§4.13 拉普拉斯变换与傅氏变换的关系

1、北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院 退出开始 演演变变为为拉拉氏氏变变换换作作傅傅氏氏变变换换对对其其乘乘以以一一个个衰衰减减因因子子可可积积条条件件不不满满足足绝绝对对是是针针对对时时我我们们在在引引出出拉拉氏氏变变换换 , , , tetf )()()( jstsFtuetfFtfL 由此可以得到付氏变换与拉氏变换的由此可以得到付氏变换与拉氏变换的关系关系右右半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s 左左半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 一、一、二、二、三、三、引言一、一、右右半半平平面面收收

2、敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s ， )0()()( tuetft， 0)(lim ttetf )(0 要要求求 ssF1 : 其拉氏变换其拉氏变换 :0，收敛坐标收敛坐标 oj收敛域平面s . ,0 . , ,其收敛域在收敛轴以右其收敛域在收敛轴以右存在的单边信号存在的单边信号一般一般极点以右为收敛域极点以右为收敛域的极点的极点为为式看式看从从 tsFsF ).()(,)(, FsFF求求不不能能由由不不存存在在显显然然, : 收收敛敛轴轴 : 收收敛敛域域二、二、左左半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 )0()( tuetft , 0)( , 0)(limttet

3、f衰减函数，傅氏变换是衰减函数，傅氏变换是存在存在的。的。 0 j 收收敛敛域域 ， 1ssF 。 1)( jF 0: 收收敛敛坐坐标标 :收收敛敛轴轴 :收收敛敛域域 一一定定存存在在。因因而而的的轴轴上上变变化化范范围围可可以以在在轴轴，所所以以因因为为收收敛敛域域包包含含 Fsj, 0 jFsFjs求求出出就就可可以以由由只只要要令令, 三、三、收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 。异函数项异函数项因为傅氏变换中包括奇因为傅氏变换中包括奇关系关系之间不再是简单的置换之间不再是简单的置换与与是存在的，是存在的，,sFFsF tutf ， 1ssF jF1)()( 例如：例如：

4、当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法经典法( (定义式定义式) )，而是用，而是用取极限取极限的方法（矩形脉冲的周期的方法（矩形脉冲的周期为无穷大），引入了为无穷大），引入了冲激函数冲激函数而得到的。而得到的。 ? FsF求求那那么么如如何何由由)( ,)()(为为极极点点nnnnjjsksFtfL )(| )()( nnjsksFtfF ：，将将其其展展开开成成部部分分分分式式出出发发由由 sF对于只有对于只有一阶一阶极点的情况，极点位于极点的情况，极点位于虚轴虚轴 ? FsF求求那那么么如如何何由由 sjsF 代代中中以以 . , kjsn而冲激函数之强度

5、为而冲激函数之强度为点相对应点相对应每个冲激函数与每个极每个冲激函数与每个极处处每个一阶极点位于每个一阶极点位于激之和：激之和：一系列冲一系列冲 （4-162） 则则证明根据变换的唯一性根据变换的唯一性 nnnjsksF )( ntjntuekFjFn)( 线性，卷积定理线性，卷积定理 nnnjk 1)()(221 nnnnnnkjk)()(1 nnnjsksF)(| )( )()()( jFtfsF ntjntuektfn)()( ntjntuFeFkn)(21 例例4-13-1， )0( ,1)( stuL jFsF求求由由)(sjssF1011)( )(|1)(1njsKsjF )(1

6、j解：解：)(11 j例例4-13-2)(sin)(0ttutf )( 1 F）利利用用卷卷积积定定理理求求（ )(sin)(0ttuFF )()(2100 jj )()(200 j )()(2002200 j卷积定理卷积定理 1)(1)(2100 j1)( )(sin210tuFtF )()()2( FsF由由单单边边拉拉氏氏变变换换 )0( ,)(02020 ssF0201)( jsKjsKsF ,2|0001jjsKjs nnnjsKsFF)(| )()( 两种方法结果相同两种方法结果相同 )(2)(2002200 jj )()(2002200 j2*12jKK 对应的傅氏变换对应的傅氏

7、变换还可能出现还可能出现冲激函数的各阶导数项冲激函数的各阶导数项，例如，例如, )(轴轴上上的的多多重重极极点点具具有有如如果果 jsF kajsKsFsF00)( 11001!kksjKjFjF sk 阶阶导导数数为为求求101 kk （4-163）式中式中 的极点位于的极点位于s 左半左半平面，虚轴上有平面，虚轴上有 由此，可求得由此，可求得 sFa的极的极重重0 k为系数。为系数。点，点，0K多重极点例题 21ssF 21jjF 求求 的拉氏变换和付氏变换的拉氏变换和付氏变换 ttutf 由表由表4-14-1查到查到利用利用式（式（4-1634-163）可求出可求出 例4-13-3四四.结论结论 对于对于有起因有起因信号，求信号，求单单边拉氏变换中，一般是边拉氏变换中，一般是t0的信号，所以收敛域在收敛轴的信号，所以收敛域在收敛轴右右边。对边。对F(s)分解因式，分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最找出极点。收敛域中不应有极点，最右右边的极点为收敛边的极点为收敛坐标坐标。 :)(的的