高等数学随堂讲义第一型曲面积分

1、一、第一型曲面积分的概念一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算二、第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分的典第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面型物理背景是求物质曲面的质量的质量. 由于定积分、重积由于定积分、重积分、第一型曲线积分与第分、第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属一型曲面积分它们同属“黎曼积分黎曼积分”，因此具有，因此具有相同实质的性质相同实质的性质.1 第一型曲面积分数学分析 第二十二章曲面积分*点击以上标题可直接前往对应内容第一型曲面积分的概念示小曲面块示小曲面块iS的面积，的面积，(,)iii iS为为中任意一点，中任意一点， 12,nTS SS, ,其中其中

2、为曲面块的分割，为曲面块的分割，iS 表表 类似第一型曲线积分类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块当质量分布在某一曲面块 S， 量为极限量为极限 i| |01lim(,),niiiTiS |TTiS为分割为分割 的细度，即为诸的细度，即为诸 中的最大直径中的最大直径. 且且密度函数密度函数 在在 S上连续时，上连续时，( , , )x y z 1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算后退 前进 目录 退出曲面块曲面块 S 的质的质 定义1| |01lim(,),niiiiTifSI 在在 S 上的函数上的函数. iS的面积的面积, 若存在若存在 iS(,)(1, 2,

3、),iiiin 上任取一点上任取一点在在 且与分割且与分割 的取法的取法 无关无关, (,)iiiT 及及1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算设设 S 是空间中可求面积的曲面是空间中可求面积的曲面, 为为 ( , , )f x y z定义定义 个个小曲面块小曲面块(1, 2,),iSin对曲面对曲面 S 作分割作分割 T, 它把它把 S分成分成 n 极限极限记记小曲面块小曲面块iS 以以1| maxiinTS 的的直直径径 ，分割分割 T 的细度的细度则称此极限为则称此极限为 上的上的第一型曲面积分第一型曲面积分, ( , , )f x y zS在在 定义1( , , )

4、d.(1)SIf x y zS于是于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示( , , )1f x y z dSS特别地特别地, 当当 时时,曲面积分曲面积分 就是曲就是曲面块面块 S的面积的面积. ( , , )d.Smx y zS 1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算记作记作 为为: 第一型曲面积分的性质完全类似于第一类曲线积分第一型曲面积分的性质完全类似于第一类曲线积分,请读者自行写出请读者自行写出. 定理22.1第一型曲面积分需要化为二重积分来计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算. 为为 S 上的连续函数上的连续函数, 则

5、则 设有光滑曲面设有光滑曲面:( , ) ,( , ),S zz x yx yD( , , )f x y z22( , , )d( , , ( , ) 1d d .xySDf x y zSf x y z x yzzx y(2)( ( 定理证明与曲线积分的定理定理证明与曲线积分的定理20.1相仿相仿, 不再详述不再详述. ) )1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算1d,SSzS其其中中例例1 计算计算 2222xyza是是球球面面被被 平面平面 (0)zhha所截所截 得的顶得的顶部部 ( (图图22-1) ). xyhOza221 图图 定义域定义域

6、D为为 S222,zaxy解解 曲面曲面 的方程为的方程为 圆圆域域 2222.xyah由于由于 222221,xyazzaxy1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算222dd dSDSax yzaxy因此由公式因此由公式 (2) 求得求得 222202dahrarar 2 ln.aah2222200ddahar rar 22220 ln()ahaar 1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算例例2 计算计算 ()d ,SxyzxyzSS22zxy其中其中 为圆锥面为圆锥面 被圆柱面被圆柱面 222xyax 所割所割 下的部分下的部分 ( (图图22-2)

7、 ). 解解 对于圆锥面对于圆锥面 22,zxy 有有 222 图图yxO22zxy 222xyaxz2222,xyxyzzxyxy1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算2212;xyzz 因此因此Sxy222():().xyDxaya在在平面上的投影为平面上的投影为而而 ()222()d d .xyDxyxyxyx y()dSIxyzxyzS用二重积分的极坐标变换用二重积分的极坐标变换,1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算I 44224 2(sin cossincos )cosdattttt t45420648 2cos d2.15at ta2 co

8、s32022(sin cossincos )ddattttttrr对于由参量形式表示的光滑曲面对于由参量形式表示的光滑曲面 ( , ),:( , ), ( , ),( , ),xx u vSyy u vu vDzz u v1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算在在S上第一型曲面积分的计算公式则为上第一型曲面积分的计算公式则为 2( ( , ), ( , ), ( , )d d ,(3)Df x u vy u v z u vEGFu v( , , )dSf x y zS其中其中 222222,.uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz螺旋面螺旋面( (图图

9、22-3) )的一部分的一部分: :0,02.Duav例例3 计算计算d,SIz S其中其中 S 为为 cos ,:sin , ( , ),xuvSyuvu vDzv223 图图Ozy( ,0,0)ax2 S1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算222uuuExyz解解 先求出先求出 22cossin1,vvuvuvu vFx xy yz z=sin cossin cos0,uvvuvv222vvvGxyz2222sincos1uvuv21;u221.EGFu1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算21d dDIvuu v2220121ln122auuuu

10、 2221ln1.aaaa 然后由公式然后由公式 (3) 求得求得: 2200d1dav vuu22()d ,SJyzSS例例4 计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面 2222.xyza 1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算2222222:,.Szaxyxya 2222221:,;Szaxyxya解解 ( ( 解法一解法一) ) 记记 22222222()2d dxyaa axx yaxy122222()d()dSSJyzSyzS根据计算公式根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换并使用极坐标变换, 可得可得 1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的

11、计算22220022cos2ddaararrar 2202222daarar rar22220daaaattat48.3a222222222coscoscossinsin,Eaaaa1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算sincos ,sinsin ,cos ,xayaz ( , )0, 0,2. S( (解法二解法二) ) 的参数方程为的参数方程为按按 (3) 式计算如下式计算如下: 22()d ,SJyzSS例例4 计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面 2222.xyza 2sin cos sin cosFa 22222222sinsinsincossin,Ga

12、aa2sin cos sin cos0,a 222222(sinsincos)sin d dDJaaa 2422sinsin ;EGFaa2422200d(sincoscos)sinda 242240182sincosd.33aa 1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算22( , , ),( , , ), ( , , ).f x y zxg x y zyx y zS ( (解法三解法三 ) ) 令令 由于由于 关于平面关于平面 Sxy ( , , )x y z对称对称, 且在对称点且在对称点 与与 ( , , )y x zS ( , , )( , , ),f x y zg y x z 处有处有 ( , , )d( , , )d ,SSf x y zSg x y zS22dd .SSxSyS即即 类似地类似地, 有有22dd .SSxSzS1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算22()dSyzS22d3SaS由此得到由此得到因此因此 2222()d3SxyzS223aS 48.3a 质量质量分布的密度函数为分布的密度函数为 ( , , ).x y z 试导出曲面块试导出曲面块 S( , )