数学建模论文

1、商人过河问题学号：201101050062 姓名：张红梅1 问题提出三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？2 模型假设(1) 每个商人和随从都会划船；(2) 只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；(3) 所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；(4) 船在渡河的过程中不受外界环境的影响。3 模型建立记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，k=1,2，=0,1,2,3。将二维向量=(，)定义为状态。安全渡河条件下的

2、状态集合称为允许状态集合，记作s,因此有s=(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2 (3-1)即 s=(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,1)(2,2)(3,3)(3,0)(3,1)(3,2)不难验证，s对此岸和彼岸都是安全的。记第k次渡船上的商人数为，随从数为。将二维向量=(，)定义为决策。允许决策集合记作d，由小船的容量可知d=(u,v)|1u+v2,u,v=0,1,2 (3-2)即d=(2,0)(0,2)(1,0)(1,1)(0,1)。因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶回此岸，所以状态随决策变化的规律见式(3-3)=

3、+ (3-3)上式称为状态转移律。这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型:求决策d(k=1,2,n)，使状态s按照转移律(3)，由初始状态=(3,3)经有限步n到达状态=(0,0)。4 模型求解模型的要求从(3,3)开始经过对每次过河的安全状态量的选择最终安全到达(0,0)。由式(1-1)、(1-2)和(1-3)，通过利用matlab编写一段程序来求解多步决策问题是可行的，但是当商人和随从数都不多的情况下还可以用平面坐标法解此模型更为方便。在此处只讨论用matlab编程解决问题，见附录a。另外，附录b是对附录a的检验。5 结果分析(1) 模型的求解采取的是矩阵法求解，并运用了强大的ma

4、tlab软件，结果可信度高，便于推广；(2) 没有考虑到实际生活中，在安全渡河的前提下，商人过河的优先级应高于随从；(3) 此处只解决3个商人和3个随从过河的状态，若当商人和随从数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍然可以求解。6 参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊.数学模型(第四版)m.北京:高等教育出版社,2011.2 陈汝栋 于延荣.数学模型与数学建模(第二版)m.北京:国防工业出版社,2009.3 白其峥.数学建模案例分析m.北京:海洋出版社,2000.7 附录附录aclear all; clc a=0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 1,1; 2,2; 3,

5、3; 3,0; 3,1; 3,2;d=2,0; 0,2; 1,0; 1,1; 0,1; s(1,:)=3,3; i=1; j=1; k=1; disp(此岸 - 船上 - 对岸)for i=1:12 for j=1:5 t=0; u=0; r=mod(i,2); m=r; for k=1:10 if s(i,:)+(-1)i*d(j,:)=a(k,:) t=1; end end if i+1=3 for m=(1+r):2:(i-1) if s(i,:)+(-1)i*d(j,:)=s(m,:) u=1; end end end if t=1 if u=0 s(i+1,:)=s(i,:)+(-1

6、)i*d(j,:); c(i+1,:)=d(j,:); break else if u=1 continue end else continue endendif t=0 disp(no result); break;end b(i+1,:)=3,3-s(i+1,:); play=sprintf(%d, %d-%d, %d-%d, %d, . s(i,1),s(i,2), . c(i+1,1),c(i+1,2), . b(i+1,1),b(i+1,2); disp(play) if s(i+1,:)=0,0 break endend 运行结果为：此岸 - 船上 - 对岸 3, 3-0, 2-0, 23, 1-0, 1-0, 13, 2-0, 2-0, 33, 0-0, 1-0, 23, 1-2, 0-2, 21, 1-1, 1-1, 12, 2-2, 0-3, 10, 2-0, 1-3, 00, 3-0, 2-3, 20, 1-