波函数和波动方程

1、第二章 波函数和波动方程w 德布罗意假设w 不确定关系w 波函数的统计诠释w 态叠加原理w 薛定谔方程量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程德布罗意假设 (1)w 普朗克与爱因斯坦的光量子论考虑到光具有波动与粒子两重性。w 玻尔的量子化条件w 德布罗意根据类比的方法，设想实物粒子也可能有粒子与波动两重性。 物质波物质波量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程德布罗意假设 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 粒子对动量p对应w 对能量e对应phe宏观领域的物质波w 一颗质量为10g的子弹，飞行速度为900ms-1m104 . 790001. 010626. 63534

2、mvh波动性不显著量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程微观领域的物质波w 动能为70mev的质子(mc2=938.3mev)fm4 . 3mev703 .9382kevnm24. 122kemchcphkkmepmvemvp2 2 ,2在非相对论情形下波动性可测量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程计算单位m10fm1-15j106 . 1ev119kev1.24nmhcev197nmmev197fmcev1.44nmmev1.44fm4/02ekev511.511mev02cme量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程戴维孙-革末实验量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动

3、方程布喇格散射公式sinan braggs formulaw n=1,2,3,w a为横竖晶格常数量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的德布罗意波长 (1)w 非相对论近似下nm(ev)226. 1(ev)ev10511. 02evnm1240262kkkeeeecmhcph量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的德布罗意波长 (2)(ev)nm226. 1sinkeananw 镍晶体 a=0.215nmw 若入射电子能量ek=54evn776. 0sin1 n09 .50与实验结果吻合量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程微观粒子的状态w 经典力学的决定性观念经典

4、力学中，对于一个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始条件，即t=0时的确切位置与动量， 那么在以后任意时刻粒子(或系统)的位置 与动量 唯一确定的。w 量子力学中与物质波相联系的不仅有一个波长，而且还有一个振幅， 称之为波函数波函数。量子力学中微观粒子的状态用波函数 表示。 tp trtr,量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 波函数的数学描述?w 波函数的物理意义?我们的问题量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程自由电子对应的物质波w 戴维孙-革末实验的结果可以由两个假设解决 布喇格散射公式 德布罗意假设 w x射线散射实验的结果可以由布喇格散射解释w 根据类比，我们假设

5、自由电子对应的物质波可以由平面波的形式描述。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程描述自由粒子的波函数 (1)w 我们继续假定自由粒子对应的物质波由平面波的形式描述。w 一维自由粒子的波函数由平面波的形式描述。而且我们采用复数的形式。)()(etpxiwtkxiee量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程描述自由粒子的波函数 (2)()(etpxiwtkxiee单色波确定动量和能量w 对于自由粒子hekhp ,量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程子弹的双缝实验 (1)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程子弹的双缝实验 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程

6、水波的双缝实验 (1)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程水波的双缝实验 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的双缝实验 (1)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的双缝实验 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程波粒两象性w 描述单个粒子的波函数为 ，是位置 和时间t的函数 ),(trrw 电子的双缝实验中, 从屏上的衍射花纹得到的波长和德布罗意波一致，证实电子的波动性。w 在经典理论中，粒子性和波动性是排斥的。w 在量子力学中，粒子性和波动性兼容。 波粒两象性波粒两象性w 波函数是波粒两象性的体现。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方

7、程电子的双缝实验 (3)(a) 28 electrons(b) 1,000 electrons(c) 10,000 electrons(d) millions of electrons量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 如果在同一时刻电子几乎一个一个地通过狭缝，在足够长的时间后同样得到衍射花纹，说明波并非由大量粒子组成。w 衍射花纹也是大量粒子同一时间条件的统计结果w 在底板上r r点附近衍射花纹的强度在r r点附近感光点子的数目在r r点附近出现的电子的数目电子出现在r r点附近的几率tr,几率密度量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程波函数的统计诠释 (1)w 量子力学中

8、，对于微观粒子，我们不能同时确定它们的位置和动量大量粒子处于同一时间条件的统计结果 玻恩的统计解释玻恩的统计解释给定时刻给定时刻t， 在体积元在体积元 到到 中发现粒子的几率由下式决定中发现粒子的几率由下式决定rdtrdp2),(rrdr量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程波函数的统计诠释 (2)w 波函数的几率解释不是，也不可能从什么地方推导出来。w 波函数的几率解释是量子力学的基本原理之一，也就是一个基本假设。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程归一化条件w 要求波函数有界单值连续全a rdtr ,2全 rdtr1 ,2tratr,1,量子力学与原子核物理第二章 波函数和波

9、动方程不确定关系 (1)2/xpx 海森伯不确定关系海森伯不确定关系2/etw 对于微观粒子，我们不能同时确定它们的位置和动量。w 另外的表达方式量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程不确定关系 (2)w px=0 x w x=0 px 例如具有确定动量的自由粒子，其波函数为平面波形式，位置是完全不确定的。2/xpx量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程2/ pxax app2 21218221821222222222222amamamamxmmpeeeeeee谐振子的基态能级量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程pxrx rpp/ rermrempeee0222022424

10、2202324 0rermdrdee2204 emreev6 .13422022emee氢原子的基态能级量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程态叠加原理 (1)w 若体系处于 描述的状态下，测量某力学量a所得结果是一个确切的值确切的值 w 若体系处于 描述的状态下，测量某力学量a所得结果是一个确切的值确切的值 (n=1,2,)11ananw 为常数,1nccw 则 称为 的线性叠加态。 态也是体系可能处于的状态。,1nnnccc2211量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程态叠加原理 (2)w 在 态下，测量a所得结果既可能为 ，也可能为 . 而测得 的相对几率是完全确定的，它们分

11、别是1ana,1naa, , ,221ncc量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程光子的偏振态的叠加 (1)w 设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气石晶片w 情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束将全部通过。w 情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束将被完全吸收。w 情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部分通过:20cosii 量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w现在考虑只有一个光子入射w情况(a) 光子将通过晶片，能量及偏振态均不发生变化。w情况(b) 光子将被完全吸收，晶片后观测不到光子。w情况(c) 在晶片后有时观测到一个整个光子，有时没有。光子通过晶

12、片的几率为2cossincos/量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程光子的偏振态的叠加 (2)相同态的叠加21cccw 是两个相同状态的线性叠加。w ,和描述的相对几率分布是完全相同的。w 在量子力学中,和描述体系的同一个状态。w 这是和经典力学不同的地方。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程薛定谔方程的引入 (1)(31),(etpxieltxw 描述一维自由粒子 的波函数mpe22w 非相对论情形),(),(),(),(),(),(2222txpxtxtxpxtxitxettxi量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程薛定谔方程的引入 (2)w 描述一维自由粒子的波函数

13、满足下述波动方程ttxixtxm),(),(2222w 薛定谔假设假设在势场v(x,t)中运动的一维自由粒子 的波函数满足v(x,t)=0量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程薛定谔方程的引入 (3)w 在三维情况下，薛定谔继续假设下式成立2222222zyx其中w 上式称为薛定谔方程，是描述体系波函数 满足的波动方程),(tr量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 边界条件 波函数 及其导数 在边界处保持连续。w 归一化条件 粒子在整个空间出现的几率为1边界条件和归一化条件)(rxr/ )(1)(32rdt , r全空间量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (

14、1)ttritrvm),(),()2(22w s方程：)()(*rvrv其中),(*trw 为 的复数共轭, 它满足),(trttritrvm),( ),()2(*22量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (2)tititi*)(）（*22*22m）（*22m)2()2(22*22vmvm量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (3),(),(),(*2tttxxx)(2mij定义：0jt则有：量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (4),(),(),(*2tttxxx)(2mijw 我们称为几率密度，w j具有几率流密度的意义，为矢量。 量子力学与原子核物理第二章 波函