8 测量误差的分析与处理

1、第8章 测量误差的分析与处理第8章 测量误差的分析与处理l1.掌握误差的基本概念；掌握误差的基本概念；l2.了解随机误差分布规律；了解随机误差分布规律；l3.掌握可疑数据的取舍准则；掌握可疑数据的取舍准则；l4.了解系统误差消除方法；了解系统误差消除方法；l5.了解测试数据处理方法。了解测试数据处理方法。第8章 测量误差的分析与处理l真值真值（true value）是某个物理量在某一时刻和某一位置的客观存在的真实值。 l真值通常是无法测得的，常用一组重复测量数据的算术算术平均值平均值作为真值的近似值，在实际应用中可以把用更高一级精度仪表的测量值作为真值。 第8章 测量误差的分析与处理l绝对误差

2、绝对误差：是测量值与真值之差。用测量次数无限多时求得的平均值作为真值。l偏差偏差：测量值与多次测量的平均值之差 xx xxdii第8章 测量误差的分析与处理l相对误差相对误差（relative error）是绝对误差与被测真值之比）是绝对误差与被测真值之比值值 。l引用误差引用误差：绝对误差与仪表的测量上限或量程：绝对误差与仪表的测量上限或量程A之比之比 。0001xxxxr%1002Ar工程中常用引用误差来确定仪表的精度等级 第8章 测量误差的分析与处理l按误差的性质及其产生的原因，误差可分为按误差的性质及其产生的原因，误差可分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和过失误差过失误差。l系统

3、误差：在一定测试条件下，凡是误差的数值大小和系统误差：在一定测试条件下，凡是误差的数值大小和符号恒定不变，或者按一定规律变化的误差均称为系统符号恒定不变，或者按一定规律变化的误差均称为系统误差。其特点是带有系统性和方向性误差。其特点是带有系统性和方向性 。第8章 测量误差的分析与处理l仪器不准确、测量时环境发生变化以及操作人员的习惯等等。 第8章 测量误差的分析与处理l未被发现和无法控制的因素所引起的误差 ；l其特点是数值大小和符号均带有随机性和不确定性。 l多次重复测量的方法来减小随机误差 。第8章 测量误差的分析与处理l过失误差（fault error）是一种显然与事实不符的误差，主要是由

4、于操作者粗心大意或操作错误等原因所引起的。 第8章 测量误差的分析与处理l准确度准确度（bias error）指测量值与真值的接近程度，反映测量中系统误差的大小。系统误差越小，准确度越高。l精密度精密度（precision）指在相同条件下对同一被测量多次重复测量时，测量值的重复程度。反映测量中随机误差的大小。随机误差越小，精密度越高。l精确度精确度（accuracy）是测量准确度和精密度的综合反映。在消除了系统误差的情况下，精确度和精密度是一致的，统称为精度。 第8章 测量误差的分析与处理(a) 准确度和精密度都高准确度和精密度都高 (b) 精密度高，但准确度不高精密度高，但准确度不高 (c)

5、 准确度和精密度都差准确度和精密度都差 精度图例精度图例第8章 测量误差的分析与处理l随机误差就每一个个体而言，是没有规律可循和无法控制的，但就误差的总体而言服从统计规律。 l正态分布规律指出了随机误差的规律性，是进行误差分析的依据。第8章 测量误差的分析与处理l正态（高斯）分布的概率密度函数为 222)(21)(xexf1) 对称性对称性 绝对值相等的正负误差出现的概率相绝对值相等的正负误差出现的概率相等；等；2) 有界性有界性 在一定测量条件下，随机误差的绝对在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的范围；值不会超过一定的范围；3) 单峰性单峰性 绝对值小的随机误差比绝对值大的随绝对

6、值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的机会多；机误差出现的机会多；4) 补偿性补偿性 当测量次数增加到无限多时，随机误当测量次数增加到无限多时，随机误差的算术平均值趋于零。差的算术平均值趋于零。 误差分析中常用标准差的倍数表示概率分布的区间，误差分析中常用标准差的倍数表示概率分布的区间， 称为置信区间称为置信区间 。),(cc第8章 测量误差的分析与处理(1) 中心趋势的度量中心趋势的度量l平均值平均值，对于一个样本，对于一个样本其中，其中，xi是样本数据的值，是样本数据的值，n是测量的次数。是测量的次数。l对于有确定的单元数对于有确定的单元数N和值和值xi的总体，的总体，平均值平均值nii

7、nnxnxxxx121NiiNNxNxxx121第8章 测量误差的分析与处理l被测量按大小次序排列，被测量按大小次序排列，中位数中位数是序列中间的值。是序列中间的值。如果元素的数量为偶数，中位数是两个中心值的如果元素的数量为偶数，中位数是两个中心值的平均值。平均值。l众数众数是对应于事件发生概率峰值的随机变量的值。是对应于事件发生概率峰值的随机变量的值。在离散样本空间，众数是出现频率最高的值。在在离散样本空间，众数是出现频率最高的值。在连续的样本空间，众数为频率最高的数据带的中连续的样本空间，众数为频率最高的数据带的中点。点。 第8章 测量误差的分析与处理xxdiiNiiNx12)(总体的标准

8、差总体的标准差样本标准差样本标准差niinxxS121)(用样本的数据估计总体标准离差时，常用样用样本的数据估计总体标准离差时，常用样 本标准差。而本标准差。而2称为总体方差，称为总体方差，S2称为样本称为样本方差。方差。 平均偏差平均偏差偏差偏差n1iiindd第8章 测量误差的分析与处理l通过实验所获得的大量数据 ，如果没有充分理由去掉这些数据，则应该根据误差理论或判断准则决定取舍。l目前常用的判断准则有两种：莱因达准则和肖维纳准则。 第8章 测量误差的分析与处理l莱因达准则规定如果实测数据的误差l则为异常数据舍弃。3iixx10n测量次数测量次数 时不可采用莱因达准则。时不可采用莱因达准

9、则。第8章 测量误差的分析与处理l在n次测量中，某一误差可能出现的次数小于半次就被认为是过失误差。 l根据这一准则，我们可以推出相应的置信区间 。ln和c之间的关系列于表8.3 。l根据肖维纳准则，若某次测量所得误差绝对值大于相应的置信限，应予舍弃。),(cc第8章 测量误差的分析与处理l1) 求出测量数据的算术平均值 及标准差(均方根误差) ；l2) 将可疑数据的误差 与上述准则作比较，凡绝对值大于 或 的就舍弃；l3) 舍弃数据后，重复上述过程，看是否还有超出上述准则的数据需要舍弃。xi3cniinxxS121)(NiiNx12)(第8章 测量误差的分析与处理任何测量，首先要把系统误差限制

10、在允许范围任何测量，首先要把系统误差限制在允许范围内。如果无法补偿系统误差，则应修正测量结内。如果无法补偿系统误差，则应修正测量结果。果。恒值系统误差恒值系统误差（固定系统误差）。测量中大小（固定系统误差）。测量中大小 和符号都不变。和符号都不变。变值系统误差变值系统误差。在测量中大小或符号按一定规。在测量中大小或符号按一定规律变化，变化规律可分为三种：律变化，变化规律可分为三种： 线性，周期性，复杂变化，例如指数规律。线性，周期性，复杂变化，例如指数规律。第8章 测量误差的分析与处理nxxx,210 在多次重复测量时存在恒值误差，则一组测量值中的每一个都含有恒值系统误差于是，不含系统误差的测

11、量值应为 0iixxni,2 , 1 其算术平均值为0101)(11xxnxnxniinii或写成 0 xxxx00这说明测量值的算术平均值中包含恒值系统误差，应对平均值加以修正，以不含系统误差的平均值 作为测量结果。修正的方法 是在测量结果中引入与系统误差 大小相等而符号相反的修正值 。0.2100.28.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理由偏差的定义，有 xxvii)()(00 xxixxixixi可见，用包含恒值系统误差的测量值 计算偏差与用不包含恒值系统误差的测量值 计算偏差的结果一样。8.3 系统误差不影响随机误差的分散性及精度参数第8章 测量误差的分析与处理设有一系列测得值

12、nxxx,21，并含有变值系统误差 则不含系统误差的测量值为iiixxni,2 , 1 其平均值为niiiniixnxnx11)(11niiniinxn1111 x 或写为 xxn,21这说明，如果测量中含有变值系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应在消除或校正后，以x作为测量结果。 8.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理)()(iiiiixxxxd)()(iiixx)(iid与用测量值 ix计算出的偏差 id不相同。上式表明，用测量值 xi计算出的偏差因受变值系统误差的影响，影响测量结果的精确度。影响测量结果的精确度。8.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理恒值恒值系统误

13、差判别方法系统误差判别方法（1）对比检定法）对比检定法 在确认没有明显变值系统误差的前提下，可以改用更理想的在确认没有明显变值系统误差的前提下，可以改用更理想的测量条件，进行检定性测量。以此两种不同的测量条件对同一量测量条件，进行检定性测量。以此两种不同的测量条件对同一量值进行次数相同的重复测量，求出两者算术平均值之差，则该差值进行次数相同的重复测量，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。8.3 系统误差系统误差第8章 测量误差的分析与处理 8.3.2.1 判别系统误差的方法变值变值系统误差判别方法系统误差判别方法(1)

14、(1) 偏差观察法偏差观察法 等精度测量，按测量顺序把测得值及其偏差值列表，观等精度测量，按测量顺序把测得值及其偏差值列表，观察察离差值及其符号的变化规律离差值及其符号的变化规律。l若偏差数值递增或递减，测量开始和结束时符号相反，则该若偏差数值递增或递减，测量开始和结束时符号相反，则该测量列含有测量列含有线性系统误差线性系统误差。l若在某测量条件下，偏差基本上保持相同符号，变为另一条若在某测量条件下，偏差基本上保持相同符号，变为另一条件时均变号，则表明测量中含有随测量条件而变的件时均变号，则表明测量中含有随测量条件而变的恒值系统恒值系统误差误差。l若偏差的符号有规律地由正变负，再由负变正，或循

15、环交替若偏差的符号有规律地由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判定该测量序列含有变化多次，则可判定该测量序列含有周期性误差周期性误差。8.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理l将偏偏差分为前半组k个和后半组k个，两者求和后相减，有nkiikiinkikinkiikiidddd111111)()(nkiikii11)()(n足够大时足够大时,该项约为该项约为0。因线性系统误差前后两组的符号相反，所以值随n增大。若值显著不为零，则说明测量列中含有线性系统误差。8.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理l只要测量列满足下式，就认为该测量列含有周期性系统误差。21111nddniii8

16、.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理l1) 代替法：在对未知量进行测量以后，选择与未知量大小适当的可调的已知量重新进行一次测量，并保持测量结果不变，则可认为被测的未知量就等于这个已知量。 l2) 相消法 ：对同一被测量进行两次读数，采用适当测量方法使已经固定的系统误差在测量中一次出现正，一次出现负，从而相对抵消。 l3) 对换法 ：采用交换测量的方法来消除恒值系统误差 。M110gM211g21MMM 8.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理l对称测量法。对称测量法。(3) 周期性变化系统误差的消除l取相隔半周期两次测量的平均值为测量结果。取相隔半周期两次测量的平均值为测量结果。11

17、sina112sin-)sin(aa12208.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理l系统误差或偏差代数和的绝对值不超过测量结果总误差绝对值最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已被消除 。xxx005. 010021xxx05. 01021当当 用两位有效数字表示时：用两位有效数字表示时： x当当 用用1 1位有效数字表示时位有效数字表示时 x8.3 系统误差第8章 测量误差的分析与处理l消除系统误差的措施消除系统误差的措施从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对

18、测量过程中可能产生系统误差的环节作仔细分析，并在测对测量过程中可能产生系统误差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。量前就将误差从产生根源上加以消除。用修正方法消除系统误差用修正方法消除系统误差预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同、符号相反的值作或误差曲线，然后取与误差数值大小相同、符号相反的值作为修正值。为修正值。 8.3 系统误差系统误差第8章 测量误差的分析与处理l有些物理量是不能或不易直接测量的 ，但是它们常常与那些能够直接测量的物理量间存在着一定的函数关系 ，因此可以通过计算去求得它们的误差。 第8章