2.3等差数列的前n项和

1、 1+2+3+100=？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101，第3 项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：50502100101 这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。 这个问题，德国著名数学家高斯（1777年1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其

2、爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，

3、不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 进而提出有无简单的方法？ 探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 12321212019121(121) 212s获得算法： + 2 + 3 + + n-1 + n n + n-1 + n-2 + + 2 + 1(n+1) + (n+1) + (n+1) + + (

4、n+1) + (n+1)可知可知(1)2n n进一步探究等差数列进一步探究等差数列 的前的前n n项和的问题项和的问题 naS n = a1 + a2 + a3 + + anS n = an + an-1 + an-2 + + a12S n = (a1+an)+ (a2+an-1) + (a3+an-2)+ (an+a1)由此可得等差数列由此可得等差数列 的前的前n项和公式项和公式: na1()2nnn aaS根据等差数列的定义，上式用a1和d可写成：Sn=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d 把项的次序反过来，Sn又可用an和d表示成：Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d 把、两边

5、分别相加，得：即Sn= a1+a2+ an设等差数列 an前n项的和为SnSn= an+an-1+ a1把项的次序反过来，=n(a1+an)个nnnnnaaaaaaS)()()(2111由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d两个公式的共同点是需知两个公式的共同点是需知 a1 1和和 n n，不同点是前者还需知不同点是前者还需知 an，后者还需知后者还需知 d，解题时需根据已知

6、条件决定选用哪个公式。，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。1、等差数列中a1=5， an=95，n=10，Sn= ；2、等差数列中a1=100，d=-2， n=50,则Sn = ；3、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32，则Sn = ；4、等差数列5，4，3，2，前 项和为-30；抢答题5002550604.5 15 抢答题练习1 练习2 如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解解：由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅层铅笔，且自下而上各层的铅笔

7、数成等差数列，记笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为为an,其中其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项项和的公式，得和的公式，得260 72)1201 (120120S答：V形架上共放着 7 260支铅笔。练习练习3 等差数列等差数列 10， 6， 2，2，前多少项的和是前多少项的和是 54？解解：设题中的等差数列为an，前n项和是 Sn，则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54，根据等差数列前 n项和公式，得5442) 1(10nnn整理，得02762 nn解得 n19，n23 (舍去)因此等差数列-10，-6，-2，2，前9项的和是54。练

8、习练习4：在等差数列：在等差数列an中，中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n1)0.7=32 n=265.604226)325.14(26 S（1）a3= -2，a8=12，求，求S10解解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 105021010210)(10110aaS例例2 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项项的和是的和是1220，由此可以确定这个等差数列的前，由此可以确定这个等差数列的前n项和的项和的公式吗？公式吗？dnnnaSn2)1(1111045310201901

9、220adad解这个关于a1与d方程组，得到6, 41da解： 由题意知S10=310，S20=1 220将它们代入公式得到所以nnnnnSn2362)1(4 这就是说，已知 S10与 S20 可以确定这个数列的前n项的和的公式，这个公式是nnSn23变式训练变式训练 设设 为等差数列为等差数列 的前的前 n项和项和, , 求求nS na410714,30SSS9S解: 由410714,30SSS1114614(1045 )(721 )30adadad即11237810adad解得121ad9193654Sad巩固练习巩固练习1、已知、已知 a6+a9+a12+a15=192,求求 S202、

10、凸、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为边形各内角成等差数列，公差为 10，最小内角，最小内角为为 100，则等于，则等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或或 9 a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20 a1+a20=969609610220)(20120aaS由题意，得由题意，得 : 180) 2( 102) 1( 100nnnn解得解得 n=8 或或 9,但但 n=9时，时，a9=180 ,不合题意，故选（不合题意，故选（B）B解：解：由由7n100, 得得 7100n即即7214n所以所以 n 14所以集合中的元素为：所以集合中的元素为：,1

11、47 , 37 ,27 ,7这个数列是等差数列这个数列是等差数列, 记为记为 an ,a1=7, a14=98 . 因此，因此，7352)987(1414S 练习练习5 求集合求集合M=m | m=7n, n N*,且且m0,d0,Sn有最大值，可由an ,且an+1 ,求得n的值.若a10,Sn有最小值，可由an ,且an+1 ,求得n的值.(2) 利用Sn:Sn=d2n2+(a1-d2)n,利用二次函数配方法求得最值时的 n值.求等差数列前n项和的最值问题有两种基本方法 已知等差数列已知等差数列an中，中，a a1 有最小值有最小值nS又又nN* 当当 或或 ， 有最小值有最小值nS10n

12、=11n=即即110ad= -1110da= -又又10a 已知等差数列已知等差数列an中，中，a1又又10a 数列数列 an 为递增数列为递增数列 当当 或或 ， 有最小值有最小值nS10n=11n=111(1)00nnaandaand+=+-=+ 即即11(1)01011010nn -1011n解得解得 已知等差数列已知等差数列an中，中，a10,S9=S12,则该数列则该数列前多少项和最小？前多少项和最小？解法三：解法三： S 9 = S12即即1291212.aaaaaa+=+1011120aaa+=110a =又又10a 数列数列 an 为递增数列为递增数列 因此数列前因此数列前10

13、项均为负值，项均为负值， ，从第，从第12项项起为正值起为正值110a = 当当 或或 ， 有最小值有最小值nS10n=11n= 已知等差数列已知等差数列an中，中，a10,S9=S12,则该数列则该数列前多少项和最小？前多少项和最小？解法四：解法四： S 9 = S12Sn的图象所在的抛物线的对称轴为的图象所在的抛物线的对称轴为91210.52x+=又又10a 0时，求n 的最大值等差数列奇数项与偶数项的性质等差数列奇数项与偶数项的性质（1）若项数为2n ,则S偶S奇 nd1SnnSaa+奇偶(2)若项数为2n-1,则S奇S偶naS1Snn-奇偶 已知某等差数列共有已知某等差数列共有10项，

14、其奇数项之和项，其奇数项之和为为15,偶数项之和为偶数项之和为30,求公差求公差解： 15S奇，30S偶S5S偶奇 d153d = 一个等差数列的前一个等差数列的前12项和为项和为354,前前12项中偶项中偶数项和与奇数项和之比为数项和与奇数项和之比为32：27,求公差求公差解：27S32SS 奇偶奇偶+S 354S162S192奇偶 又SS6d偶奇5d = 一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为数项之和分别为24和和30,最后一项与第一项之差最后一项与第一项之差为为10.5,求此数列的首项、公差、项数求此数列的首项、公差、项数解：由题目知2

15、124S30212kSaa-=奇偶21S6212kSaa-=偶奇64213(21)22kdkkdd祆=镲镲镲揶眄镲-=镲镲铑代入121()242kkSaa-+=奇得132a = 两等差数列an、bn与前n项和S n、T n之间的关系为2121nnnnaSbT-= 已知两个等差数列已知两个等差数列an ,bn，它们的前，它们的前n项和分别是项和分别是Sn, Tn，若，若 ， 求求 2331nnSnTn99ab解：1179917117991717()22 17337217()23 17 1502aaaaSbbbbT+=+- 已知两个等差数列已知两个等差数列an ,b n，它们的前，它们的前n项项和分别是和分别是An, Bn，若，若 ，求使得，求使得 为整数的正整数为整数的正整数n的个数的个数7453nnAnBn+=+nnab解：212171912711nnnnaAnbBnn-+=+当n=1，2，3，5，11时， 是正整数nnab设设 S n 是等