最全地圆锥曲线轨迹方程求法

1、实用标准圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解. 2一直接法. 32. 相关点法. 63. 几何法. 104. 参数法. 125. 交轨法. 146. 定义法. 16文案大全1 1 1 1 11 111 11 12121 11 +cos q sin q 1 1实用标准一题多解设圆 C：（x1）2+y2=1，过原点 O 作圆的任意弦 OQ，求所对弦的中点 P 的轨迹方程。一直接法设 P（x,y），OQ 是圆 C 的一条弦，P 是 OQ 的中点，则 CPOQ，x0,设 OC 中点为 M（ ,0 ），则|MP|= |OC|= ，得（x ）2+y2= (x0)，即点 P 的轨2 2 2 2 4迹方程是（x

2、 ）2+y2= (0x1)。2 4二定义法OPC=90，动点 P 在以 M（ ,0 ）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点2O）上，|OC|=1，故 P 点的轨迹方程为（x ）2+y2= (0x1)2 4三相关点法设 P（x,y）,Q(x y )，其中 x 0,1, 1 1x =2x,y =2y,而（x 1）2+y2=11 1 1(2x1)2+2y2=1,又 x 0,1x0,即（x ）2+y2= (0x1）2 4四参数法设动弦 PQ 的方程为 y=kx,代入圆的方程（x1）2+kx2=1，即（1+k2）x22x=0, x +x = .1 +k 2x +x 1 k设点 P（x,y），则 x = 1

3、 2 = (0,1, y =kx =2 1 +k 2 1 +k2消去 k 得（x ）2+y2= (0x1）2 4另解 设 Q 点（1+cos,sin），其中 cos1,P(x,y)， 则 x = (0,1, y = , 消去得（x ）2+y2= (0x1）2 2 2 4文案大全 实用标准一直接法课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生 关系，这时，设曲线上动点坐标 ( x , y ) 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有 x 、 y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。例题 1等

4、腰三角形的定点为 A(4 , 2) ，底边一个端点是 B ( 3, 5) ，求另一个端点 C 的 轨迹方程。练习一1. 已知点 A( -2 , 0) 、 B (3 , 0) ，动点 P ( x , y ) 满足 PA PB =x 迹方程。2。求点 P 的轨2. 线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？文案大全实用标准PA3.动点 P（x,y）到两定点 A( -3 , 0) 和 B (3 , 0) 的距离的比等于 2（即： =2 ）。PB求动点 P 的轨迹方程？4.动点 P 到一高为 h 的等边ABC 两顶点 A、B 的距

5、离的平方和等于它到 顶点 C 的距离平方，求点 P 的轨迹？5.点 P 与一定点 F (2 , 0) 的距离和它到一定直线 x =8 的距离的比是 1: 2 。 求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。文案大全实用标准7.已知 P (4 , 0) 是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程。8.过原点作直线 l 和抛物线 y =x 2 -4 x +6 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。文案大全实用标准二. 相关点法利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的 关系，然后代

6、入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。例题 2已知一条长为 6 的线段两端点 A、B 分别在 X、Y 轴上滑动，点 M 在线段 AB 上，且 AM : MB=1 : 2，求动点 M 的轨迹方程。练习二1.已知点 P ( x0，y ) 在圆 x 02+y2=1 上运动，求点 M (2 x , y ) 的轨迹方程。02.设 P 为双曲线x 24-y2=1 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点。求点 M 的轨迹方程。文案大全 实用标准3.设 F (1 , 0) ， M 点在 x 轴上， P 点在 y 轴上，且 MN =2 MP ， PM PF ， 当点 P 在 y 轴上运动时，求

7、点 N 的轨迹方程。4.已知ABC 的顶点 B ( -3 , 8) ， C ( -1, -6) ，顶点 A 在曲线 y 求ABC 重心 G 的轨迹方程。2=4 x 上运动，5. 已知 A、B 、D 三点不在同一条直线上，且 A( -2 , 0) 、 B (2 , 0) ， AD =2 ， 1 AE = ( AB +AD ) ，求 E 点的轨迹方程。2文案大全 实用标准6.ABC 的三边 AB、BC、CA 的长成等比数列，且 AB AC ，点 B、C 坐标分别为 ( -1, 0) 、 (1 , 0) ，求定点 A 的轨迹方程。7.已知点 A( -2 , 0) ，P 是圆 O： x2+y2=4 上

8、任意一点，P 在 x 轴上的射影为 Q ， QP =2 QG ，动点 G 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程。x 2 y 28.已知椭圆 +4 9=1 上任意一点 P，由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ，垂足为 Q ，点 M 在 PQ 上，且 PM =2 MQ ，点 M 的轨迹为 C，求曲线 C 的方程。文案大全 实用标准9.如图，从双曲线 C : x2-y2=1 上一点 Q 引直线 l : x +y =2 的垂线，垂足为N，求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程。10.已知双曲线 x2-y2=2 的左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 的动直线与1 2 2双曲线相交于 A、B 两点。（I）若

9、动点 M 满足 F M =F A+F B +F O （其中 O 为坐标原点），求点 M 的1 1 1 1轨迹方程；（II）在 x 轴上是否存在定点 C，使 CACB 为常数？若存在，求出点 C 的坐 标；若不存在，请说明理由。文案大全实用标准三. 几何法求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知 识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的 等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方程的方法称为几 何法。例题 3已知定点 A(2 , 0) ，点 P 在曲线 x 2 +y 2 =1 ( x 1) 上运动，AOP 的平分线交 于 Q

10、点，其中 O 为原点，求点 Q 的轨迹方程。练习三1.如图，在正方体 ABCD-A B C D 中，P 是侧面 BC 内一动点，若 P 到直1 1 1 1 1线 BC 与直线 C D 的距离相等，求动点 P 的轨迹所在的曲线。1 12.已知点 C 的坐标是 (2 , 2) ，过点 C 的直线 CA 与 X 轴交于点 A，过点 C且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 Y 轴交于点 B。设点 M 是线段 AB 的中点，求 点 M 的轨迹方程。文案大全实用标准3.已知经过点 P (4 , 0) 的直线 l ，经过 Q ( -1, 2) 的直线为 l ，若 l l ，求 l 与1 2 1 2 1l 交

11、点 S 的轨迹方程。24.求圆心在抛物线 y 2 =2 x （ y 0 ）上，并且与抛物线的准线及 x 轴都相切 的圆的方程。5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 , 0) ，直线 y =x +1与其相交于M、N 两点，MN 中点的横坐标为2- ，求此双曲线方程。 36.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨 迹方程。文案大全实用标准四. 参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数）， 使 ( x , y ) 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点 的轨迹方程。例题 4过不在坐标轴上的

12、定点 M ( a , b ) 的动直线交两坐标轴于点 A、B，过 A、B 坐标 轴的垂线交于点 P，求交点 P 的轨迹方程。练习四1.过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l 、 l ，若 l 交 x 轴于 A 点， l 交1 2 1 2y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。文案大全实用标准2.一个动圆的解析式为 x2+y2+4bx -2by +6b2-4 =0 ，求圆心的轨迹方程。3.过圆 O： x2+y2=4 外一点 A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。4.点 A(1 , 1) ，B、C 是圆 x2+y2=4 上的动点，且 ABAC，

13、求 BC 中点 P 的轨迹方程。文案大全实用标准五. 交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标 X、Y 分别 表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交 轨法。例 5已知直线 l 过定点 (0 , 3) ，且是曲线 y 动弦 P P 交点 M 的轨迹方程。1 22=4 x 的动弦 P P 的中垂线，求直线 l 与1 2练习五1.求两条直线 x -my -1 =0 与 mx +y -1 =0 的交点的轨迹方程。2.当参数 m 随意变化时，求抛物线 y =x2+(2m+1)x+m2-1 的顶点的轨迹方程。文案大全122 21 22 2实用标准x 2

14、 y 23.设 A 、A 是椭圆 +9 4=1 的长轴两个端点，P 、P 是垂直于 A A 的1 2 1 2弦的端点。求直线 A P 与 A P 交点的轨迹方程。1 1 2 24.已知双曲线x y- =1 (m0，n0)的顶点为 A 、A ，与 y 轴平行的直线 l 交双 m n曲线于点 P、Q。求直线 A P 与 A Q 交点 M 的轨迹方程。1 25.已知椭圆x 2 y 2+ =124 16x y ，直线 l： + =112 8，P 是 L 上一点，射线 OP 交椭圆于 R，有点 Q 在 OP 上，且满足 OQ OP =OR 轨迹是什么曲线。2，当 P 在 L 上移动时，求点 Q 的轨迹方

15、程，并说明文案大全实用标准六. 定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、 抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的 方法叫定义法。常见已知曲线：（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 抛物线：到定点与定直线距离相等。例题 61.设圆 x 2 +y 2 +2 x -15 =0 的圆心为 A，直线 l 过点 B (1 , 0) 且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C、D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD

16、于点 E。证明 EA +EB 为定值， 并写出点 E 的轨迹方程。2.已知ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ( -4 , 0) ， (4 , 0) ，C 为动点，且满5足 sin B +sin A = sin C 。求点 C 的轨迹。4文案大全实用标准练习六1.已知圆 M： ( x +1)2+y2=1 ，圆 N： ( x -1)2+y2=9 ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C。求 C 的方程。2.动点 P 到直线 x =6 的距离与它到点（2，1）的距离之比为 5 ，则点 P 的 轨迹是什么？3.点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 x +5 =0 的距离小 1。求点 M 的轨 迹方程。4.已知 DABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 a, c, b 依次 构成等差数列，且 a c b ， AB =2 ，求顶点 C 的轨迹方