数学分析(9-15)知识点总结

1、一、主要内容一、主要内容1 1、定积分的定义、定积分的定义的取法均无关。的取法均无关。及及该极限与该极限与iT iiiiTbaxxfdxxf)()(lim )(10| 第九章第九章 定积分定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。与积分变量记号的选择无关。 badxxf)( badttf)( baduuf)(求出求出及特殊的点集及特殊的点集取特殊的分割取特殊的分割, )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 取左端点或右端点。取左端点或右端点。等分，等分，通常对通常对inba ,（2） 利用牛

2、顿利用牛顿-莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定积分的计算、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：法求出其值：3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义面积的代数和。面积的代数和。4 4、定积分的性质、定积分的性质线性、线性、 关于积分区间的可加性、关于积分区间的可加性、估值不等式、估值不等式、积分第一、第二中值定理。积分第一、第二中值定理。5 5、定积分与不定积分的联系、定积分与不定积分的联系（1 1）变上限积分的导数公式；）变上限积分的导数公式；保号性、保号性、),()(xf

3、dttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd（2 2）牛）牛- -莱公式。莱公式。（3 3）可积函数不一定有原函数，有原函）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。数的函数不一定可积。因为因为“含有含有第一类间断点第一类间断点的函数的函数”都没有原函数，都没有原函数，而而“含有有限个含有有限个第一类间断点第一类间断点的函数的函数”都可积。都可积。所以可积函数不一定有原函数。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且无界，从而不可积，无界，从

4、而不可积，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函数是的原函数是，在在但但 即说明有原函数的函数不一定可积。6 6、可积条件、可积条件必要条件必要条件 若函数若函数f在在a,b上可积，则上可积，则f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要条件（充要条件（1） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： ，使使分分割割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得属于使得属于T的所有小区间中，的所有小区间中， 充要条件（充要条件（2） 函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当： 对应于振幅对应于振幅 的那些小区间的那些小区间 的总长的总长. kkx kk 7 7、可积函数类、

5、可积函数类1、在、在a,b上连续的函数在上连续的函数在a,b可积。可积。2、在、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。上可积。 3、在、在 a,b上单调的有界函数在上单调的有界函数在a,b上可积。上可积。 （允许有无限多个间断点）（允许有无限多个间断点） 但并非可积函数只有这但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数类。如：黎曼函数不属于这不属于这3类的任何一类，但它是可积的。类的任何一类，但它是可积的。 在在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在则函数在a,b可积。可积。8 8、利用不定积分计算定积分、利用不定积分

6、计算定积分（1 1）线性；）线性；恒等变形；恒等变形； 换元；换元； 分部积分；分部积分；一些特殊类型函数的积分。一些特殊类型函数的积分。（2 2）与不定积分法的差别）与不定积分法的差别 （3 3）利用对称性、周期性及几何意义。）利用对称性、周期性及几何意义。牛牛- -莱公式莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 开偶次方时，要带绝对值。开偶次方时，要带绝对值。9 9、杂记、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2） 对对D(x)和和R(x) 的可积问题多一些关注。的

7、可积问题多一些关注。1 1、微元法的理论依据、微元法的理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定积积分分的的微微分分的的分分就就是是这这表表明明连连续续函函数数的的定定积积于于是是即即的的一一个个原原函函数数是是则则它它的的变变上上限限积积分分上上连连续续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章章2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dx

8、xfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点；）的的变变化化区区间间的的相相关关量量（记记为为确确定定）, 1baxU 2表表达达式式微微元元的的建建立立）U设想把区间设想把区间,ba分成分成n个小区间，取其中任一小区间个小区间，取其中任一小区间并记为并记为,dxxx ，求出相应于这小区间的部分量，求出相应于这小区间的部分量U 的近似值的近似值.如果

9、如果U 能近似地表示为能近似地表示为,ba上的一个上的一个连续函数在连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，的乘积， ，即即dxxfxdUdU )()( ,C)(baxf 其其中中，即即)()( xoxxfU ）。（此此时时，以静代动以简代繁、以直代曲、。则则 badxxfU)( 4 4、解题步骤、解题步骤是是非非常常困困难难的的。通通常常要要验验证证)()( xoxxfU 一一般般来来说说不不是是唯唯一一的的。中中的的且且)()()( xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)( )( xfdxxfUba 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标直角坐标参数方程参数方

10、程极坐标极坐标弧微分弧微分弧长弧长旋转体体积旋转体体积旋转体侧面积旋转体侧面积?5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA| )(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab上曲线减下曲线对上曲线减下曲线对x积分。积分。yxOcdAx=f(y)（图（图5）x=g(y) dcdyygyfA)()(右曲线减左曲线对右曲线减左曲线对y积分。积分。一般解题步骤：一般解题步骤：（1）画草图，定结构；）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；）解必要的交点，定积分限；

11、（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodx

12、xfVbax2)( dyyVdcy2)( xyo)(yx cddxxxfVbay)(2 dyyyVdcx)(2 xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立体体的的体体积积为为：绕绕极极轴轴旋旋转转由由)( rr ） ） (3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为22d

13、ydxds C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧ydsdS 2 (5) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(6) 液体压力液体压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 (7) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(8) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1第第11

14、章章一、两类反常积分的概念一、两类反常积分的概念 adxxf)( uaudxxf)(lim badxxf)( buaudxxf)(lim badxxf )(lim0 dxxf)( adxxf)( adxxf)(当当 adxxf)(和和 adxxf)(都都收收敛敛时时， a为任意常数为任意常数,就就称称 dxxf)(收收敛敛； 如果如果a,b都是瑕点都是瑕点，则定义，则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(， c为为(a,b)内任一实数。内任一实数。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。二、二、计算方法计算方法求正

15、常积分求正常积分+求极限；求极限；)0( axdxap 时，发散时，发散当当时，收敛；时，收敛；当当11pp bapaxdx)( 时，发散时，发散当当时，收敛；时，收敛；当当110pp三、两类反常积分的判敛方法三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则准则 收收敛敛 )(adxxf有有, 021GuuaG .)(21 uudxxf有有),(, 0, 021 aauu.)(21 uudxxf 是是瑕瑕点点）收收敛敛（adxxfba )(2、比较法则、比较法则 baadxxfdxxf的敛散性，的敛散性，和和用于判别用于判别| )(| )(|通常取通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。积分为

16、比较对象，且常用极限形式。3、Dirichelet判别法和判别法和Abel判别法判别法 用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。:)0(cos sin adxxxdxxxapap的敛散性的敛散性和和时，发散。时，发散。时，条件收敛；时，条件收敛；时，绝对收敛；时，绝对收敛；0101 ppp四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛定积分：定积分：可积，可积，在在可积可积在在,|,bafbaf无穷积分：无穷积分：. )( | )(|收收敛敛收收敛敛 aadxxfdxxf瑕积分：瑕积分：. )( | )(|收收敛敛收收敛敛 babadxxfdxxf可积

17、，可积，在在可积可积在在,|,2bafbaf. )( | )(|2收收敛敛收收敛敛 aadxxfdxxf. | )(| )(2收收敛敛收收敛敛 babadxxfdxxf. )( )(2收收敛敛收收敛敛 aadxxfdxxf第第12章章 数项级数数项级数正项级数正项级数交错级数交错级数一般项级数一般项级数 nnnuuuuu3211nns lim存在存在. . niinnuuuus121收敛收敛 1nnu有有, 0, 0 pNmN .|21 pmmmuuu收敛收敛正项级数正项级数 1nnu有有界界。ns 发散发散时时当当收敛于收敛于时时当当,11,1 0qqaqaqnn 发散发散时时当当收敛收敛时

18、时当当,1,1 11ppnnp 时，发散时，发散当当条件收敛条件收敛时时当当绝对收敛绝对收敛时时当当0,10,1 1)1(1pppnnpn 11cos , sinnpnpnnxnnx时，绝对收敛；时，绝对收敛；当当1 p,0时，发散时，发散 p.,10条件收敛条件收敛时，收敛时，收敛当当 p相同。相同。敛散性与敛散性与dxnnxp 1sin收敛级数的基本性质：收敛级数的基本性质：. 0lim . 11 nnnnuu 收敛收敛.0lim 1发散发散 nnnnuu,)(, . 2 dcsdvcuvsunnnn 3. 级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和

19、一般会有影响。和一般会有影响。4 . 收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；合律）；5. 绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。和不变（即有交换律）。6.6. 收敛收敛级数与发散级数级数与发散级数的的和必为发散级数。和必为发散级数。正项级数审敛法正项级数审敛法1、比较法（、比较法（un为有理表达式时）；为有理表达式时）；2、比式法（、比式法（un含含n!时）；时）；3、根式法（、根式法（un含含n次方时）；次方时）；4、积分法、积分法 ( ）；）；敛散性易判别时敛散性易判别时当当

20、adxxf)(5、拉贝法（、拉贝法（ ）；）；时时当当1lim1 nnnuu )1()1(111nnnnnnuu 或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, ,且其和且其和1us , ,其余项其余项nr的绝对值的绝对值1 nnur. . )0( nu其中其中交错级数审敛法交错级数审敛法这是这是Dirichelet判别法的特殊情形。判别法的特殊情形。一般项级数审敛法一般项级数审敛法1、Abel判别法，判别法，2、Dirichelet判别法。判别法。敛。敛

21、。则，再考虑是否条件收则，再考虑是否条件收收敛则为绝对收敛，否收敛则为绝对收敛，否敛），敛），的敛散性（正项级数判的敛散性（正项级数判一般先考虑一般先考虑 | nu 用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。数一定发散。, , . 2BvAunn绝对收敛于绝对收敛于绝对收敛于绝对收敛于若若 则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于收敛于AB. . 111svsunnnn也绝对收敛于也绝对收敛于，则其重排级数，则其重排级数绝对收敛于绝对收敛于设设 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质 条件收敛的级数，可以适当重排

22、，使其按任意预条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛定的方式收敛或或发散。发散。第第13章章,| )()(|, 0 )1( xfxfIxNnNn都有都有若若等价于下列等价于下列3条之一：条之一：. 0| )()(|suplim )3( xfxfnIxn好用！好用！.| )()(|, 0 )2( xfxfIxNnmNmn都有都有一致收敛。一致收敛。但在但在不一致收敛，不一致收敛，在在)1(, )1 , 1( aaaxn典型例题：典型例题：)( )(xfxfnI)( )(xfxfnI的常用判定法：的常用判定法：. 0| )()(|suplim )1( xfxfnIxn,| )()(

23、|, 0 )2(000000 xfxfIxNnNn有有上不连续。上不连续。在在上连续，但上连续，但在在IxfIxfnn)()(, )3( ).()(1xsxukk一致收敛于一致收敛于 ,),( )( )1(Dxx sxsn 有有, 0, 0 )2(DxpNmN .| )()()(|21 xuxuxupmmm. 0| )()(|suplim )3( xsxsnDxn等价于下列等价于下列3条之一条之一：典型例题：典型例题：一致收敛。一致收敛。但在但在不一致收敛，不一致收敛，在在)1(, )1 , 1( aaaxn一致收敛的判别法：一致收敛的判别法： 1)(kkxu（1）优级数判别法）优级数判别法（

24、2）Abel判别法判别法（3）Dirichelet判别法判别法)()(1xsxukk不一致收敛于不一致收敛于 的常用判定法：的常用判定法：, 0 )( 1xun）（D, )( )( 2xsxsn）（D上不连续。上不连续。在在上连续，但上连续，但在在IxsIxunn)( )(, )3( 一致收敛函数列的性质：一致收敛函数列的性质：)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 则则（1）上上也也连连续续，且且也也在在则则其其极极限限函函数数Ixf)( （2）连续，连续，在在且且Ixfnn)(, )( )(xfxfnI)( )(xfxfnI（3）.)(lim)(limdxxfdxx

25、fnbannnba 收敛，收敛，在在0)(xxfn连续，且连续，且在在Ixfnn)(, 上一致收敛，则上一致收敛，则在在Ixfn)( (lim( )lim( ).nnnnfxfx一致收敛函数项级数的性质一致收敛函数项级数的性质则则上一致收敛上一致收敛在在,)(1Dxunn (1)(2), 0 )(xunD,)(1一致收敛一致收敛在在baxunn 连续，连续，在在且且,)(,baxunn 且且连续连续在在则则,)()(1baxuxsnn .)()( babanndxxudxxu（3）收敛，收敛，在在0 )(xxun 连续，且连续，且在在 )(,Ixunn 上一致收敛，则上一致收敛，则在在Ixun

26、 )( ( )( ).nnfxfx第第14章章一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数. ,00时时当当 xnnnxa 0定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 说明幂级数存在收敛半径。说明幂级数存在收敛半径。收敛半径的求法：收敛半径的求法： （1）根式法，）根式法，（2）比式法，）比式法，定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0

27、R.(2) 当当0 时时, R;这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。 幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。项级数的判敛问题。二、幂级数的性质二、幂级数的性质（1）在收敛区间内闭一致收敛，）在收敛区间内闭一致收敛，（2）和函数在收敛区间连续，）和函数在收敛区间连续，（3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。且所得幂级数收敛半径不变。三、幂级数的求和三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一

28、些已知级数的和函数。级数的和函数。. 1| ,11 0 xxxnn常用常用注意这个级数的各种变异。注意这个级数的各种变异。记住下列幂级数的和函数：;11)1(0 xxnn ;11)1()4(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;11)()2(0 xxnn . 1| x四、函数展开成幂级数四、函数展开成幂级数 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. . 如果如果f(x) 能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是就是f(x)

29、的泰勒级数。的泰勒级数。 0)(lim xRnn. . 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则 f( (x) )nnnxxnxf)(!)(000)( . . f( (x) )= =nnnxxnxf)(!)(000)( 1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:不不能能展展成成幂幂级级数数；不不存存在在，说说明明，若若求求)()(!)()1(0)(0)(xfxfnxfaknn ).()(0)(limxfIxfxRn内内收收敛敛于于区区间间的的泰泰勒勒级级数数在在收收敛敛，则则若若 ,0)(lim(2)IxRnn的的范范围围考考察察 2.2.间接法间接

30、法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.记住几个特殊函数的展开式：记住几个特殊函数的展开式：),1ln( ,11 ,11 ,cos ,sin ,xxxxxex 注意收敛范围。注意收敛范围。本章讨论了下面三类问题：本章讨论了下面三类问题：1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。3、函数展开成幂级数的条件及方法。、函数展开成幂级数的

31、条件及方法。请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐请同学体会求幂级数和函数的方法，并注意在逐项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点项求积时，收敛域可能扩大，只要幂级数在端点收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成收敛，而和函数在相应点有定义，那么和函数成立的区间就可以包含这个端点。（立的区间就可以包含这个端点。（这是这是P51.3的结的结果果）逐项求导时，一般收敛域会减少。逐项求导时，一般收敛域会减少。如如,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 ,

32、 1,1 , 1 第十五章第十五章傅里叶级数的理论基础：傅里叶级数的理论基础：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx三角函数系的正交性三角函数系的正交性（1）它们的最小公共周期为）它们的最小公共周期为,2 （2）任何两个不同的函数相乘在）任何两个不同的函数相乘在 上积上积分为分为0，, （3）任何一个函数的平方在）任何一个函数的平方在 上积分不上积分不为为0，, 本章重点研究函数展成三角级数的方法。本章重点研究函数展成三角级数的方法。 如果如果f(x)能展成一致收敛的三角级数，则这个三角能展成一致收敛的三角级数，则这个三角级数必是级数必是f(x) 的傅里叶级数。的傅里叶级数。 ), 2 , 1(,sin)(1