【课件】5.3.2 函数的极值1-新教材人教A选择性必修第二册第5章课件

1、5.3.2函数的极值与导数(一)学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考思考观察函数yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.知识点一函数的极值点和极值答案答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).梳理梳理(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a) ，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数

2、yf(x)的极小值点， 叫做函数yf(x)的极小值.(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b) ，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数yf(x)的极大值点， 叫做函数yf(x)的极大值.(3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 .0f(x)0点af(a)0f(x)0f(x)0，在x0的右侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是 ；如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是 .知识点二函数极值的求法与步骤极大值极小值(2)求可导函数f(x)的极值的步骤确定函数的定义区间，求导数f

3、(x)；求方程 的根；列表；利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.f(x)01.导数为0的点一定是极值点.()2.函数的极大值一定大于极小值.()3.函数yf(x)一定有极大值和极小值.()4.极值点处的导数一定为0.()思考辨析 判断正误题型探究类型一求函数的极值点和极值命题角度命题角度1不含参数的函数求极值不含参数的函数求极值例例1求下列函数的极值.解答解解函数f(x)的定义域为R.令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x1时，

4、函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.解答令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值反思与感悟反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f(x)0的根.(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然.跟踪训练跟踪训练1求下列函数的极值点和极值.解答解解f(x)x22x3

5、.令f(x)0，得x11，x23，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可以看出，当x1时，函数有极大值，且极大值f(1)当x3时，函数有极小值，且极小值f(3)6.(2)f(x)x2ex.解答解解函数f(x)的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且极小值为f(0)0.当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2)4e2.解答

6、解解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，分以下两种情况讨论：当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上

7、是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.反思与感悟反思与感悟讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.解答跟踪训练跟踪训练2已知函数f(x)xaln x(aR).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.解答(2)求函数f(x)的极值.当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a

8、0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.例例3(1)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是A.(，1) B.(0，)C.(0,1) D.(1,0)类型二利用函数的极值求参数解析解析若a1，因为f(x)a(x1)(xa)，所以f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，所以f(x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f(x)

9、在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D.解析答案(2)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则a_，b_.解析答案29解析解析因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3).当x(3，1)时，f(x)为减函数，当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1处取得极小值，因此a2，b9.反思与感悟反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条

10、件列出方程组，用待定系数法求解.(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.解答解解f(x)aln xbx2x，跟踪训练跟踪训练3设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；解答当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.12345解析答案C.x2为f(x)的极大值点D.x2为f(x)的极小值点12345当x(0,2)时，f(x)0.因为x2为f(

11、x)的极小值点，故选D.3.函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_.所以当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上没有极值点.012345解析答案2解析解析f(x)3x22axb，答案解析12345解答12345解答12345(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.又f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，).123451.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0得方程的根；(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各