微分中值定理的证明及其应用论文设计

1、1 微分中值定理基本内容及其几何意义1.1 罗尔(Rolle)中值定理若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间上可导；（iii）在区间端点处的函数值相等，即，则在上至少存在一点，使得.罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注：定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在上至少存在一点，使得.拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。拉格

2、朗日公式有下面几种等价表示形式：值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数。1.3 柯西（Cauchy）中值定理设函数和满足如下条件：（i）在闭区间上都连续；（ii）在开区间上都可导；（iii）和不同时为零；（iv），则存在，使得.柯西中值定理的几何意义：把，这两个函数写作以为参量的参数方程满足定理条件，由参数方程所确定的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点连线。1.4 三大中值定理的联系三大中值定理是层层递进的关系，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式：在拉格朗日中值定理中增加条件，即得到罗尔中值定

3、理；在柯西中值定理中令，即得到拉格朗日中值定理。三大中值定理的几何意义具有一个共同点，即符合中值定理条件的函数曲线上至少存在一点，在这一点处的切线平行于曲线所处区间的两个区间端点的连线。综上所述，三大中值定理既是独立存在的，又是相互联系的。他们反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，是研究函数的有力工具，应用十分广泛，其中罗尔中值定理是这一系列的基础内容，拉格朗日中值定理是这一系列的核心内容，柯西中值定理是这一系列的推广应用。2 微分中值定理的证明对于微分中值定理的证明，通常来说都是运用费马引理证明出罗尔中值定理，然后运用构造辅助函数的方法再去证明在证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并且

4、辅助函数的构造有很多种方法。因此本文将阐述这一通常证明方法，并且还总结了一些微分中值定理的其他证明方法。首先引入费马（Fermat）引理：设是的一个极值点，且在处导数存在，则.证明罗尔中值定理：因为在上连续，所以有最大值和最小值，分别用和表示，现在分为两种情况进行讨论：（1）若，则在上必为常数，从而结论显然成立。（2）若，则因，使得最大值和最小值至少有一个在上的某点处取得，从而是的极值点.由条件（ii），在点处可导。故由费马引理可知，.2.1 构造辅助函数2.1.1 证明拉格朗日中值定理作辅助函数，显然，且在上满足罗尔定理的另外两个条件.故存在，使得，移项后即得.2.1.2 证明柯西中值定理作

5、辅助函数，显然，且在上满足罗尔定理的另外两个条件.故存在，使得.因为（否则上式也为零），所以可把上式改写成.2.2 常数K值法我们规定：（i）等式一端是只与区间端点、及其函数值、导数值有关的常数，另一端只含导函数和函数在区间内某点(中值点)的值，就称该式是分离的。（ii）如果把式中的换作时，原式呈形，就称该式是对称的。常数值法也属于构造辅助函数方法的一种，对于一般的相关证明题，它的主要思路是先将需证式化成分离形式，令等式一端的常数等于；再把原式化为对称式，把含有中值的导数式换为, 把换成未知量，将右端移到左端，记所得式为，这就是作出的辅助函数。由的取法及的作法可知，必有，再使用罗尔中值定理即可

6、证出需证结论。若原式中含有二阶导数,可由解出后，再用一次中值定理就可得到欲证的结果；若含有在中值点处更高阶的导数，可仿此继续，直到所要的结果。而用常数值法对中值定理的证明，则是最简单的情况，证明如下。2.2.1 证明拉格朗日中值定理由上述规定可知是分离的，是对称的.令，于是有，即.令，易知在上连续，在上可导，且.由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即，于是，故有.2.2.2 证明柯西中值定理由上述规定可知是分离的，是对称的.令，于是有.令，易知在上连续，在上可导，且.由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即，于是，故有.2.3 行列式法首先给出行列式的求导法则：设为可导函数，则=.2.3.1 证

7、明拉格朗日中值定理构造行列式.显然在闭区间上连续，开区间内可导，且.由罗尔中值定理可知，在内至少存在一点，使得，即，故.2.3.2 证明柯西中值定理构造行列式.显然在闭区间上连续，开区间内可导，且.由罗尔中值定理可知，在内至少存在一点，使得，即，故.2.4 积分法在我们的教材中，虽然微分中值定理和积分中值定理是相互独立的两个板块，但是它们之间存在着必然的内在联系，因此我们可以尝试用积分法来证明微分中值定理。2.4.1 证明拉格朗日中值定理由定理可知，即证方程在内存在根.方程左边对积分有.取，则在上连续，在内可导，且.由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即.2.4.2 证明柯西中值定理由定理可知

8、，即证方程在内存在根.方程左边对积分有取，则在上连续，在内可导，且.由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即.3 微分中值定理的应用3.1 函数的重要性态3.1.1 函数的单调性函数的单调性是函数在其定义区间内变化的一种整体性态，我们通常会利用导数来对函数的单调性进行判断，若题目给的是抽象函数，没有办法求解导数的时候，我们就要想到结合已知条件和微分中值定理进行判断，例题如下。例1设函数，在上连续，在内可导，且 .求证：如果严格单调增加，则对，和都严格单调增加.证：不妨设，由柯西中值定理可知，使得.又因为严格单调增加，所以.从而有，因此，即可知严格单调增加.同理可证严格单调增加.3.1.2 函数的

9、极值与最值函数的极值是函数局部性态的一个重要特征，函数的最值是函数整体性态的一个重要特征，利用极值来确定最值在实际问题中有着广泛的应用，因此应当理解并掌握极值的三个充分条件和最值的求解方法，从而能更好地应用于实际数学问题中。极值的第一充分条件：设在点处连续，在某邻域.（i）若当时，当时，则在点取得极小值.（ii）若当时，当时，则在点取得极大值.极值的第二充分条件：设在的某邻域上一阶可导，在处二阶可导，且.（i）若，则在点取得极大值.（ii）若，则在点取得极小值.极值的第三充分条件：设在的某邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，则（i）当为偶数时，在点取得极值，且当时取极大值，时取极小值.（i

10、i）当为奇数时，在点不取极值.例2求函数的极值.解：一阶导数：，则是的三个稳定点.二阶导数：，则，因此在时取得极小值.三阶导数：，则，此时，在处不取极值.四阶导数：，则，此时，因此在时取得极大值.综上所述，为极大值，为极小值.例3求函数在区间上的最大值与最小值.解：一阶导数，因此是的稳定点，时不存在.且可以判断出与时，；与时.因此为极大值，为极小值.而区间端点值.综上比较可得最大值为4，最小值为0.3.1.3 函数的凸性设是定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数，总有，则称为上的凸函数.反之，如果总有，则称为上的凹函数.若不等号严格成立，即“”号成立，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹

11、函数.例4应用凸函数概念证明不等式，其中均为正数.证明：设.由的一阶和二阶导数可知，在时为严格凸函数.由詹森不等式可得，因此，即.又因为，所以.3.2 求函数极限对于求极限的一些问题，通常会使用洛必达法则对其进行形式变换来求解，但也会出现一些特殊复杂的情况难以求解，此时可以考虑通过微分中值定理来分析或构造辅助函数进行求解，例题如下。洛必达法则适用于两个无穷小量之比（）或两个无穷大量之比的极限（不定式极限），其建立的理论依据是柯西中值定理，而不定式极限还有等类型，他们经过简单的变换都可以化成型和型的极限。例5求极限.解：令，则.令，则.利用洛必达法则可得，因此.例6求极限.解：显然，函数在其定义

12、域内连续可导，满足拉格朗日中值定理的条件，因此使得.由迫敛性定理可知.3.3 近似计算泰勒公式是一类多项式函数，多项式函数是各类函数张最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。我们一般根据泰勒公式求近似值时，会选择拉格朗日余项的泰勒公式进行展开，因为它的余项能准确的计算出其相应误差，例题如下。例7计算的值，并使其误差不大于.解：令，则的泰勒展开式为.当时，有，所以，因此除去从而求得的近似值为.3.4 证明等式与不等式不等式的证明是高等数学中的重点部分，一些具有特殊形式的不等式可以利用微分中值定理来求解，例题如下。例8求证：当时，.证明：令，则在上满足拉格朗日中值定理的条

13、件，因此有.即.因为，所以，因此.例9求证：当时，.证明：令，显然在上均满足柯西中值定理的条件，因此有.而，则，因此.整理即得.本题还可以利用函数的单调性进行证明，但计算会相对复杂一些。例10设函数在上连续，在内可导，且，证明：对任意的有。证明：假设，若，则由拉格朗日中值定理，显然有，.若，则由拉格朗日中值定理，显然有 ，其中.对于一些特定的等式，可以利用微分中值定理来求解，例题如下。例11设函数在上连续，在内可导，且。试证：对任意给定的正数在内有不同的使。证明：由于，所以.又由于在上连续且，由介值性定理可知，存在使得，在上分别用拉格朗日中值定理有，.即，.于是由上述两式可知，将两式相加得，即

14、.3.5 证明根的存在性对于方程根的存在性问题，我们可以通过构造合适的辅助函数并利用罗尔中值定理来进行分析判断，但要注意函数在区间上的连续性、可导性问题，例题如下。例12若在闭区间上连续，在开区间内可导，证明：在内至少存在一个根。证明：构造辅助函数，则有，满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点使得，即在内至少存在一个根.例13已知在上可导，且.证明：方程在内有唯一实数根.证明：首先证明根的存在性.显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，且，则，即，因此，故使得，而已知，由零点定理可知，使得.然后证明根的唯一性.由可知，是上的单调增函数，因此若存在根，则根一定唯一.3.6 证明函数的一致连续性对于函

15、数一致连续性我们通常根据定义来进行证明，定义在上的函数，当时，有，寻找满足条件的，即证明函数一致连续，例题如下。例14证明：若函数于有穷或无穷的区间内存在有节的导函数，则于中一致连续。证明：已知导函数在上有界，设有，对于，由拉格朗日中值定理可知使得，故对，取，当，且时，有.由一致连续性定义可知，在内一致连续.3.7 证明级数的收敛与发散级数收敛问题主要通过级数收敛的判定条件来进行证明，在利用判定条件的过程中，我们可以通过构造函数并利用拉格朗日中值定理进行判断，也可以借用泰勒公式进行判断，例题如下。例15判断级数的敛散性.证明：由于在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在，有，从而有，因为级数是

16、发散的，由比较判别法可知也是发散的.例16判断级数的敛散性.证明： 由于在处的泰勒公式为，.令，移项得，而级数是收敛的，由比较判别法可知也是收敛的.由上可知，当级数通项中含有自然对数，可以考虑用微分中值定理对其敛散性进行判断。若级数是单调的，我们可以通过构造辅助函数，并利用微分中值定理找到有关级数通项的一组不等式，根据比较判别法对级数的敛散性进行判断。掌握一些常见级数的敛散性对构造辅助函数和不等式会有一定的帮助。4总结微分中值定理的研究从1637年著名法国数学家费马在求最大值和最小值的方法中给出费马定理时就开始了，经过了法国数学家罗尔在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理和法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明这两个发展阶段，最终对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理。学习了解了微分中值定理的发展历程，更能深刻体会到微分中值定理在微积分中的重要地位。微分中值定理是研究函数特性的一个有力工具，它不仅是微分学中最重要的结论之一，而且在数学分析中的积分学