3周期信号的傅里叶级数表示

1、第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示. . 周期信号的频域分析周期信号的频域分析III. III. LTI系统的频域分析系统的频域分析II. II. 傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质本章主要内容：本章主要内容：3.0 引言引言 Introduction 时域分析方法的基础：时域分析方法的基础：l信号在时域的分解。信号在时域的分解。1)LTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 1.本身简单，且本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。v 从分解信号

2、的角度出发，基本信号单元必须满从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：足两个要求：17681768年生于法国年生于法国18071807年提出年提出“任何周任何周期信号都可以用正弦期信号都可以用正弦函数的级数来表示函数的级数来表示”拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表18221822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件傅里叶（傅里叶（17681830）3.1历历史的回史的回顾顾 （ （A Historical Perspective） ）傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献“周期信号都可以表示

3、为成谐波关系的正弦信号周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有，由时域分析方法有，()( )( )( )( )s tstssty tehdehedH s e() ( )nknknkky nzh kzh k zH z z3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应stenz h n( )h tste( )y tnz y nv 考查考查LTI系统对复指数信号系统对复指数信号 和

4、和 的响应的响应 可见可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明这说明 和和 符合对单元信号的第一项要求。符合对单元信号的第一项要求。stenz特征函数特征函数 (Eigenfunction)v 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数特征函数。系。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的的特征值特征值。结论：结论：v 只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI系

5、统的特征系统的特征函函数。数。v 复指数函数复指数函数 、 是一切是一切LTI系统的特征函系统的特征函数。数。 、 分别是分别是LTI系统与复指数信号相对系统与复指数信号相对应的特征值。应的特征值。( )( )stH sh t edt( ) nkH zh n zstenz( )H s( )H z对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 , ,若能将若能将其表示为下列形式：其表示为下列形式：( )x t x ntststseaeaeatx321321)(利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性 nkkkx na Z ()nkkkky na H Z ZtskkkkesHaty)(

6、)(tskkkeatx)(即：即：tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211所以有所以有111( )s ts teH s e222()s ts teH s e333( )s ts teH s e由于由于 nkkkx na Z ()nkkkky na H Z ZtskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(* *问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？线性组合来表示？例：例：3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，

7、如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一一. 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数0( ) jktkte02k02 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: ，其中每个信号都是以，其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共周期为为周期的，它们的公共周期为 ，且该集合，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。中所有的信号都是彼此独立的。 0, 1, 2,k 显然显然 也是以也是以 为周期的。该级数就是为周期的。该级数就是傅里傅里叶级数叶级数， 称为傅立叶级数的系数。称为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即即: : 连

8、续时间周期信号可以分解成无数多个复指数连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量谐波分量。 称为第称为第k k次谐波，次谐波， 直流分量直流分量02( )x tka0( ),0, 1, 2jktkkx ta ek有有0jkte0a例例1 1：0( )cosx tt001122jtjtee显然该信号中，有两个谐波分量，显然该信号中，有两个谐波分量， 为相应为相应分量的加权因子分量的加权因子即傅立叶系数即傅立叶系数112a例例2 2：00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee在该信号中，有四个谐波分量，即在该信号中，有四个谐波分量，即, 3, 1 k时对应的

9、谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。二二. .频谱频谱（Spectral）的概念的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。线段的位置表示相应的频率。t( )kt 信号集信号集 中

10、的每一个信号，除了成谐波关中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅仅是频率不同。01分量分量 可表示为可表示为0jte12120000001cos()2jtjttee表示为表示为 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为( )x t( )x t0( )jktkkx ta e这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图000a1a2a3a3a2a1agggggggg 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的

11、分布表示出来，即即 的关系。由于的关系。由于信号的频谱完全代表了信号的频谱完全代表了信号信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为这种表示信号的方法称为频域表示法频域表示法。kaka三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 0000*( )jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea ea ea ekkaa或或*kkaa 若若 是实信号是实信号, ,则有则有)()(txtx，于是，于是( )x t若令若令kjkkaA e，则，则 为实数。于是为实数。于是0a0001kkjktjjktjkkkaA eeA ee0001(

12、)()01( )kkkjjktj ktj ktkkkkkkx tA eeaA eA e*kkjjkkkkaaA eA eQ即即：kkAAkk 表明表明 的的模关于模关于 偶对称偶对称，幅角关于幅角关于 奇对称奇对称。kakk0001( )kkjktjjktjkkkx taA eeA ee0012cos()kkkaAkt 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式kkkaBjC 若令若令则则00101( )()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC e0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe*kkaaQkkkkBjCBjC因此因此kkBBkkCC即即 的的

13、实部关于实部关于 偶对称偶对称，虚部关于虚部关于 奇对称奇对称。kakk0001( )()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到将此关系代入，可得到四四. .连续时间傅里叶级数系数的确定连续时间傅里叶级数系数的确定00()( )jntj k ntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有0000()00( )TTjntj kntkkx t edtaedt0( ),jktkkx ta e002T( )x t则有则有如果周期信

14、号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数0000()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt0000( )Tjntnx t edta T00001( )Tjntnax t edtT即即00,Tknkn 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为0001( )jktkTax t edtT0001( )Tax t dtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a0000(

15、)1( )jktkkjktkTx ta eax t edtT0001( )Tax t dtT五五. .周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱1001110 100 00 02sin11TjktjktTkTTkTaedteTjkTkT 101111010010002sin222Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa( )xxxsinsinc( )xxx其中其中10T0Tt( )x t 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。 称为占空比称为占空比ka( )x t102TT0121sin ( )c x1x1014TT不变不变 变化变化1T0T018TT0116T

16、T3.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。傅里叶级数。Convergence of the Fourier series傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在是否存在? ? 级数是否收敛于级数是否收敛于 ? ?ka( )x t Dirichlet条件：条件： ，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值在任何有限区间内，只有有

17、限个极值点，且极值为有限值。为有限值。 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。行级数展开。一一. . 线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )FSkx ta( )FSky tb( )x t( )y

18、tT则则( )( )FSkkAx tBy tAaBb二二. .时移时移: :三三. .反转反转: :0 00()jktFSkx tta e( )FSkx ta若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT则则02T若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )FSkx ta则则()FSkxta 四四. .尺度变换尺度变换: :( )x tT若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )FSkx ta则则 以以 为周期，于是为周期，于是()x at/T a( )FSkkx atba 令令 ，at于是有：于是有：01( )jkkkTbxedaT 五五.

19、 相乘相乘:若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )FSkx ta( )FSky tb( )x t( )y tT则则0/()()jkatFSkTaax atbx at edtT( ) ( )FSlk lkklx t y ta bab01( )( )( ) ( )jktFSkTx ty tCx t y t edtTg001( )jltjktklTlCa ey t edtTg也即也即证明：证明：0()1( )j k ltkllk lTllCay t edta bT( ) ( )FSlk lkklx t y tabab六六. .共轭对称性共轭对称性: :若若 是以是以 为周期

20、的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )FSkx ta则则( )FSkx ta由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有： 或或kkaakkaa对实信号，对实信号，当当 时，时，( )()x txtkkaa（实偶函数）（实偶函数）当当 时，时，( )()x txt kkaa （虚奇函数）（虚奇函数）七七. .Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.1例例1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx0/2/211( )

21、TjktkTat edtTT01( )jktkx teT02T)(tg101T1T-TTt例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲)()()(11TtxTtxtg将其微分后，可利用例将其微分后，可利用例1表示为表示为( )g t 1t01T1T1TT1TT设设( )( )FFkkg tcg tb 由时域微分性质有由时域微分性质有0kkbjkc根据时移特性，有根据时移特性，有0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT由例由例1知知1/kaT02 /T0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT一一. .离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数（DFS） 考

22、察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集: : 该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中为周期，且该集合中只有只有 个信号是彼此独立的。个信号是彼此独立的。 2 jknNkneNN3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示 这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFS），其中其中 也称为周期信号也称为周期信号 的频谱。的频谱。ka x n 将这将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：2 jknNkkNx

23、na e其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数NNNk二二. . 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得：，得：2 jknNkkNx na e2jrnNe22() jrnjk r nNNkkNx n ea e222()() jrnjk r njk r nNNNkknNnN kNkNnNx n ea eae 显然显然 仍是以仍是以 为周期的，对两边求和为周期的，对两边求和2 jrnNx n eN2 jrnNrnNx n eNa22() 21()()0,2()011j k rNjk r njk r nNNNj k rnNnNeeee而而 krkr21 jknNk

24、nNax n eN 显然上式满足显然上式满足 ，即，即 也是以也是以 为周为周期的，或者说期的，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。kNkaakakaNN2 jknNkkNx na e三三. .周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe 显然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasinsinxx121kNaNkrN时时1sin(21)1sinkNNNkN0, 2 ,kNNkkk1220NN1110NN1210NN周期性方

25、波序列的频谱周期性方波序列的频谱u 当当 不变、不变、 时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小幅度减小，谱线间隔变小。u 当当 改变、改变、 不变时，由于不变时，由于 的包络具有的包络具有 的形状，而的形状，而 ，可知其包络可知其包络形状一定形状一定发生变化。发生变化。u当当 时，包络的第一个零点会远离时，包络的第一个零点会远离原点从原点从而使而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期。这一点也与连续时间周期矩形矩形脉冲的情况类似。脉冲的情况类似。1N1NNN kasinsinxx121N1N 周期序列的频谱也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波

26、性离散性、谐波性，当在，当在 区间区间 考查时考查时，也具有具有收敛性收敛性。不同的是，。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有离散时间周期信号的频谱具有周期性周期性。 三三. . DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题不存在收敛问题，也，也不会产生不会产生Gibbs现象现象。ka1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷积周期卷积3.7 DFS的性质的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只选几个加以讨论。 FSkx na FSky nb FSklk llNx n y ncab FSkx na0 00 (1)jknFSkx nx nnea. Paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。信号的各次谐波的总功率。 这表明：这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。率既可以由时域求得，也可以由频域求得。221| |knNkNx naN FSkx na3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统 LTI