流体力学4-3.4相似定理

1、原型原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关通常把原型（工程实物）按一定比例关 系缩小（或放大）的代系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。表物，称为模型。 水力学模型试验的目的：水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究利用模型水流来模拟和研究 原型水流问题。原型水流问题。 关键问题：关键问题：使模型水流和原型水流保持使模型水流和原型水流保持流动相似流动相似。 就是研究相似现象之间的联系的理论，就是研究相似现象之间的联系的理论， 是模型试验的理论基础是模型试验的理论基础,为对流动现

2、象进行理论分析的一为对流动现象进行理论分析的一 个重要手段。个重要手段。 原型和模型对应的物理量之比原型和模型对应的物理量之比 比尺的数目与物理量的个数相同比尺的数目与物理量的个数相同 对应基本量纲，互相独立的基本物理量的原型和模对应基本量纲，互相独立的基本物理量的原型和模 型的比值，对于力学型的比值，对于力学 l=lp/lm t=tp/tm F=Fp/Fm 由基本比尺以指数形式的乘积组成的比尺由基本比尺以指数形式的乘积组成的比尺 v 、Q 、a 若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压 强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两强及各种作

3、用力等）具有各自的固定比例关系，则这两 个流动就是相似的。个流动就是相似的。 模型和原型保证模型和原型保证流动相似流动相似，应满足：，应满足： 几何相似几何相似 运动相似运动相似 动力相似动力相似 初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似 几何相似几何相似（geometric similarity） 指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应应 的线段长度成比例、夹角相等。的线段长度成比例、夹角相等。 以脚标以脚标p表示原型、表示原型、m表示模型，则有表示模型，则有 2211 2 2 1 1 , mpmp l m p m p m p l l l l

4、l l m p l l l 长度比尺长度比尺 2 2 2 l m p m p A l l A A 面积比尺面积比尺 3 3 3 l m p m p V l l V V 体积比尺体积比尺 2. 运动相似运动相似（kinematic similarity） 指原型和模型流体运动的速度场相似，即两指原型和模型流体运动的速度场相似，即两 流场各相应点（包括边界上各点）的速度流场各相应点（包括边界上各点）的速度u u 及及 加速度加速度 a 方向相同，且大小具有同一比值。方向相同，且大小具有同一比值。 / / ppppp ml mmmmmpt ultl t ultl t 速度比尺速度比尺 2 / / p

5、ppp ml a mmmmptt at t att 加速度比尺加速度比尺 3.3.动力相似（动力相似（dynamic similaritydynamic similarity） 指指原型和模型原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力流动相应点处质点受同名力作用，力 的方向相同，大小成比例。的方向相同，大小成比例。 分别以符号分别以符号T T、G G、P P、T Tw w和和I I代表影响流体运动的作代表影响流体运动的作 用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则 有有 pppp F mmmm TGPI TGPI 力的比尺力的比尺 达朗贝尔

6、原理：达朗贝尔原理：对于运动的质点，设想加上该质点的惯对于运动的质点，设想加上该质点的惯 性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封 闭闭力多边形。力多边形。 动力相似动力相似可表述为响应点上的力多边形相似，相应可表述为响应点上的力多边形相似，相应 力（同名力）成比例。力（同名力）成比例。 4.4.初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似 # 边界条件相似边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，指两个流动相应边界性质相同， 如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面； 原型中的自由液面

7、，模型相应部分也是自由液面。原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。 # 对于非恒定流动，还要满足对于非恒定流动，还要满足初始条件相似初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。而对于恒定流动，无需初始条件相似。 流动相似的进一步解释：流动相似的进一步解释： 边界条件和初始条件相似边界条件和初始条件相似以及以及几何相似几何相似是流动是流动 相似的前提与依据；相似的前提与依据； 动力相似动力相似是决定流体运动相似的主导因素；是决定流体运动相似的主导因素； 运动相似运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是是几何相似和动力相似的最终表现，是 流动相似的目标；流动相似的目标； 凡流动相似的

8、原型与模型流动，必然同凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。时满足几何相似、动力相似和运动相似。 pppp F mmmm TGPI TGPI 相似准则：相似准则：要使两个流动动力相似，前面定义的各项要使两个流动动力相似，前面定义的各项 比尺须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准比尺须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准 则。则。 动力相似准则：动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持在两相似的流动中，各种力之间保持 某种固定不变的比例关系。某种固定不变的比例关系。 m p m p I I T T 考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系考虑原型

9、与模型之间粘滞力与惯性力的关系 du TAl dy 322 2 l Imall t p p m m pm l l 无量纲数无量纲数ReRe称雷诺数（称雷诺数（Reynolds numberReynolds number） v雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘 滞力起主要作用时，雷诺数相等。滞力起主要作用时，雷诺数相等。 适用范围适用范围：水流阻力即粘滞力水流阻力即粘滞力起主要作用起主要作用的流体流动，的流体流动， 如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。潜体绕流问题等。 dd mp vv

10、 ReRe m p m p I I G G 3 glG 考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系 22 Il 2 2 p m p pm m g lg l 2 pm FrFr g l v弗劳德数弗劳德数（Froude numberFroude number）表征惯性力与重力之比。表征惯性力与重力之比。 两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。 适用范围适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的 各种流动（各种流动（重力起主要作用的流动重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔

11、），如堰坝溢流、孔 口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞 流动等。流动等。 考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系 m p m p I I P P 2 plP 22 Il 22 p m ppmm p p 2pm p EuEu v欧拉数（欧拉数（Euler numberEuler number）表征压力与惯性力之比。）表征压力与惯性力之比。 两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。 由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力

12、、重力 相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳 德准则成立，欧拉准则可自行成立。德准则成立，欧拉准则可自行成立。 当流动受表面张力影响时当流动受表面张力影响时 m p wm wp I I T T Tw = l I=l 2v2 m 2 p 2 l v l v m mmm p ppp l l 2 2 p pppl We 2 v Wep = Wem 韦伯数表征惯性力与表面张力之比，两流动相韦伯数表征惯性力与表面张力之比，两流动相 应的韦伯数相等，则表面张力相似应的韦伯数相等，则表面张力相似Weber number. Mach number 在高速

13、气流中，存在着在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系弹性力和惯性力的关系 m m p p a v a v m p Em Ep I I F F FE=El2 E=a2 2 2 2 2 mmm mmm ppp ppp al l al l 2 2 2 2 v v a Ma v Map = Mam 马赫数表征惯性力与弹性力的关系，两流动马赫数表征惯性力与弹性力的关系，两流动 相应的马赫数相等，则弹性力相似相应的马赫数相等，则弹性力相似。 I=l 2v2 FE= l2a2 第四节第四节 模型实验模型实验 建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以 模型实

14、验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。 一、模型律的选择一、模型律的选择 为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外， 各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各 准则很困难，甚至是不可能的。准则很困难，甚至是不可能的。 原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为 雷诺模型律雷诺模型律。 原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称 为为弗劳德模型律弗劳

15、德模型律。 通常采用同一种流体作实验通常采用同一种流体作实验 按雷诺准则按雷诺准则 (Re)p=(Re)m p p m m pm l l l pp m mmp l l 1 p m 1 l 按弗劳德准则按弗劳德准则 (Fr)p=(Fr)m 通常实验在地球表面进行，各地通常实验在地球表面进行，各地g=c 2 2 p m p pm m g lg l 1/2 gl 1 p g m g g 1/2 l 1/2 pp p mm m g l g l v模型实验想做到与原型模型实验想做到与原型完全流动相似是困难的完全流动相似是困难的， 一般只能达到一般只能达到近似相似近似相似，就是保证，就是保证对流动起主要作

16、对流动起主要作 用的力相似用的力相似，这就是模型律的选择问题。，这就是模型律的选择问题。 实际模型试验中，根据流动的特点，实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾抓住主要矛盾。 在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足 弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需 满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面 满足试验要求。满足试验要求。 11/2 ll 11/2 ll 3/2 1 l 1 l 若要同时满足若要同时满足Re、Fr准则

17、准则 若要同时考虑若要同时考虑Re、Fr准则准则,并涉及所有量并涉及所有量 g1g1 转轮实验、微重力实验转轮实验、微重力实验 g=1g=1 l 1/2 gl l 3/2 l 1/2 gl 二、模型设计二、模型设计 步骤：步骤： 1 1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定 出长度比尺出长度比尺l l；再以选定的比尺缩小原型的几何尺；再以选定的比尺缩小原型的几何尺 寸，得出模型区的几何边界；寸，得出模型区的几何边界； 2 2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作 用的力相似，抓住主要矛盾选择模型

18、律；用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律； 3 3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺v v 及 及 模型的流量。模型的流量。 例题：书例题：书P84 例：为研究输油管道水力特征，用水管作模型实验。已例：为研究输油管道水力特征，用水管作模型实验。已 知油管直径知油管直径dp=600mm，p=4010-6m2/s，输油量，输油量Qp=90 l/s，水管，水管dm=50mm，m=1.3110-6m2/s，求输水量，求输水量Qm=? 解：本实验应满足解：本实验应满足Re准则（有压管流）准则（有压管流） 法一法一 (Re)p=(Re)m p ppm mm ll 0.318m/s ppp QA 0.125m/s p m mp mp d d 0.245 /s mmm QAl 法二法二 Ql 0.245 /s mpl QQl 2、举例说明由重力、粘滞力起主要作用的水流。、举例说明由重力、粘滞力起主要作用的水流。 粘滞力：粘滞力：层流状态下的、管道、隧洞中的有压流动和层流状态下的、管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。潜体绕流问题等。 重力：重力：堰坝溢流、孔口出流及明槽流动及处于阻力平堰坝溢流、孔