高一数学必修四 25平面向量应用举例

1、2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法求求证证：平平行行四四边边形形两两条条对对角角线线的的平平方方和和等等于于相相邻邻两两边边的的平平方方和和的的两两倍倍。DACB2|AB ,ABa ADb 证证明明：设设2|a 2|AD 2|b 22|ACab 2()ab 222aa bb 2a 2b 22|DBab 2()ab 222aa bb 22|ACDB 222()ab 222()ABAD . 1例所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.几何问题向量化几何问题向量化向量运算关系化向量运算关系

2、化向量关系几何化向量关系几何化利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问题举例用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻

3、译翻译”成几何元素。成几何元素。例例2 2 如图，如图， ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是AD AD 、 DCDC边的中点，边的中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R 、T T两点，两点，你能发现你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT利用向量利用向量解决平面解决平面几何问题几何问题举例举例简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化 例例2如图，在如图，在ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别与分别与AC交于点交于点R、T两

4、点两点.你能发现你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？解：解：ABDCEFRTab,bADaAB 设设由图可猜想：由图可猜想：AR=RT=TC. 证明如下：证明如下：则由则由/,ARAC 得得 ARxAC .xR ()x ab 又又ARAEER 12bER 而而/,EREB ERyEB 1(),2y ab .yR 11()22ARby ab ,xaxb1,.2yyab yR 由向量基本定理得由向量基本定理得12xyyx 1.3xy1.3ARAC ABDCEFRTab同理可证：同理可证：1.3TCAC 1.3ARAC 于是于是1.3RTAC 故猜想：故猜想：AR=RT=TC 成立成

5、立. 2.5.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例探究（一）：探究（一）：向量在力学中的应用向量在力学中的应用思考思考1 1：如图，用两条成如图，用两条成120120角的等长角的等长的绳子悬挂一个重量是的绳子悬挂一个重量是10N10N的灯具，根据的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？是多少？120120O OC CB BA A10N10N| |F1 1|=|=|F2 2|=10N|=10NF1 1+ +F2 2+ +G= =0思考思考2 2：两个人共提一个旅行包，或

6、在单两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？有什么关系？夹角越大越费力夹角越大越费力.思考思考3 3：假设两只手臂的拉力大小相等，假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为夹角为，那么，那么| |F1 1| |、| |G| |、之间的之间的关系如何？关系如何？FF1F2G 上述关系表明，若重力上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于一定，则拉力的大小是关于夹角夹角的函数的函数. .并且拉力大小和夹角大小成正比例关系并且拉力大小和夹角大小成正比例关系. .00，1

7、80180) )2cos21GF 探究（二）：探究（二）：向量在运动学中的应用向量在运动学中的应用思考思考1 1：如图，一条河的两岸平行，一艘如图，一条河的两岸平行，一艘船从船从A A处出发到河对岸，已知船在静水中处出发到河对岸，已知船在静水中的速度的速度| |v1 1| |1010/h/h，水流速度，水流速度| |v2 2| | 2 2/h/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度的实际速度v的大小是多少？的大小是多少？A Ahkmvvvvv/10422121思考思考2 2：如果船沿与上游河岸成如果船沿与上游河岸成6060方向方向行驶，那么船的实际速度行驶，那

8、么船的实际速度v的大小是多少？的大小是多少？v1v2v6060hkmvhkmv/2/1021hkmvvvvv/8422121思考思考3 3：船应沿什么方向行驶，才能使航船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？程最短？v1v2 2vA AB BC C与上游河岸的夹角为与上游河岸的夹角为78.7378.73. .思考思考4 4：如果河的宽度如果河的宽度d d500m500m，那么船，那么船行驶到对岸至少要几分钟？行驶到对岸至少要几分钟？0.5603.1(min).| |96dtv所以hkmvhkmv/2/1021“向量法解决几何问题向量法解决几何问题”的两个角度：的两个角度： 非坐标角度和坐标角度非坐

9、标角度和坐标角度例例3.如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，P是对角线是对角线BD上的一点，上的一点，PECF是矩形，用向量证明：是矩形，用向量证明：（1）PA=EF（2）PAEFABCDPEF1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三条中的三条中线；线；求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点2、已知已知ABC的三个顶点的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，则重心，则重心G的坐标为的坐标为_3、用向量法证明：三角形三条高线交于一、用向量法证明：三角形三条高线交于一点点1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三条中线；的三条中线；求证：求证：AD

10、、BE、CF交于一点交于一点证明：如图证明：如图AD、BE相交于点相交于点G，联结，联结DEABCDEGF易知易知GDEGAB，DEAB12所以，所以，BGBE23CGCB+BGCB+BE23CB+ ( CA- - CB)2312 ( CB+CA)131、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三条中线；的三条中线；求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点因此因此C、G、F三点在同一直线上三点在同一直线上所以，所以，AD、BE、CF交于一点交于一点所以所以CG CF，23 ( CBCA)13即即CG又因为又因为CF(CBCA)12ABCDEGF2、已知、已知ABC的三个顶点的三个顶点A(

11、x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，则重心，则重心G的坐标为的坐标为_(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OGOA AG OA AD23OA( ABAC )13OA( OBOAOCOA)13OAOBOC3解：设原点为解：设原点为O，则，则3 3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点、用向量法证明：三角形三条高线交于一点ABCDEHF证明：设证明：设H是高线是高线BE、CF的交点，的交点，且设且设ABa，ACb，AHh，则有则有BHha，CHhb，BCba所以所以( ha )b ( hb )a 0化简得化简得 h( ab )0AHBC因为因为BHAC，CHAB所以，三角形三

12、条高线交于一点所以，三角形三条高线交于一点三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示外外重重三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示内内垂垂例例1、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)(ACABOAOP点拨：由点拨：由得出得出 由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一一定经过定经过ABC的重心。的重心。)(ACABOAOP)(ACABAPC变式变式1、已知、已知P是平面上一定点

13、，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，点共线的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心点拨：点拨：由由得出得出 故故O是是ABC的重心。的重心。300POPAPBPCPOPAPOPBPOPCAOBOCO 13POPAPBPC 13POPAPBPC C变式变式2、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)si

14、nsin(，CACACBABABOAOP点拨：在点拨：在ABC中，由正弦定理有中，由正弦定理有令令则则由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过一定经过ABC的重心。的重心。CACBABsinsinCACBABtsinsin)0)(，tACABtOAOP)(ACABtAP)0)sinsin(，CACACBABABOAOPC例例2、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)co

15、scos(2，CACACBABABOCOBOP点拨：取点拨：取BCBC的中点的中点D D，则，则由已知条件可得由已知条件可得又因为又因为所以所以所以所以DPDP是是BCBC的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以P P点的轨迹一定经过点的轨迹一定经过ABCABC的外心。的外心。2OCOBOD)0)coscos(，CACACBABABDP()()0coscos-+AB BCAC BCBC DPBCBCABBACC DPBC )0)coscos(，CACACBABABDPA外心的向量表示外心的向量表示结论结论2：ABC所在平面一定点所在平面一定点O，动点，动点P满足满足 P点轨迹经过点轨迹经过ABC的

16、外心的外心结论结论1：O是三角形的外心是三角形的外心 或或OCOBOA222OCOBOA)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP例例3、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP点拨：由已知等式可知点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以在等式的两边同时乘以即即故点故点P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的垂心。的垂心。)0)cosco

17、s(，CACACBABABAPBC()()0coscosAB BCAC BCBC APBCBCABBACC BCAP )0)coscos(，CACACBABABOAOPD变式变式3、已知、已知O是平面上一点，是平面上一点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，点线的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心OAOCOCOBOBOA点拨：点拨：OA OBOB OC 0-OA OB OB OC 0-OA OCOB 0CA OB 同理可得同理可得CAOB CBOAABOC D垂心的向量表示垂心的向量表示结论结论1 1：O

18、 O是是ABCABC的垂心的充要条件是的垂心的充要条件是OAOCOCOBOBOA结论结论2、动点、动点P满足满足P点的轨迹经过点的轨迹经过ABC的垂心的垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP例例4 4、已知已知O O是平面上一点是平面上一点, ,A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点的三个点, ,(a,b,c(a,b,c是是ABCABC的的A,B,CA,B,C所对的三边所对的三边) )点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（ ）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心点拨点拨：由已知条件可得：由已知条件可

19、得同理可得同理可得0OCcOBbOAa0+aOAb OA ABc OA AC ()abc OAbABcAC ()abc OBbBAcBC ()abc OCbCAcCB 则则O O点一定是点一定是ABCABC的内心的内心B 例例5 5、已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足且且 ，则，则ABCABC为（为（ ）A A 三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D D等边三角形等边三角形点拨：点拨：从从 可知可知 的平分线的平分线垂垂直对边直对边BCBC，故，故ABCABC为等腰三角形；为等腰三角形；可知可知cosA= cosA

20、= ，所以，所以 =60 =60，故故ABCABC为等边三角形。为等边三角形。ABAC0)(BCACACABAB21)(ACACABAB0)(BCACACABABBAC21)(ACACABAB21A从从D例例6 6、已知已知O O是平面上一点是平面上一点, ,A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点的三个点, ,点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（ ）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心则则O O点一定是点一定是ABCABC的内心的内心0CBACCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA四心逐个四心逐个突破突破BABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证：设证：设例例7、已知已知O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足:问：问：O是是ABC的的_心。心。222222| .OABCOBCAOCAB