为自由。在网架的四角处，至少一个角

14、上的支座必须是无在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对的角可以是双向可侧移的。的角可以是双向可侧移的。这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少于于6 6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。当网架支承在独立柱上时，当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度由于它的弯曲刚度不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然

15、看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承，看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承，支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出：EcEc支承柱的材料弹性模量；支承柱的材料弹性模量；IcyIcy、IcxIcx分别为支承柱绕截面分别为支承柱绕截面y y、x x轴的截面惯轴的截面惯性矩；性矩；HH支承悬臂柱长度。支承悬臂柱长度。3cyccxHI3EK3cxccyHI3EKu(3)(3)斜边界处理斜边界处理斜边界是指与整体坐标斜交的方向有约束的边界。斜边界是指与整体坐标斜交的方向有约束的边界。建筑平面为圆形或多边形的网架会存在斜边界建筑平面为圆形或多边形的网架会存在斜边

16、界( (图图3.27a)3.27a)。矩形平面网架利用对称性时，对称面也存在斜边界矩形平面网架利用对称性时，对称面也存在斜边界( (图图3.27b3.27b，c)c)。图图3.27 3.27 网架的斜边界约束网架的斜边界约束斜边界有两种处理方法，一种是根据边界点的斜边界有两种处理方法，一种是根据边界点的位移约束情况位移约束情况设置具有一定截面积的附加杆，设置具有一定截面积的附加杆，如节点沿边界法线方向位移为零，则该方向设如节点沿边界法线方向位移为零，则该方向设一刚度很大的附加杆，截面积一刚度很大的附加杆，截面积A=10A=106 610108 8( (图图3.27b)3.27b)；如该节点沿边

17、界法线方向为弹性约束，；如该节点沿边界法线方向为弹性约束，则调节附加杆的截面积，使之满足弹性约束条则调节附加杆的截面积，使之满足弹性约束条件。这种处理方法有时会使刚度矩阵病态。件。这种处理方法有时会使刚度矩阵病态。另一种方法是对斜边界上的节点位移做坐标变另一种方法是对斜边界上的节点位移做坐标变换换( (图图3.27c)3.27c)，将在整体坐标下的节点位移向量，将在整体坐标下的节点位移向量变换到任意的斜方向，然后按一般边界条件处变换到任意的斜方向，然后按一般边界条件处理。理。3.4.6 3.4.6 杆件内力杆件内力 引入边界条件后，求解引入边界条件后，求解公式公式，得出各节点的位，得出各节点的

18、位移值，由移值，由公式公式和和公式公式可得出可得出ijij杆端内力为杆端内力为将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达式为式为式中式中 NN杆件轴力，以拉为正。杆件轴力，以拉为正。 eeTeKT=F )(cos)(cos)cos(ijijijijwwvvuulEAN 3.4.7 3.4.7 空间杆系有限元法计算步骤空间杆系有限元法计算步骤(1)(1)根据网架结构、荷载对称性选取计算简图，根据网架结构、荷载对称性选取计算简图，并对其节点和杆件进行编号，为减小总刚矩阵并对其节点和杆件进行编号，为减小总刚矩阵带宽，节点编号应遵循相邻节点号差最小的原带宽，节点编号应遵循相邻节点号差最小的原则。则。(2)(2)计算杆件单元长度及杆件与整体坐标轴夹角计算杆件单元长度及杆件与整体坐标轴夹角余弦；余弦；(3)(3)初选各杆的截面积；初选各杆的截面积；(4)(4)建立局部和整体坐标系下的单