ch5弯曲应力1-3-2003

1、材 料 力 学第五章第五章 弯曲应力弯曲应力Stresses in Bending ，故正应力的合力不可能产生Q向分量。(即不能在面内合成Q)。同理,因为在截面内恒通过截面形心(面内水平轴)。故不能产生绕此面内水平轴的合力矩M。5-1 5-1 引言引言 IntroductionIntroductionQndAFd 由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两种分布内力的集度剪应力(面内应力)和正应力(法向应力)。由理力知识我们知:QdAMdA;因此, 。 若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲纯弯曲(Pure Bend

2、ing)。平面纯弯曲平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况。 和ch2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样，分析了杆弯曲变形的内力Q，M后，还需进一步分析梁的应力分布和计算，才能解决工程中的强度计算等实际问题。 和前面一样，由内力应力需通过对梁的变形几何，物理关系，静力平衡三方面综合研究。由于: ,MdA5-2 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of BeamNormal Stress of BeammAB+DPPPaM故我们先研究以M为主的简单梁纯弯曲梁纯弯曲梁(Pure Bending Beam):Q0的梁(或梁段)。例如: 另对应有:横力弯曲横力

3、弯曲(shear bending , transverse bending): 梁内(或梁段内)0平面纯弯曲平面纯弯曲 = 平面弯曲 + 纯弯曲 纯弯曲的M作用在梁的纵向对称平面内(Oxy平面)，对应:平面横力弯曲平面横力弯曲= 平面弯曲 +横力弯曲 现以平面纯弯曲梁（梁的平面假设成立的前提）为条件推导梁的正应力公式:5-2 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of BeamNormal Stress of Beam 梁宽方向的变形说明纤维产生了与泊桑比有关的(横向)拉伸与压缩的现象。AB1212abdcdxmeme中性轴 1 2 a b d

4、x c d1 25-2-1,平面纯弯曲的实验研究平面纯弯曲的实验研究变形特点: 与变形后仍为直线,仍与变形后的轴线垂直。只是相对原来位置转动了一个角度。 纵向直线(ab)和(cd)弯成圆弧线(曲线)。故凹面纤维(如弧ab)缩短而凸面纤维(如弧cd)伸长。 因变形连续,故中间必存在一层纤维变形前后长度相等,称此层纤维为中性层中性层(neutral surface)。中性层纵向对称面(外力的作用面),故纤维的变形和它在梁的宽度上的位置无关。中性层与横截面的交线称为中性中性轴轴(neutral axis)5-2 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress

5、of BeamNormal Stress of Beamyxz(中性轴）mm5-2-1,平面纯弯曲的实验研究平面纯弯曲的实验研究由以上的特点可抽象如下的假设:平面假设(Plane section assumption): 在纯弯曲时，变形前为平面的横截面。变形后仍为平面。纵向纤维的变形与它在横截面宽度上的位置无关。 0z(即: ; 依横截面的高度y改变） 各纵向纤维间没有挤压。梁弯曲的平面假设平面假设: 梁在受力弯曲后,其原来的横截面仍为平面,它绕其上的中性中性轴轴旋转了一个角度,且仍垂直于梁变形后的轴线。dxcd5-2 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal

6、 Stress of BeamNormal Stress of BeamO1O21122ddOMM=meyzdAy 在纯弯曲时由对称性和圣维南原理, 一般对各向同性均匀连续材料梁均成立。此即梁的变形几何关系梁的变形几何关系。y物理物理:将 关系代入(a)式,即得平面弯曲梁的正应力随y的变化关系。如:)()(, )(受压边受拉边nnnyAyAAddxoo21dydc)()(,)(ayyddydddxdxdycdcdcd5-2-2,弯曲正应力正应力的公式推导几何几何: 如图取变形后的dx微段梁来研究，中性层上的弧长cd段的纤维变形前长变形后长(M为正时):因此距中性层为y的一层纤维cd的线应变为:

7、式中为中性层变形后的曲率半径(Radius of curvature), 1/ 为曲率(curvature)5-2 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam Normal Stress of Beam 5-2-2,弯曲正应力的公式推导弯曲正应力的公式推导).(;cypctAAyAzdAzMdAyMdAN;0,yzyzAAyIyzydAdAzM为对称轴，故因) 15.(12MdAyMzA简记为物理物理:对工程中常用的材料，我们可以假设: 由(c)式知道,在横截面上成线性分布(对线弹性材料而言)因(c)式中的还不知道,中性轴位置(y值)

8、也不知道,需由静力学关系求解。静力学静力学:(对平行力系有:)注意到横截面上 ，0, 0yzMMMN, 0zAASydAdA故 对指定截面为常数, 可提到面积分之外。0; 0zS表示中心轴应通过横截面的形心中心轴应通过横截面的形心。(5-1)式为研究弯研究弯曲问题的一个基曲问题的一个基本公式本公式。)25.( My代入(c)得: 式中M是需求应力之横截面上的弯矩;I是此横截面对中性轴的轴惯矩; y是需求应力处到中性轴的垂直坐标。5-2 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam Normal Stress of Beam 5-2-2,

9、弯曲正应力的公式推导弯曲正应力的公式推导)25.( My(凸边受拉,凹边受压)式 表明:曲率1/1/ (表示梁变形的程度) MM ; 1/1/ 1/EI1/EI。) 15.(1M故 轴线越弯曲; 轴线变形越小(越平缓) 。MEI I的物理意义:梁按其截面的形状和尺寸具有的抵抗弯曲(变形)的能力。 中性轴(z)通过横截面形心,垂直于外力作用平面(oxy)。故oxyz构成一直角坐标系。如果我们不计M的正负和y的正负,得求大小的公式 由此式求出的大小后,根据M 的正负很容易确定的正(拉应力 )负(压应力)应为: (M 0时:上压下拉; M 5时Q引起的(由平面不均匀翘曲所致)很小。同时外载引起的压应

10、力(y)可忽略(微挤压；微均匀翘曲)。此时可用式(5-2)计算平面横力弯曲的应力=M(x)y/I(其精度一般满足工程的需要),用(5-1)式计算梁的曲率K=1/=M(x)/EI e. .当梁为无对称轴的实体梁时，情况比较复杂。需在研究了的分布规律时才能讨论横力弯曲问题。5-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress) 25.()()(yxMx)55.(,maxmaxmaxmaxmaxmaxayMyM)55.(maxbWM 由前节讨论 d. .知式(5

11、-2)可推广应用于平面横力弯曲的正应力计算,当梁的跨长远大于梁高时( lh ),其精度一般满足工程的需要。此时,因 M=M(x),故正应力(x)也将为横截面位置坐标x的函数。 由此得:平面横力弯曲梁的最大正应力将发生在弯矩数值最大的横截面(叫:危险截面危险截面)上离中性轴最远处(叫:危险点危险点)。因而,其强度条件可表达为:maxyIW 若定义: : 叫抗弯截面模量抗弯截面模量(section modulus in section modulus in bendingbending,为一个与横截面的大小和形状有关的几何量,其量纲为L3,常用单位为mm3或m3)。 则平面弯曲梁的强度条件可表达为

12、:zy2y15-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress)55.(maxbWM)55.(maxmaxayM式中为弯曲许用正应力。可查有关规范。(55)式同样能解决三类常用工程强度问题:强度校核 计算容许荷载 选择横截面尺寸。常见横截面的I和W:6,1223hbWhbIzz6,1223hbWbhIzz矩形:立放 ,平放6,1234aWaIzz正方形: (W W为对过形心的与边平行的轴之量)32,6434dWdIzz圆形:型钢:可直接查表 对脆性材料制

13、成的梁,当其横截面的中性轴不是对称轴,且梁上同时承受有正负弯矩时,其强度条件应为:(如右上图所示)2minmaxmin1maxmaxmaxmaxccWMIyMWMIyM下上1minmaxmin2maxmaxmaxmaxttWMIyMWMIyM上下)(10246715210375336maxmmMWz5-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例题例题5-35-3 图a所示的楼板主梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力=152MPa,试选择工字钢的号码。

14、解解:由于此梁两端稍有转动及伸缩的可能,故计算简图可取为简支梁(图b)。根据题意,本例题应按弯曲正应力强度条件公式(5-5)作截面选择。为此,先作出此梁的弯矩图(图b)。由图可见,梁的最大弯矩值为Mmax=375kNm 根据Mmax和值,由公式(5-5)可求出此梁所必需的抗弯截面系数Wz为 此值虽小于所必需的Wz=2467cm3。但相差还不到1%。因此,采用此工字钢时最大正应力未超过许用弯曲正应力的5% ,故可选用56b号工字钢。 由型钢规格表(P433)查得56b号工字钢的Wz为: Wz=2447cm3159.6MPa5%)(1153.25MPa1024471037536maxmaxWM 例

15、题例题5-45-4 跨长l=2m的铸铁梁受力如图a所示。已知材料的拉、压许用应力分别为t=30MPa和c=90MPa。试根据截面最为合理的要求,确定T字形截面梁横截面的一个尺寸d(图b),并核核此梁的强度。) 1 (.3190302121maxmaxctzzctyyIMyIMy5-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress 式(1)就是确定中性轴即形心轴位置yC(图b)的条件。再考虑到y1y2=280mm(图b)这一关系,即得 yC=y2=210mm

16、 .(2)显然,yC值与横截面尺寸有关,因此,式(2)就成为确定d的依据。 解解:因全梁弯矩同号,要使这一截面最合理,必须使梁的同一横截面上的最大拉应力与最大压应力(图c)之比tmax/cmax与相应的许用应力之比t/c相等。因为这样就可使材料的拉、压强度得到同等程度的利用。故有:式中的y1、y2见图b。 根据形心坐标公式参见附录I中的公式(I2a)及图b中所示尺寸,并利用式(2)列出如下等式:mmyyC2102mmyC21022060220)30280(22060110)60280(dd)(1099.1761021.12)3.9652.821.296()3070(602201260220)1

17、10210(2202412220244662323mmIz由此求得: d =24mm 确定d后便可进行强度校核。yCkNmPlM4042804max7 .8410176.992101040662maxmaxMPayMc为此,先利用平行移轴公式(I10)计算截面对中性轴的惯性矩Iz:再计算此梁的最大弯矩:于是,从公式(5-2)即可求得此梁的最大压应力,并据此核核强度,可见,此梁满足强度条件。对于此梁的最大拉应力是否还需要核核?.)(3558. 186134max21不控制此梁的强度即全梁的最大压应力截面的ctcByy5-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件Strength Condi

18、tion of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例题例题5-5 5-5 一槽形截面铸铁梁如图a所示。已知b=2m,Iz=5493104mm4,铸铁的许用拉应力t=30MPa,许用压应力c=90MPa。试求此梁的许可荷载P。解解:设P的单位为kN。作出弯矩图(图c),由图可见,最大负弯矩在B截面上,最大正弯矩在C截面上,其值分别为:MB=-Pb/2,MC=Pb/4。由横截面的尺寸可见,中性轴到上、下边缘的距离分别为:y2=86mm,y1=134mm 本题经分析可知,不管是对C截面还是对B截面而言,该梁的强度均由最大拉应力控制。 因此

19、,只需分别算出C截面和B截面上的最大拉应力,然后与材料相应的许用应力相比较,从而求出荷载P值,并选其中较小者作为该梁的许可荷载P。具体计算过程如下:5-35-3梁的正梁的正应力强度条件应力强度条件kNNbyIPIPbyyMttCt6 .241024.6013410230105493444334111maxkNNbyIPIPbyyMttBt2 .1910.17198610230105493222334222maxC截面:B截面: 取其中较小者,即得该梁的许可荷载为: P=19.2kN 。(mm)y1y2zYAP1P24.53M:(kNm)5-3 5-3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件Str

20、ength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例例:图示一铸铁形截面外伸梁。已知:P1=40kN,P2=15kN,l=0.6m。材料的l=36MPa,a=175MPa。横截面尺寸如图示。试校核此梁的强度。解解:(一)求反力,作M图:kNlPlPlYA156 . 02 . 0153 . 040)32(121作M图如下,有:kNmMMkNmMMBc3;5 . 4minmax (二)确定形心位置(中性轴z的位置)及Iz:)(107308. 532803012803023301101230110)(7238110)(3880303