结构动力学读书笔记

1、结构动力学读书报告学院专业学号姓名指导老师2013年5月28日 摘要：本书在介绍基本概念和基础理论的同时， 也介绍了结构动力学领域的若干 前沿研究课题。 既注重读者对基本知识的掌握， 也注重读者对结构振动领域研究 发展方向的掌握。 主要内容包括运动方程的建立、 单自由度体系、多自由度体系、 无限自由度体系的动力学问题、 随机振动、 结构动力学的前沿研究课题。 侧重介 绍单自由度体系和多自由度体系， 重点突出，同时也着重介绍了在抗震中的应用。1 概述1.1 结构动力学的发展及其研究内容：结构动力学， 作为一门课程也可称作振动力学， 广泛地应用于工程领域的各个学科， 诸 如航天工程，航空工程，机械

2、工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学 等等。 作为固体力学的一门主要分支学科， 结构动力学起源于经典牛顿力学， 就是牛顿质点 力学。 质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。 牛顿质点力学， 拉格朗日力学 和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。经典动力学的理论体系早在 1919 世纪中叶就已建立， 。但和弹性力学类似， 理论体系虽早 已建立， 但由于数学求解上的异常困难， 能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少， 能 够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内， 动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用， 人

3、们依然习惯于在静力学的范畴内用 静力学的方法来解决工程实际问题。随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明， 以及越来越多的摩天大楼的拔地而起， 工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来 越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。 也正是从这个时候起， 结构动力学作为一门学科， 也开始受到工程界越来越高的重视， 从而 带动了结构动力学的快速发展。结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革， 其主要原因也正是由于电子计 算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。 由于电子计算机的超快速度的计 算能力， 使

4、得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前， 由于广泛地应用了快速傅立叶变换(FFTFFT)，促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。 总之， 计算机革命带来了结构动力学求 解方法的本质改变。作为一门课程， 结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分： 单自由度系统结 构动力学，；多自由度系统结构动力学， ；连续系统结构动力学。 此外，如果系统上所施加的 动力荷载是确定性的， 该系统就称为确定性结构动力系统； 而如果系统上所施加的动力荷载 是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。1.2 主要理论分析结构的质量是

5、一连续的空间函数， 因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏 微分方程， 只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在 工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模 型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。1.3 载荷确定载荷有三个因素，即大小、方向和作用点。如果这些因素随时间缓慢变化，则在求解结构的响应时， 可把载荷作为静载荷处理以简化计算。 载荷的变化或结构的振动是否 “缓慢”， 只是一个相对的概念。 如果载荷的变化周期在结构自由振动周期的五、 六倍以上， 把它当作k(t)si n静载荷将不会带来多少误

6、差。 若载荷的变化周期接近于结构的自由振动周期，即使载荷很小，结构也会因共振（见线性振动）而产生很大的响应，因而必须用结构动力学的方法加以分析。动载荷按其随时间的变化规律可以分为：周期性载荷，其特点是在多次循环中载荷相继呈现相同的时间历程， 如旋转机械装置因质量不平衡而引起的离心力。周期性载荷可借助傅里叶分析分解成一系列简谐分量之和。冲击载荷， 其特点是载荷的大小在极短的时间内有较大的变化。冲击波或爆炸是冲击载荷的典型来源。随机载荷，其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。由大气湍流引起的作用在飞行器上的气动载荷和由地震波引起的作用在结构物上的载荷均属此类。对于随机载荷，需要根据大

7、量的统计资料制定出相应的载荷时间历程（载荷谱）。对于前两种载荷，可以从运动方程解出位移的时间历程 并进一步求出应力的时间历程。对于随机载荷，只能求出位移响应的统计信息而不能得到确 定的时间历程，因而须作专门分析才能求出应力响应的统计信息。1.4体系的动力自由度为了确定一个体系在振动过程中全部质量的位置所需独立几何参数的数目，称为动力自由度或简称自由度。这些参数通常表示质量的线位移或转角，它们也就是动力计算中的基本未知量。实际结构的质量是连续分布的，是无限自由度体系。 为了简化计算，常按下面的方法进行简化。（1 1）集中质量法从物理的角度提供一种减少动力自由度的简化方法。把连续分布的质量（根据静

8、力等效原则）集中为几个质点。这样就把无限自由度体系简化成有限自由度体系。具体分为：不计轴向变形的均质简支梁；三层平面刚架在水平力作用下计算侧向振动和块形基础。（2 2）广义位移法具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移）曲线，可近似地用三角级数表示为ny（x,t）k 1.k xsin式中，1是一组给定的函数，称作“位移函数”或“形状函数”，与时间无关。k（t）是一组待定参数，称作“广义坐标”，随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置是由广义坐标来确定的。注意：这里的“形状函数”应满足位移边界条件，所选的函数形式 可以是任意的连续函数。因此，上式可写成更一般的形式ny（x,t） k（t）k（x）k

9、1式中，k（X）是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n n个函数。“广义坐标法”将应用于后面的振型叠加法和能量法。（3 3）有限单元法可看作广义坐标法的一种特殊应用。把体系的离散化和单元的广义坐标二者结合起来， 就构成了有限单元的概念。其具体作法是：4 4个自由度实际结构在自由振动时有衰减现象,振幅随时间逐渐减小,最后趋于静止；在强迫振动。这都表明在振动工程中会在动力计算时，要先建立ddt(mdf)第二，取结点的位移参数（挠度 y y和转角B）作为广义坐标，本例为 人、i i和匕、Q。第三，分别给出与结点位移参数（均为1 1时）相应的“形状函数”k（x）称作“插值函数”（它们确定了指定

10、结点位移之间的形状）；第四，仿照广义位移法的公式， 体系的位移曲线可用 4 4个广义坐标及其形状函数表示为:y（x,t） yi（t） !（X）!（t） 2（x） y2（t） 3（x）2（t） 4（x）k（X）可事先给定，让其满足边界条件，这样就把无限自由度体系简化为体系（yi，1 和 y2，2 ）。有限元法综合集中质量法和广义坐标法的优点：（a a）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系（结构）上插值（即定义形函数）, ,而是采用了分片的插值（即定义分片形函数），因此形函数的公式（形状）可以相对简单。（b b）与集中质 量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了

11、真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。1.5体系振动时能量的耗散与阻尼力时，外荷载需对结构不断做功，才能维持振幅不变（稳态振动） 产生能量的耗散，这种消耗能量并使振动衰减的因素，成为阻尼。结构的振动方程，为了能反映振动过程中的能量耗散，在建立方程时须引入一个造成能量耗 散的阻尼力。而这个力的引入提高了运动方程计算的难度。在结构动力分析时，由于粘滞阻尼力的分析比较简单，其他类型的阻尼力也可以简化为等效粘滞阻尼力来分析。因此，本书只讨论粘滞阻尼力的情形。1.6建立振动方程的方法动力问题主要是求出位移（或位移参数）随时间变化的反应。建立振动方程的常用方法 有四种，分别介绍如下。（1

12、 1）动力平衡法此法也称达朗伯原理的直接平衡法。根据牛顿第二运动定律，任何质量m m的动量的变化率等于作用在这个质量上的力式中y y为动位移。若 m m不随时间变化，上式可写成上式中第一项为作用在质量上的力，第二项可以称为质量m m的惯性力。质量所产生的惯性力，与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称作达朗伯原理。 有第二式可以看出， 在引入达朗伯原理后， 与静力学中的平衡方程的表达式相识， 及作用于 质量上的所有里保持平衡，常称此法为“动静法” 。本方法的优点在于物理概念清楚，形象 鲜明。缺点是解决复杂问题时困难较大，且不便用它来推证某些结论。（2 2）虚功法当结构比较复杂， 如所包含的各

13、种力可以容易的用位移自由度来表示， 而它们的平衡规 律可能不清楚或很复杂。此时，运用给予虚位移原理的虚功法来建立运动方程就较方便。按照虚位移原理， 虚位移时所作的总虚功为 0 0 是与平衡条件等价的。 在建立体系的方程 时，先确定作用于质量上的所有力， 包括惯性力； 然后引入相应于每个自由度的虚位移，并 使所做的总虚功等于 0 0，从而得出振动方程。此方法的优点是适应性强， 可用它推出运动的普遍规律； 虚功是标量可以按照代数规则 计算避免复杂的矢量计算。缺点是比较抽象。（3 3）变分法用基于哈密顿原理以变分形式表示的能量关系来建立动力平衡方程。哈密顿原理可以表达为t2t2（T V）dtWncd

14、t 0t1t1式中，T为体系的总动能，V为体系的势能，包括应变能及任何保守外力的势能，wnc为作用于体系上的非保守力所做的功，为在指定时间区间内所取得变分。哈密顿原理表明， 在任何时间区间内， 动能和势能的变分加上所考虑的费保守力所做的 功的变分必须等于 0 0。应用这个原理可以直接导出任何体系的振动方程。这个方法和虚功法 的区别是：此方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而是用动能和势能的变分项来代替。（4 4）能量法基于能量守恒原理的能量法， 不仅可以用来建立体系的振动方程， 而且可以用来直接计 算体系的自振频率。2 单自由度系统的振动振动系统可分为离散模型和连续模型两种不同的类型。 离散模型

15、具有有限个自由度， 而 连续模型则具有无限个自由度。 系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐 标个数。 在离散模型中， 最简单的是单自由度线性系统， 它用一个二阶常系数微分方程来描 述。这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。 另外在后续章节将会讲到， 复杂系统 的数学模型可通过模态分析技术转化为一组独立的二阶常微分方程，其中每一个方程都类似于单自由度系统的运动方程。因此，对单自由度系统进行详细深入的分析是十分必要的。单自由度振动系统， 指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。 只要以它的平衡 位置取为坐标原点，任一瞬时的质点坐标 x x （线位移）或（角位移）就可以决定

16、振动质点的 瞬时位置。2.1 单自由度系统无阻尼自由振动根据牛顿定律：令 n2=2=k/ m,求微分方程的解，得将其合成一个简谐振动，并代入初 始条件： t=0t=0 时， x=x0,x=x0,2.1.12.1.1 固有频率系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质 （弹性和惯性） 有关, 因此当振动系统的 结构确定后, 系统的振动频率就固定不变, 而不管运动的初始条件如何, 也和振幅的大小无 关，因此成为固有圆频率和固有频率。2.1.22.1.2 固有频率计算方法（1 1）公式法。根据公式计算（2 2）静变形法。根据质量块所处平衡位置的弹簧变形计算。（ 3 3）能量法。根据能量守恒定律，由于无

17、阻尼，无能量损失，将的方程代入上式，系统的最大动能等于系统的最大弹性势能，计算求出。（4 4）瑞利法。考虑到系统弹簧质量的计算方法，如假设系统的静态变形曲线作为假定 的振动形式，根据推倒，得出系统的固有频率为 ，式中加入的部分为“弹簧等效质量”不 同振动系统的等效质量不同，只需先算出弹性元件的动能，根据，计算即可。2.2 单自由度有阻尼系统始终与物体振动方向相反，对系统做负功，不断消耗系统能量的阻力， 统称为阻尼，单 位为 N N。2.2.12.2.1 分类：（1 1）干摩擦阻尼两个干燥表面相互压紧并做相对运动，阻力的大小取决于摩擦副的材料和法相压力：F= N；（2 2）粘滞阻尼物体以中等速度

18、在流体中运动时所产生的阻尼（有润滑油的润画面之间） ，与速度的一 次方成正比，即： ，其中阻尼系数取决于物体的形状、尺寸及润滑剂介质的粘性，单位为Ns/cmNs/cm。当以较大速度运动时（3m/s3m/s以上），阻力与速度平方成正比（ 3 3）结构阻尼材料在变形过程中由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，大小取决于材料性质。2.2.22.2.2 固有频率（1 1） 强阻尼状态， n n 系统不再是振动，是逐渐回复到平衡位置的非周期运动（2 2） 临界阻尼状态，= = n n 也不是振动，是逐渐回到平衡位置的非周期运动。（3 3） 弱阻尼状态， n n,是振幅被限制在之内的，随时间不短衰减的衰减振动

19、。只有在 这种状态下才存在频率和周期。2.2.32.2.3 共振当激振力F （周期力）频率与固有频率相同时，振幅最大，称为共振。（1 1）产生共振的原因以简谐激振力为例，设 F= =Posin t，q= =Po/m得解方程得由于第一项很快将衰减掉， 故只研究第二项， 并将其求导代入原式， 经过化简 整理，将两式子联立，令 3=P/k称为静变位；=/=/ n称为频率比；= =/ n称为阻尼比， 代入以B/Bo为纵坐标，以 / / n为横坐标，以阻尼比 为参变量，做幅频响应曲线。111时,振幅的大小主要取决于系统惯性。（2 2）阻尼对共振振幅的影响阻尼仅在共振区对振幅有较大影响, 阻尼增大, 共振

20、振幅减小。 但在共振区域外对振幅 影响较小。率。这是一个N N阶代数特征值问题，需要求解特征方程detk2m0 。其结果为 N N 次的多项式公式，根为特征值，即固有频率的平方2r 。这些频率可以从低到高排列：2.3 产生振动的原因（1 1）自由振动。由于系统平衡受到破坏，靠弹性恢复力来维持的振动（2 2）受迫振动。在外界激振力的持续作用下，或位移干扰或偏心质量的作用下产生的（3 3）自激振动。 由于系统的非震荡性能源和反馈特性， 从而引起的一种稳定的周期性振动。3 多自由度系统的振动3.1 多自由度系统的数学模型实际上的动力学系统都是连续系统， 为了能够在一个连续系统中生成一个 N N 个自

21、由度的 多自由度模型，可以假定该连续系统的位移能够近似表示为：Nu x, ti x u i ti1其中i X为假定的N N个振型函数，即相当于把这一连续系统看作包含N N个独立广义坐标 ui t 的多自由度系统。然后以 （2.162.16） 代入动能，位能和非保守力虚功的表达式，应用拉 格朗日方程推导得到多自由度系统的动力学基本方程为：Mu CuKu P这里应注意所选用的振型函数i X 必须为一 组线性独立的函数，每个i X 所具有的导数必须等于位能中所出现的阶数，并且必须满足所有的位移边界条件。3.2 多自由度系统的自由振动求解多自由度系统自由振动的动力特性，首先仍然是要求解出系统的无阻尼固

22、有圆频2相应于每一个特征值 r 将有一个特征向量，即固有模态r r 1,2,1,2, ,N,NNr模态仅是确定内部的一个定数乘子，可用任何方便的方式度量。3.3 多自由度系统的动力响应对线性多自由度系统， 且为非耦连阻尼效应时， 可采用振型叠加法求解其动力响应。 振型叠加法包括振型位移法和振型加速度法，核心思想是：首先解得自由振动下的频率r 和 模态 r ，然后将模态 r 集成为模态矩阵 ，利用模态矩阵 进行坐标变换，将物理坐标 变换为主坐标， 从而实现动力学方程的解耦。 在求得系统的固有频率和模态后， 将其正规化，根据模态来集成模态矩阵在振型叠加的过程中的关键步骤是要导出坐标变换：Nu t

23、t r r tr1M,M,刚度矩阵为K K,系统的主振动x x坐标 r t 称为主坐标。将上式方程代入多自由度系统的动力学基本方程，同时将方程 结果乘以 T ，得到主坐标的运动方程，即：M C K PtT 其中： 模态质量矩阵 M m模态阻尼矩阵C T C模态刚度矩阵KT K模态力向量 P(t) p t4 自振频率和振型的计算4.1 能量法求自振频率4.1.14.1.1 瑞利能量法设有一 n n 自由度系统，其质量矩阵为第一瑞利商当X X取系统各阶主振型 XiXi时，瑞利商Rl(Xi)Rl(Xi)就相应地给出各阶固有频率pipi的平方( (或特征值入i)i)式中，X X代表假设的主振型，那末由

24、瑞利商只能得出相应固有频率的估值。理论 上，它适用于求各阶固有频率。 实际上， 因为系统高阶主振型很难作出合理假设， 所以该式 往往只有在估算系统基频 p1p1 时才是切实可行的。从柔度法可得到另一形式的系统固有频率 的估式。第二瑞利商式中的X取为系统的主振型时，R(Xi)也就给出相应的特征值入i ,i=1,2,i=1,2,n,n两种形式瑞利能量法各有所长。 前者适用于刚度矩阵已知的情形， 后者适用于柔度矩阵 已知的情形。一般说来，前者较为简便，后者较为准确。4.1.24.1.2 李兹能量法里兹法是瑞利法的改进， 用里兹法不仅可以计算系统的基频， 还可以算出系统的前几阶 频率和模态， 瑞利法算

25、出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限， 里兹法将对近似振型给出更合理的假设， 从而使算出的基频 值进一步下降。里兹法基于与瑞利法相同的原理， 但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假 设模态的线性组合：22 2可求出r r个特征根1，2,1，及相应的特征向量A(1),A(2),A(r)原来系由于R在系统中的真实主振型处取驻值，所以A A的各个元素应当从下式确定:Raj0, (j1,2r)。0, (j 1,2,r)rra1 na2 nar n(r)ajj 1nnAnRn1n (1) n n ,(2) n(r), ,Rn rAa1 , a2

26、, ar Rr 1代入瑞利商：R()R( nA)AT nT AT nTK nA M nAATKAT-2A MA KnTKn Rr r, M nTM n Rr r代入:T 2T -(A KA) (A M A) ajaj(ATKA) (A)TKA ATK(A)ajajajT - T-2(A)TKA 2ej KA, (j 1,2, ,r)aj其中ej是r r阶单位矩阵的第j j列。(ATKA) 2KA上面r r个方程可合成为：A表示将函数分别对 A A的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量A。T - -(A MA) 2MA2.同理，有：A两项代入得：(KM )A 0由于K、M的阶数r r 一般远小于

27、系统自由度数 n n，上式所示的矩阵特征值问题比原来 系统的矩阵特征值问题解起来容易得多，因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法，K、M就是自由度缩减为r r的新系统的刚度矩阵和质量矩阵。统的前r r阶固有频率可近似取为:(j 1,2,r)，相应的前r r阶主振型近似取为：(j) nA(j),(j1,2,r)正交性分析(i )TM (j)Ai)T n TMnAi)To当 i j即: A(i)TMA(j)0， A(i)TKA(j)0因此：得出的近似主振型式关于矩阵M M和K K相互正交。4.2瑞利一李兹法虽然应用瑞利法可以较为精确地求解得到系统的第一振型，但在结构动力分析中，

28、 为了得到较为精确的结果， 常常需要一个以上的振型。李兹把瑞利法加以推广，是计算前几个振型的最为方便的方法之一。其基本假设是用一组假设的形状矢量和一组幅值来表示位移矢 量，其实质是缩减自由度方法的一种。通过坐标的变换公式， 把具有N N个自由度的体系转化为用2s2s个广义坐标和相应的假定李兹基表示的2s2s个自由度体系，这样就使得求解变得相对容易些。用瑞利一李兹法求得的近似频率，对最低几个振型一般精度较高，而对较高阶的振型精度就相对差得多。其解的精度与基矢量的选取有关。4.3子空间迭代法前述几种求解结构体系自由振动频率和振型的解法大多适用于自由度数目较小的小型 动力体系。而对于实际的结构，其自

29、由度的数目往往会达到几千个，甚至有时会达到几十万个。针对如此超大型的结构体系，不可能也没有必要求解其所有的振型和频率，而往往仅需要知道其最低的若干阶振型。因此，为适应这种求解需要，产生了基于多种计算技术基础之 上的子空间迭代法。子空间迭代法可以求解结构体系的前面最低的p p阶频率和振型，是用来解决大型结构振动问题的发展较早的富有成效的方法之一。其基本点在于假设r r个起始向量同时进行迭代以求得矩阵的前s(sr)s(sr)个特征值和特征向量， 一般可取r r = 2s2s。它的一个很大的优点在于，可以按照任意要求的精度求得振型坐标，而其它的坐标缩减方法内包含的近似性，使得结果的精度无法估计。5结

30、构动力学在抗震设计中的应用5.1序言地震时地面运动是一个复杂的时间-空间过程。结构地震响应应取决于地震动特性和结构特性，特别是结构的动力特性。 结构地震响应分析的水平也是随着人们对这两方面认识的 逐步深入而提高的。近几十年来，人们对地震动的谱成分和各类结构的动力特征有了深入认 识。因此，结构的分析也随之有了相应的进展。结构地震反应分析的发展经过了静力法、反 应谱法、动力法三个阶段。反应谱法根据单自由度系统的地震响应，既考虑了结构动力特性与地震动特性之间的动力关系，又保持了静力法的形式，在各国结构抗震设计规范中已被广 泛采用。现行的抗震设计方法包括反应谱法和时程分析法。5.2方法比较根据建筑结构

31、抗震规范，对单自由度体系，给定场地条件以及结构的自振周期和阻 尼比，便可以从反应谱中获得结构的最大地震响应(位移、速度和加速度)，进而可求出结 20012001构的地震力。 对于多自由度体系， 首先采用多自由度体系的反应谱理论， 即先利用模态分析 法将多自由度体系分解为一系列广义单自由度体系， 最后将各振型的最大值用一定的振型组 合方法组合出结构的最大地震反应。 由于反应谱方法基本正确地反映了地震动特性， 并考虑 了结构的动力特性，所以对于一般的结构而言，具有良好的精度，且概念明确，计算方便。 静力法假设结构各部分水平加速度与地面运动水平加速度完全一样。地震地面运动是一个非平稳随机过程，而随机振动法充分考虑了地震发生的概率特性， 所以普遍认为随机振动法是一种合理的分析方法。 但是，随机振动法的