四川省专升本高等数学数项级数

1、常数项级数的概念1 1 级数的定义级数的定义 nnnuuuuu3211( (常数项常数项) )无穷级数无穷级数部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus 一般项,21nnuuus 2 2 级数的收敛与发散级数的收敛与发散即即 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )方法一：根据收敛的定义判断方法一：根据收敛的定义判断例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a 的收敛性的收敛性. . 解解12 nnaq

2、aqaqasqaqan 1,11qaqqan 1q 时,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 级数级数发散发散 aaaa级数变为级数变为不不存存在在nns lim 级数级数发散发散 综上综上1q 如果时01,1,nnqaqq当时 收敛;当时 发散.例例2 讨论数项级数讨论数项级数111(*)1 22 3(1)n n的收敛性的收敛性. .解解 级数级数(*)的第的第n个部分和为个部分和为 1111223(1)nSn n1111112231nn11.1n1limlim 11,1n

3、nnSn由于由于 因此级数因此级数 (*) 收敛收敛, ,且其和为且其和为 1. 例例 3 3 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn11limlim(1)221nnnsn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛三、收敛级数的基本性质性质性质 1 1 如果级数如果级数 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnku亦收敛亦收敛. .结论结论 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数

4、的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus, , 1nnv, ,则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛, ,其和为其和为 s. .结论结论 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .定理定理12.2 ,nnuv若若级级数数与与都都收收敛敛则对任意常则对任意常 数数c, , d，()nncudv级级数数亦收敛，且亦收敛，且().nnnncudvcudv定理定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的敛散性级数的敛散性. . 定理定理12.4 在收敛级数

5、的项中任意加括号在收敛级数的项中任意加括号, , 既不改变既不改变 级数的收敛性级数的收敛性, ,也不改变它的和也不改变它的和. . 性质性质4 4 （级数收敛的（级数收敛的必要必要条件）条件）即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无限增大时当当,nun级数收敛级数收敛. 0lim nnu注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ;2.2.必要但不充分必要但不充分. .lim0,?nnu有级数是否收敛 n131211:调和级数调和级数例如例如1123( 1)2341nnn 11( 1)1nnnn1( 1)0,1limlimnnnnnu

6、n该级数发散该级数发散.讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 即调和级数发散即调和级数发散该级数发散该级数发散 .)(210 n便有便有这是不可能的这是不可能的2 正项级数nnuv设设和和是是两两个个正正项项定理定理12.6 (比较原则比较原则) 级数级数, , 如果存在某正数如果存在某正数N, , 对一切对一切 n N 都有都有 (1)nnuv则则(i),;nnvu若若级级数数收收敛敛 则则级级数数也也收收敛敛(ii),.nnuv若若级级数数发发散散 则则级级数数也也发发散散例例1

7、21.1nn考察的收敛性考察的收敛性解解 2,n由由于于当当时时 有有22111.1(1)nnnnn n因为正项级数因为正项级数 21(1)nn n 收敛收敛 , 故由故由 比较原则和定理比较原则和定理12.3, 级数级数 211nn 也收敛也收敛. 22,nnnnuvu v收敛 则级数收敛.收敛 则级数收敛.例例2 若级数若级数22|nnnnu vuv 22,nnuv证证 因为因为 , 而级数而级数 收敛，收敛， 根据比较原则根据比较原则, 得到级数得到级数 nnu v收敛收敛. 在实际使用上在实际使用上, ,比较原则的极限形式通常更方便比较原则的极限形式通常更方便. .,nnuv推论推论

8、(比较原则的极限形式比较原则的极限形式) 设设 是两个是两个 正项级数正项级数, ,若若 lim,(3)nnnulv则则(i)0,;nnluv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散(ii)0,;nnlvu当当且且级级数数收收敛敛时时 级级数数也也收收敛敛(iii),.nnlvu 当当且且级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散例例3 级数级数 12nn是收敛的是收敛的, 因为因为1212limlimlim112122nnnnnnnnnnn以及等比级数以及等比级数 12n收敛收敛, 根据比较原则的极限形根据比较原则的极限形 12nn式式, , 级级数数也也收收敛敛. .例例4 正项级数正项级数

9、 111sinsin1sinsin2nn是发散的是发散的, 因为因为 1sinlim1,1nnn 根据比较原则的极限根据比较原则的极限 1n1sinn形式以及调和级数形式以及调和级数 发散发散, 得到级数得到级数 也发也发 散散. . 证证,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .( (比值判别法比值判别法) 若若 nu为正项级为正项级 数，且数，且1lim,(7)nnnuqu则则

10、(i)1,;nqu当当时时 级级数数收收敛敛 (ii)1,.nqqu当当或或时时 级级数数发发散散(iii)1,.q当当级级数数可可能能发发散散，也也可可能能收收敛敛例例6 6 级数级数22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于由于 1233limlim1,144nnnnununlim,(11)nnnul(i)1,;nlu当当时时 级级数数收收敛敛 (ii)1,.nllu当当或或时时 级级数数发发散散则则 ( (根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式) 设设 nu为正项级为正项级 数数, ,且且(iii)=1,.l当当时时 无无法法判判断断例例8

11、 研究级数研究级数 2( 1)2nn的敛散性的敛散性.解解 由于由于2( 1)1limlim,22nnnnnnu 所以级数是收敛的所以级数是收敛的. .解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法.,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn例例10 判

12、别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解解 (i) 因为因为 212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnunnunn 2(1)1lim1,(21)(22)4nnnn 由比式判别法，原级数为收敛由比式判别法，原级数为收敛. . 11,222limlimlim1122nnnnnnnnnnnunn (ii) 因为因为由根式判别法由根式判别法, 原级数为收敛原级数为收敛. 思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0

13、由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.思考题思考题 由于非正项级数由于非正项级数( (一般项级数一般项级数) )的收敛性的收敛性问题要比正项级数复杂得多问题要比正项级数复杂得多, ,所以本节只对所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论. .3 一般项级数一、交错级数一、交错级数11234( 1)(1)nnuuuuu (0,1,2,),nun若级数的各项符号正负相间若级数的各项符号正负相间, , 即即则称为则称为交错级数交错级数. .定理定理12.11 (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) 若交错级数若交错级数(1)满足满足: :(i);nu数列单调递减数列单调递减(ii) lim0,nnu则级数则级数(1)收敛收敛.解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛.12(5)nuuu12(6)nuuu收敛收敛, 则称原级数则称原级数(5)为为绝对收敛级数绝对收敛级数.各项绝对值组成的级数各项绝对值组成的级数定理定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛. .二、绝对收敛级数及其性质二、绝对收敛级数及其性质若