管理经济学中的常用数学模型

1、管理经济学结课论文之管理经济学中的常用数学模型管理经济学中的常用数学模型摘 要：由于历史的原因,我国经济运行中数学的应用曾经处在无足轻重的地位。随着社会的进步和经济的发展,人们越来越清楚认识到数学不仅可以被广泛应用于自然科学和工程技术,而且已经渗透到经济科学和社会科学的众多领域。纵观世界经济理论研究和经济管理科学的发展,不难发现数学在经济学中的地位已发生了巨大的变化。在本文中，主要介绍并总结几种常见的经济学模型。包括管理经济学，计量经济学，宏观经济学，微观经济学等当面。并对其中的个别模型，尤其涉及到很多数学应用的模型，进行应用举例。关键字：RT-DE模型 ARCH模型 B-S模型1. RT-D

2、E模型（回归技术与需求估计模型）在许多经营管理实践中，管理者要想取得弹性方面的信息，必须先收集一组数据，然后用数学中的统计方法估计需求函数，再根据需求方程算出弹性。RT-DE模型就是一种估计需求函数的模型。在此，应用回归技术来模拟出函数。下面对回归技术模型基本思想进行应用说明。在此，我们采用成本函数分析为例，因为相对而言，回归技术在成本函数的应用更容易理解。RT-DE模型，大概分为这样几个的过程：建立理论模型收集数据选择函数形式估计和解释结果。1.1回归技术一般来说，管理者想知道成本和产量之间的关系，即企业的总成本函数，就可以依据函数预测下一个生产周期，怎样模拟出这个函数？在此，我们采用最小二

3、乘回归技术法【1】。 假设总收入和函数是线性的，对上表的数据进行一次拟合，设为。之所以选择线性方程，是因为线性方程具有多个有点，比如，不需要改变它的形式，即不需要转换数据就能对它进行处理。而且相对来说，它对变量系数的解释较为简单。在此，把Y的实际值和预测值之间的离差（即点到直线的垂直距离）称为残值。易知，有且只有一组确定的直线使得离差的平方和最小，即最小。我们应用公式： ； 即可拟合出对应的线性曲线。其中，是上表中总成本和总产量的平均值。1.2对回归估计的检验拟合出来的参数不一定准确，现在来检验两个参数之间的强度。一般，可以用两种方法检验，一种是使用可决系数，即用来衡量整个方程是否能很好地解释

4、因变量的变化。第二种方法是使用t-统计量来检验因变量和一个自变量之间的关系强度。对于可决系数，有其中，指的是对应的在拟合出的函数上的值。上式的可决系数。当回归方程一点不能解释Y的变差，即自变量和因变量之间没有关系，=0。如果方程能完全解释变差，=1。一般地，的值越大，回归方程就“越好”。t-检验（t-test）被用来确定因变量和每个自变量之间是否存在显著的关系。这个检验要求计算被估计的回归系数的标准离差（）。根据统计学的原理，可用下式估计b的95%的信置区间：，式中，为一种特殊的概率分布，即学生的t分布的值【2】。下标（n-k-1）是自由度数，其中n为观察次数或数据点，k为式中自变量的数目。如

5、果自变量和因变量之间没有关系的话，参数b=0，在统计学中，检验X，Y的强弱的标准方法是检查在95%的信置区间内是否包括零值。如果不包括，就说在统计学上度量的X和Y之间的关系显著，如果包括零值就说不显著，意思是两个变量之间不存在较强联系。采用上述的两种检验方法检验两变量的强如关系，如果检验的结果比较弱，就要对数据进行重新拟合，进行两次或三次的拟合。反复进行检验，如果检验的结果都如此，则说明X，Y之间没有存在联系，即成本和产量之间没有明显的，可估计的关系。另外，由于产量成本数据点并不是刚好在回归线上，而是分布在回归线的周围，这意味着回归预测的方程是有误差的。我们定义是估计值的标准差，即对预测值的可

6、能误差的度量。有，预测值称为因变量的点估计，那么预测的Y的值的范围应该是：。特别强调的是，在大多经济关系里，涉及的不仅仅是一个因变量和一个自变量的简单关系。因此，多元回归技术在经济学中应用更广泛。应用上述模型的原理，也可以对相关数据进行多元回归拟合。1.3 回归技术应用举例：某种产品的产量和总成本给出以下一组数据：Hypothetical Data Total Cost and Total Output生产周期 总成本() 总产量()1 $100 02 150 53 160 84 240 105 230 156 370 237 410 25那么，根据回归技术，可以拟合出上表的线性方程是：，如图

7、所示：现在对拟合出来的系数进行检验：首先，采用可决系数的方法，那么有 ，由于的值是0.954，在0到1之间，说明本次拟合的函数很成功。 采用t-检验，有，那么=12.21 ，这表示介于成本和产量之间的可能边际关系（即b的值）落在这个范围内的概率是0.95。再计算的值，有 ，现在可以对下次的产量或成本进行计算，假设现在有初步计划的产量是22，根据上述关系对成本进行估计，有：再加入标准差的计算，那么得知当X=22时，Y在95%的信置区间内的可能取值是：，即。1.4 需求估计一般经济理论，我们分析因变量,I,和T之间的预期关系，记作：。其中，是此种商品的当前价格，I表示消费者的收入，是其他商品的价格

8、，T代表者对此种商品的偏好指数。正常商品和需求是正向关系；对其他产品的价格来说，若两种产品的互补品，就与需求呈反向关系，若是替代品，就呈正向关系；若在衡量T的方面没有额外信息，就不容易预测它和需求之间的关系【3】。现在将上述的变量之间的关系设为线性的，即：，有了上面介绍的回归技术，只要收集因变量的相关数据，就可以拟合出这些系数的值。那么需求弹性 ，从而，只要有P的相关数据，就可以算出的值。同样的方法，可以计算出收入弹性和交叉弹性【4】。另外，在介绍采用幂函数的形式来预测弹性的估计值。设为 ，我们知道，幂函数的形式不能采用回归技术，那么通过一下方式改变函数的形式，即，应用回归技术，可以估计出上式

9、中系数的值。又，两边同乘，得，而，于是， 。由此可见，幂函数的优点是它提供了弹性的估计值，与线性方程的弹性相比，这些弹性都是常数，不受自变量变化的影响。幂函数的另一个特点是因自变量的1单位所引起的需求量变化不是一个常数，它不仅取决于该变量，还取决于其他变量的值，这点与线性函数不同，这意味着使用幂函数在计算上会有较多的困难，但它能较好地描述变量之间的现实关系。选择什么样的函数形式取决于理论模型和结果的用途。如果需求量被认为是自变量的线性函数，那么线性形式是适宜的。相反，如果是估计弹性，或为了考虑变量之间的非线性关系，那么就应当选择幂函数。1.5 需求估计的举例许多软件可以提供回归技术的分析【3】

10、，只要输入方程形式和数据就可以拟合出所要的系数。那么假设有一组数据，用的是幂函数的形式进行拟合，数据如下：满意指数 价格P 收入I 其它商品价格拟合系数 0.02248 -0.2243 1.3458 0.1034标准误差 0.01885 0.0563 0.5012 0.8145t-验证数据 （1.19） （-3.98） （2.69） （0.13） 观察数目：224 那么，上述的系数代表的就是对应的弹性系数。由于价格弹性值是-0.2243，代表此种产品是非弹性产品。又有收入弹性值是1.3458，说明此种产品是奢侈品。而其他产品的系数为正但是不是很大，说明这两种产品没有很强的关系。的值是0.251

11、5，这是个相当低的值，代表只有在四分之一的可变范围内，该产品的需求是可以被预测的。引起的值偏低的原因，可能是有变量被遗漏。尽管回归分析对于估计需求函数和其他经济关系是一种有用的技术，但是如果分析者在建立模型和解释结果上不细心，也可能出现严重的问题。最可能出现的三个问题是：变量遗漏、识别问题和多重共线。 在文献【4】中，可以看到此类问题的详细介绍。2. ARCH模型2.1 ARCH模型简介ARCH模型由美国加州大学圣迭哥分校罗伯特恩格尔(Engle)教授1982年在计量经济学杂志（Econometrica）的一篇论文中首次提出。并且是2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。被认为是最集中反

12、映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。所谓ARCH模型，按照英文直译是自回归条件异方差模型。粗略地说，该模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。2.2 ARCH模型的基本思想ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方差

13、模型。 以表示收益或收益残差，假设 (1)此处，即服从独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布。 其中（2）记为ARCH模型。称序列 服从q阶的ARCH的过程，记作ARCH（q）。为了保证为正值，要求，（i=1,2,3,4），即各期收益以费负线性组合，常数项为正数 。 上面（1）和（2）式构成的模型被称为回归ARCH模型。ARCH模型通常对主体模型的随机扰动项进行建模分析。以便充分的提取残差中的信息，使得最终的模型残差成为白噪声【4】序列。从上面的模型中可以看出，由于现在时刻噪声的方差是过去有限项噪声值平方的回归，也就是说噪声的波动具有一定的记忆性，因此，如果在以前时刻噪声的方差变大，那

14、么在此刻噪声的方差往往也跟着变大；如果在以前时刻噪声的方差变小，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变小。体现到期货市场，那就是如果前一阶段期货合约价格波动变大，那么在此刻市场价格波动也往往较大，反之亦然。这就是ARCH模型所具有描述波动的集群性的特性，由此也决定它的无条件分布是一个尖峰胖尾的分布。 2.3 ARCH模型的主要应用ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。ARCH模型主要应用在分析方面。从1982年开始就一直没有间断，经济学家和计量经济学家们，力图通过不断挖掘这个模型的潜

15、力，来不断增强我们解释和预测市场的能力。从国外的研究情况来看，大致有两个研究方向： 一是研究ARCH模型的拓展，完善ARCH模型。自ARCH模型始创以来，经历了两次突破。一次是Bollerslev T. 提出广义ARCH (Generalized ARCH) , 即GARCH 模型。此模型将ARCH模型中的方差用ARMA模型【4】表示，那么GARCH(p,q)模型为：第二个应用是将ARCH模型作为一种度量金融时间序列数据波动性的有效工具，并应用于与波动性有关广泛研究领域。包括政策研究、理论命题检验、季节性分析等方面。 ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究

16、中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是尽人皆知的工具。 3. B-S模型（期权定价模型）3.1 B-S模型简介B-S是两位经济学家BLACK、SCHOLES名字的缩写，为了纪念他们发现该模型而用他们的名字命名。在20世纪70年代，布莱克与斯科尔斯提出了该模型。认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关 。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。1979年，科克斯（Cox）、罗斯（Ross)和卢宾斯坦（Rubin

17、setein）的论文期权定价：一种简化方法提出了二项式模型（Binomial Model），该模型建立了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。其中，B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)中的B-S公式，荣获诺贝尔经济学奖。3.2 B-S模型基本思想期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从B

18、lack-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。 3.2.1 B-S模型及其假设条件 B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 3.2.2 荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式 其中: C为叫买权期的值；S为现在的股价；l为敲定价格（也叫执行价格或履行价格）；e为自然数的底；r为无风险利率；t为期权到期的时间；年度化方差；N()正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:或。例如=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.853，即100以85.3%的连续复利投资第二年将获利106，该结果与直接用=0.06计算的答案一致。第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274。3.3 期权定价公式的应用期权定