复数的概念及运算

1、第第31讲讲复数的概念及运算复数的概念及运算【学习目标】【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用会应用2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用何意义，会简单应用【基础检测】 1若z(x21)2(x1)i 为纯虚数，则实数x的值为( A ) A1 B0 C1 D1 或 1 a2i2已知bi(a，bR)，其中 i 为虚i数单位，则ab(

2、 B ) A1 B1 C2 D3 13i3i 是虚数单位，复数( A ) 12iA1i B55i C55i D1i ?12i? 2i?4复数等于( ) 2B?1i?5555A. B C. i D i 2222 5若复数(1i)z13i，则复数z在复5平面上对应的点在第 三 象限，|z| . 【知识要点】 1复数的概念 (1)复数：我们把集合 Cabi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做 复数 其中 i 叫做虚数单位 ，全体复数所组成的集合C 叫做 复数集 (2)复数的代数形式： 复数通常用字母z表示， 即zabi(a，bR) 这代数形式一表示形式叫做复数的 其中的a与b分别叫做复

3、数z的实部与虚部 的充要条件是 a c 且 b d ，即abicdi? ac且bd. (4)复数的分类：对于复数abi， 当且仅当 时，它是实数； (3)复数的相等：复数z1abi 与z2cdi(其中a、b、c、dR)相等b0b 当且仅当 a 0 时，它是实数 0； 当b0 时，叫做 虚数 ； 纯虚数当a0 且b0 时，叫做 2复数的几何意义 (1)复平面：如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi 可用点Z (a，b)表示， 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数与点：复数集C和复平面

4、内所有点所成的集合是一一对应的， 即复数zabi一一对应这 复平面内的点Z ?a，b? ，是复数的一种几何意义 (3)复数与向量：复数集 C 与复平面内的向量所成的集合 也 是 一 一 对 应 的 ( 实 数 0 与 零 向 量 对 应 ) ， 即?a，b?，这是复数的复数zabi一一对应 平面向量OZ另一种几何意义(如图所示) 即有： 的模r叫做复数zabi 的 模(4)复数的模： 向量OZ ，记作|z|或|abi|.特别地， 若b0， 则zabia是 实数 ，它的模为|a|(即a的绝对值) 22a ?b显然，|z|abi|r (r0，rR) (5)复平面内两点间距离公式：设复数z1，z2对

5、应的点分别为A，B，则|AB|z1z2|. 3复数的加减法及其几何意义 (1)复数的加法 法则： 设z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么z1z2(abi)(cdi) (a c ) ( b d )i ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数 运算律：? z1，z2，z3C，有z1z2z2z1， (z1z2)z3z1(z2z3) 1，OZ2分别与复数abi，c 几何意义：设OZ1(a，b)，OZ2(c，d)，由平面向di 对应，则有OZ1OZ2(ac，bd)，即OZ1量的坐标运算，有OZ2是与复数(ac)(bd)i 对应的向量，故复数的加OZ法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意

6、义 (2)复数的减法 (ac)(bd)i法则：(abi)(cdi) ，显然，两个复数的差是一个确定的复数 减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角2 (1OZ ) ， d b ， c a形法则，如图所示，OZ2与复数 (a1OZ 对应 d )i ( b ) c 即向量OZ 4复数的乘除法 (1)复数的乘法 法则：设z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbci2(acbd )(bcad )iad ibd i . 由此可见，两个复数相乘，类似于两个多2项式相乘，只要在所得的结果中把 i 换成1，并且把实部与虚部分别合并即可显然，两个复数的积仍是一个确定的复数

7、运算律：? z1，z2，z3C，有： z1z2z2z1， (z1z2)z3z1(z2z3)， z1(z2z3)z1z2z1z3. (2)共轭复数 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身) 共轭复数如abi 与abi 互为 复数z的共轭复数常记为z. 几何意义：若z1与z2是共轭复数，那么在复平面内z1与z2对应的点关于实轴对称 运算：z1abi 与z2abi 是共轭复数，则 a2b2z1z2(abi)(abi) ， 2|z|2|z |显然，z1z2 1 2 . (3)复数的除法 ?abi?cdi?(abi) (cdi) ?cdi?cdi

8、?ac? bdbc? ad?2i?acbd ?bcad ?i222? d c ? d c ，22c d(cdi0) 由此可见，两个复数相除 (除数不为 0)，所得的商仍是一个确定的复数 一、复数的分类 a 7a62例 1 已知复数z2(a5a6)i(aR)，试a 1求实数a分别取什么值时，z分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数 22?a?5a60【解析】(1)当?2即a6 时，zR； ?a 102?a?5a60(2)当?2即a6 且a 1 时，z是虚数； ?a 10?a27a6?20(3)?a 1?a25a60? ，故不存在实数a，使z为纯虚数 【点评】【点评】复数zabi(a，bR

9、)(1)当b0时，z为虚数；(2)当b0时，z为实数；(3)当a0且b0时，z为纯虚数二、复数的四则运算 例 2 计算下列复数： 22(1)设z1i，化简w z； z32i32i(2)z； 23i23ii?2i?(3)z(1i)2. 12i 2?1i?222i (1i) 【解析】(1)w?1i? 1i?1i1i2i1i. 223i 2i3i 2i (2)z23i23ii?23i?i?23i? 23i23iii2i. 12i2i (3)z12i?12i?2i12i. 12i【点评】【点评】复数运算即要遵循运算法则，又要细心观察所给式的结构特征，力争“巧算”(如(2)、(3)问)三、复数相等的充要

10、条件及其应用 例 3(1)已知x，yR，i 为虚数单位，且(x2)iyxy1i，求(1i)； 2(2)若zcosisin(0,2)，求使z 1 的的值 【解析】(1)由复数相等的充要条件，有 ?x21?y1xy(1i)(1i) (2i) 4. 222(2)z cos sin 2sincosi 22?cossin 12z1，?sincos0 ?x3?，?y14 2 3又0,2，2或2. ?ac?bd ?cos0，?1?sin 【点评】复数abicdi(a，b，c，dR) 由复数相等的充要条件，将复数问题实数化 是解复数问题常用的方法 . 四、复数的几何意义及应用 例 4 已知复数z满足|z22i

11、|1， 求|z32i|的最小值 【分析】主要应用复数及其模的几何意义，结合解析几何的知识可解决问题 【解析】解法一：设zxyi(x，yR)， 则|xyi22i|1，即|(x2)(y2)i|1. 22(x2) (y2) 1. 22|z32i|?x3?y2? 22?x3?1?x2? 10 x6. 22由知，(y2) 1(x2) 0， 3x1. 1610 x636， 4 10 x66. x1 时，|z32i|min4. 解法二：由复数及其模的几何意义知：满足 |z22i|1，即|z(22i)|1. 复数z所对应的点是以C(2,2)为圆心，r1 为半径的圆 而|z32i|z(32i)|的几何意义是：复

12、数z对应的点与点A(3,2)的距离由圆的知识可知 |z32i|的最小值为ACr. |z32i|min?32?2?22?214. 解法三：|z32i|(z22i)5|z22i|5|15|4，|z32i|min4. 【点评】【点评】灵活应用复数、复数的模及复数加减法的几何意义，能简化解题的过程复数的模|z|的几何意义是：复数z对应的点到原点的距离；|z(abi)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(a，b)的距离因此，复数问题可转化为几何问题或代数问题来解决备选题例 5 若复数z(mm1)(4m8m3)i(mR)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围 22【分析】利用复数zabi 与点

13、Z(a，b)的一一对应关系求解 【解析】z(mm1)(4m8m3)i 的共轭复数是 22z(mm1)(4m8m3)i， 22故其对应的点是A(mm1，4m8m3)， 2?mm10?2?4m8m3022 2?mm10?2?4m8m30?1 551?m2或m2? ?13?m2?2 513?m . 22 513实数m的取值范围是m |m 22【点评】【点评】灵活地应用复数与复平面内点的坐标的一一对应关系知道点所属的象限，就能得到点的坐标满足的条件，从而使问题得以解决1设zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法 2实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数 3复

14、数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义， 转化条件和结论， 有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果 1ai(1)(2011 安徽)设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a2i为( A ) 11A2 B2 C D. 22ai(2)(2011 辽宁)a为正实数， i 为虚数单位， |2， 则a( ) BiA2 B. 3 C. 2 D1 1ai1ai2i【 解 析 】 (1)2i2i2i2a?2a1?i， 5?1ai?2a0为纯虚数，?2i?2a10a2. ai2(2)|1ai|a 12， a3，i而a是正实数，a 3. ， 【命题立意】【命题立意】 (1)本题考查了复数的运算，题

15、目较易，考查了学生简单的运算能力多年来，复数问题都是这样考查，预测明年不会有变化(2)本题考查复数的模的运算，难度较小1设z的共轭复数是z，若zz4，zz8，则z等于( D ) zA1 Bi C 1 D i 【解析】设zabi，(a，bR)，则zabi， 22由题意有 2a4，ab8， a2，b 2. ?z22i?z22i?或?. ?z22i?z22iz22ii?22i?1 i 或 i.故选 D. z22i22ii 2复数z满足(12i)z43i，那么z( A ) A2i B2i C22i D22i 【解析】设zxyi，则zxyi，(12i)zx2y(2xy)i， ?x2y4?x2?，解得?，

16、故选 A. ?2xy3?y1 523 已知复数z， 则复数z2z等于( A ) 2iA12i B12i C2i D2i 5? 2i?5【解析】z2i， 52i22z2z(2i) 2(2i)34i42i12i. 4 复数z满足|z1|zi|，那么z在复平面内对应的点所表示的图形是( ) AA直线 B圆 C椭圆 D双曲线 【解析】由几何意义知，正确答案为 A. 5若复数zcosisin且z2z21，则 sin2( B ) 1131A. B. C. D 2444 2i6已知复数z与(z2)28i 均是纯虚数，则z_. 【解析】设zai，aR且a0， 22则(z2) 8i4a(4a8)i. 2因为(z2) 8i 是纯虚数， 2所以 4a0 且 4a80， 所以a2，则z2i. 7已知aR，则复数z(a22a4)(a22a2)i 所对应的点在第 四 象限，复数z对应点的轨迹是 一条射线 8若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3i)z2(13i)，|z1| 2，求z1. 【解析】设z1abi，则z2abi， z1(3i)z2(13i)，且|z1| 2， ?abi? 3i?abi?