2016-2017学年4-4一些常见曲线的参数方程学案

1、精品资源课堂导学三点剖析1 .定义的应用【例1】已知一个圆的摆线过一定点（1, 0）,请写出该摆线的参数方程.一_ x = r俾一sin中），分析:根据圆的摆线的参数万程的表达式（4为参数）,可知只需求出其中的y = r（1 _ cos 中）r,也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点 （1, 0）代入参数方程求出 r值再代入参数方程的表达式.解:令 r（1-cos 4 ）=0可得 cos（j）=1.，一 一一一， 1所以（）=2卜兀（k Z）代入可得 x=r（2k ?-sin2k兀）=惭以r= .2 k二又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.所以应有k0且k C Z,即k

2、C N .所以所求摆线的参数方程是1-x =(中-sin 中),（力为参数）（其中kC N*）.2kn1-y =(1 _ cos 中). 2kn点评:本题易错点是误把点（1, 0）中的1或0当成。的值，代入参数方程中求出x和y的值,再计算r的值；或者在求出 cos（）=1后，直接得出（）=0从而导致答案不全面.2 .求距离、交点及参数方程例2已知圆的直径为 2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是二和二，求A、B两点的距离.3 2分析:首先根据圆的直彳5可知半径为 1,写出渐开线的标准参数方程， 再根据A、B对应的参 数代入参数方程可得对应的 A、B两点的坐标，然后使用

3、两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是 1,所以对应的渐开线参数方程是x =cos中+中sin中,y =sin卬一中cos中（。为参数），分别把冗 jij =一和j =一代入,32可得A、B两点的坐标分别为AB（”那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为/33二二、2 3 3 -二八 2 21AB1=（ （6 一2）（6一1）=1 . (13-6.3)二2 -6二 -36 3 63, 6即点A、B之间的距离为1(13 -6 3)二2 -6： -36. 3 63.6温馨提示本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义与参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定

4、义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.各个击破 类题演练1 写出半径为2的基圆的渐开线方程. 解:半径为2的基圆的渐开线方程为；x =2(cos邛 + 邛 sin 平)，(4为参数).y =2(sin 中,cos 甲)变式提升1 求摆线3X -2(t -sint),(0 w t w2n直线y=2的交点的直角坐标.y =2(1 -cost)解:y=2 时,2=2 (1-cost) , cost=0.0w t &

5、 2-ti t= 一 或一兀22 xi=2(lsin)= -2,X2=2(一乃sin 兀)=3 兀 +2.22，交点的直角坐标为(上2, 2), (3兀+2，2).温馨提示：求交点坐标时，要避免出现增根和缺根的情况。类题演练2已知一个圆的摆线过一定点(2, 0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解：令 y=0,得 r(1-cos 4 )=0,即得 cos 4 =1.所以 0,所以r=工(keN*).易知，当k=1时,r最大，最大值为 工. k 二二代入即可得圆的摆线的参数方程是1 44x =(中-sin中)，JT( 4为参数),y = (1 cos 中) n圆的渐开线的参数方程是1. .x = (cos、-:sin ),7r( 4为参数).y (sin ；： - cos )ji变式提升2如下图，ABCD是边长为1的正方形，曲线 AEFGH 叫做 正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH-的圆心依次按 B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH的长是D.6兀A.3兀B.4兀解析：如题图根据渐开线的定义可知，检是半径为1的1圆周长，长度为二，继